MEMBRE DE LA SECTION DE GÉOMÉTRIE

lue «fan* la séance publique annuelle du lumli 18 décembre 190;:

Messieurs,

« La mort nous moissonne plus rapidement qu'autrefois ; car si, depuis l'année I6fi6, les progrès de la Science ont rendu nécessaire de tripler le nombre des Académiciens, ils n'ont pas accru dans la même proportion la durée de la vie humaine. Chaque Secrétaire perpétuel, quel que soit son zèle, lègue à son successeur un arriéré toujours croissant d'éloges qu'il n'a pu prononcer ; et nous éprouvons chaque année, pour choisir entre tant de noms dont la mémoire nousestchère, un véritable et pénible embarras »

Ces paroles que Joseph Bertrand plaçait, il y a un quart de siècle, en tète de l'Eloge de Belgrand, on peut les répéter aujourd'hui encore ; car elles n'ont pas cessé d'être vraies. Mais ces progrès de la Science, qui ont rendu nécessaire de tripler le nombre des Académiciens, déterminent des modifications, chaque jour plus profondes, dans les conditions mêmes de la recherche scientifique. Le nombre était grand autre-

fois de ceux qui pouvaient se faire une idée nette et suffisamment précise des méthodes propres à chacune de nos sciences. Depuis, toutes ces sciences se sont développées d'une manière indépendante, se constituant chacune un langage particulier ; de telle sorte qu'il est devenu aussi difficile aujourd'hui de comprendre un chimiste ou un naturaliste qu'il l'était autrefois de suivre un mathématicien. Ce développement autonome des différentes hranches particulières est assurément légitime ; mais il entraine de graves dangers, et je crois que l'avenir est aux nations qui sauront le mieux assurer la coordination des recherches scientifiques. En attendant, lorsqu'il s'agit de prononcer l'éloge d'un de ces hommes qui ont illustré à la fois l'Académie et le pays, nous nous trouvons en présence d'une difficulté que Bertrand n'a pas signalée et qui croît cependant de jour en jour. Faut-il renoncer à donner une idée précise de leur rôle scientifique et de leurs importantes découvertes^ ou bien devons-nous, sans craindre de lasser votre attention, entrer dans les explications qui sont nécessaires et qui risquent, je dois l'avouer, d'échapper même à des hommes très instruits ? Vous me pardonnerez. Messieurs, si, voulant écrire l'éloge de Charles Hermite, je me suis rangé à ce dernier parti. Sa vie s'est écoulée sans événements marquants, un seul de ses travaux peut intéresser ceux qui n'ont qu'une connaissance générale des Mathématiques. Mais notre devoir envers des hommes tels que lui est de fixer leur souvenir, avant qu'aient disparu tous ceux qui ont pu vivre à côté d'eux et recueillir de leur bouche les enseignements qui ne sont pas contenus dans leurs écrits.

Charles Hermite naquit, le 2i décembre 1822, à Dieuze, chef-lieu de canton du département de laMeurthe, que le traité de Francfort a fait passer depuis entre les mains de l'Allemagne.

Son grand-père du côté paternel était un armateur, probablement originaire de Marseille. 11 avait un somptueux hôtel dans la Chaussée d'Antin, mais il fut ruiné pendant la Révolution ; il mourut en prison, et un de ses frères, qui était son associé, fut guillotiné. Le père de notre cher maître, Ferdinand Hermite. était encore bien jeune au moment de la ruine de sa famille. Il fit ses études d'ingénieur, mais n'eût jamais beaucoup de goût pour son métier. Autant qu'on me l'a représenté, il eût été plutôt un artiste : il faisait un peu de peinture et était excellent musicien. La destinée devait, peut-être pour son plus grand bien, le mener très loin des beaux-arts. Entré en Lorraine dans une entreprise de salines, il se fixa à Dieuze et épousa bientôt Mlle Madeleine Lallemand, fille d'un marchand de drap de cette petite ville. Il abandonna alors l'industrie du sel et l'art de l'ingénieur pour le commerce du drap et succéda ensuite à ses beaux-parents. Mme Hermite parait avoir été l'âme de la maison de commerce, qu'elle agrandit considérablement. Charles Hermite aimait à raconter que son père avait peint l'enseigne de la maison : elle représentait un solitaire dans quelque thébaïde et on lisait au-dessous : à l'ermite. Dans son affection reconnaissante pour ses parents, il se plaisait aussi à rappeler, et il m'a dit bien des fois, que c'était à leur activité, à leur labeur persévérant, qu'il devait la modeste aisance grâce à

laquelle il a pu se livrer à ses goûts, et se consacrer sans réserve à ses recherches mathématiques.

M. et Mme Ferdinand Hermite eurent sept enfants, deux filles et cinq fils. Charles Hermite fut l'avantdernier. Il avait six ou sept ans quand ses parents vinrent établir à Nancy leur maison de commerce. La discipline était sévère dans la famille (1). Mais, comme il arrive chez beaucoup de négociants, il ne semble pas que M. et Mme Hermite aient trouvé le temps de veiller de près à l'éducation de leurs iils. On les mit au collège de Nancy, d'abord comme demipensionnaires, ensuite comme internes ; et, comme à cette époque les études y laissaient à désirer, on envoya Charles à Paris, où il suivit les classes de seconde et de rhétorique du Collège Kenri IV. En seconde, ce qui intéressa le plus le jeune élève, ce fut la classe de Physique, faite par M. Despretz, qui devait devenir peu de temps après professeur à la Sorbonne et membre de l'Institut. Son professeur de lettres, M. Caboche, qui fut plus tard inpecteur général, lui reprochait de trop aimer le Cours de M. Despretz. Somme toute, les études classiques d'Hermite furent faites sans beaucoup d ardeur. L'internat ne lui convenait nullement ; il avait le sentiment d'être dans une caserne, dans une geôle pour emplo3^er sa propre expression. C'est seulement après ses classes que nous le verrons reprendre spontanément ses études classiques et devenir cet humaniste distingué que nous avons connu.

Entraîné par l'exemple de son frère aîné Hippolyte (2), et sans doute aussi par cette intuition confuse qui dirige souvent les hommes vers les études ou les

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travaux qui conviennent le mieux à leurs secrètes aptitudes, il négligea la Philosophie et les Mathématiques élémentaires et, au début de l'année scolaire 1840-1841, il entrait au Collège Louis-le -Grand dans la classe des Mathématiques préparatoires à l'École Polytechnique, dont le professeur était M. Richard (3). Il avait alors dix-huit ans. C'est à ce moment que se développa, avec une rapidité et une intensité extraordinaires, cette furie mathématique qu'il n'avait pas montrée dans les classes de lettres et qu'il devait garder jusqu'à son dernier jour. L'excellent M. Richard, qui, comme tous les bons professeurs, savait juger les élèves, reconnut très promptement toute la valeur d'Hermite. U disait à son père : « Ce sera un petit Lagrange » ; mais il s'inquiétait beaucoup de le voir suivre sa fantaisie et négliger l'examen, llermite n'était pas de ceux qui s'assujettissent volontiers à un programme régulier. Sur ce point caractéristique, nous pouvons nous en rapporter à ses propres déclarations.

« J'ai eu aussi les examens en horreur, écrivait-il quarante ans après à son jeune ami Mieltjes, et j'ai passé une année, étant élève de Mathématiques spéciales, à lire, à la Bibliothèque Sainte-Geneviève, les Collections académiques, les Ouvrages d'Eulër, etc., au lieu de me mettre eh mesure de répondre sur les questions de Géométrie, de. Statique., etc. M. G... m'avait pris en aversion et j'ai expié par un humiliant échec mes fantaisies <l écolier savant (4). »

Si Hermite négligeait les questions de Géométrie, de Statique, il était bien loin de perdre son temps, et il acquit avec une rapidité extraordinaire des connaissances très étendues en Algèbre supérieure et en Analyse, Nous pouvons en donner comme preuve la

composition qu'il présenta à la fin de Tannée pour le Concours général. Le sujet choisi était la théorie de l'élimination (5). Hermite eut le premier accessit ; le second prix échut à Bresse, qui devait devenir plus tard membre de notre Section de Mécanique. Comme toutes les copies couronnées, celle d'Hermite nous a été conservée. Après un si long intervalle de temps, son écriture est facile à reconnaître ; elle ne diffère presque pas de celle que sa correspondance a répandue dans le monde entier. Le jeune élève fait preuve d'originalité dans son exposition. Il connaît à fond la théorie des fonctions symétriques, utilise déjà cette dérivée logarithmique qui devait jouer un si grand rôle dans ses travaux et applique ce que, dans son enthousiasme juvénile, il appelle le fameux théorème de Lagrange (6).

L'année suivante, il fut moins heureux. Le sujet choisi, toujours élémentaire, était la règle des signes de Descartes. Hermite consigna dans son exposé cette propriété nouvelle : Lorsque les coefficients de quatre termes consécutifs d'une équation algébrique sont en progression arithmétique, l'équation a nécessairement des racines imaginaires. Cette remarque ingénieuse ne lui valut même pas un accessit. Au concours de 1842, le nom, qui devait devenir à jamais glorieux, d'Hermite ne figura plus sur le palmarès.

En revanche, il fut reçu à l'Ecole Polytechnique. Son rang ne fut pas brillant; il est vrai; il n'était que le soixante-huitième. Gardons-nous cependant de jeter la pierre aux juges du concours. L'examinateur de Géométrie descriptive né dut pas être très satisfait de ses réponses. Sur ce point encore, nous pouvons invoquer le témoignage d'Hermite et sa correspondance avec Stieltjes. Cinquante ans après, il écrivait à son jeune ami :

122 NOTICE HISTORIOIE

« Si vous ne me prenez pas en compassion quand j'essaie de comprendre quelque chose aux épures de Géométrie descriptive, c'est que vous avez le cœur d'un tigre 7). »

Et ailleurs :

« Je ne puis vous dire à quels ell'urts je suis condamné pour comprendre quelque chose aux épures de Géométrie que je déteste et à des choses comme la formule des annuités en Arithmétique, etc. Combien sont heureux ceux qui peuvent ne songer qu'à l'Analyse (8). »

S'il avait été reçu par des examinateurs qui ne plaisantaient pas sur la formule des annuités, etc., il avait bien dû travailler un peu, bien peu, tout le programme : mais il avait songé avant tout à l'Analyse. Elève libre de l'Institution Mayer, une de celles qui étaient si florissantes à cette époque et gravitaient comme de précieux auxiliaires autour de nos Collèges d'enseignement secondaire, il avait continué à aller à la Bibliothèque Sainte-Geneviève lire les Ouvrages des maîtres et, parmi eux, le Traité de la résolution des équations numériques de Lagrange ; il achetait avec ses économies la traduction française des Disquisitiones Arithmeticœ de Gauss. C'est dans ces deux livres, se plaisait-il plus tard à répéter, que j'ai appris l'Algèbre. Le premier fruit de ses études avait été un article intitulé : Considérations sur la résolution algébrique de l équation du cinquième degré, qu'il envoya en 1842 aux Nouvelles Annales de Mathématiques. Comme Abel, comme Jacobi et beaucoup d'autres géomètres, Hermite s'attaquait, pour ses débuts, à ce problème, que l'on rencontre au seuil de la théorie des équations, et où ses travaux devaient laisser plus tard une trace impérissable. Ce premier essai, où il se propose de démontrer l'impossibilité de la résolution algébrique de l'équation du cinquième degré, a con-

CHARLES HEIlMlTi;

serve aujourd'hui encore son intérêt. On y reconnaît que le jeune élève avait su s'assimiler, dans toute leur étendue et dans toute leur portée, les principes féconds et les méthodes que Lagrange a développés dans le Traité de la résolution des équations.

Mais une preuve plus éclatante encore de ses merveilleuses aptitudes allait être donnée, dès les premiers temps de son séjour à l'Ecole Polytechnique. En janvier 1843, trois mois à peine après son entrée à l'Ecole, et sur les conseils de Liouville, il envoyait une lettre à Jacobi pour lui communiquer un Travail sur la division des transcendantes abéliennes.

Seize années auparavant, Jacobi, presque inconnu et simple privatdocent à l'Université de Kœnisberg, écrivait à l'un de nos grands géomètres, à Legendre, pour lui communiquer les généralisations çju'il avait données à la théorie de la transformation des fonctions elliptiques, et sa lettre commençait en ces termes :

« Monsieur, un jeune géomètre ose vous présenter quelques découvertes faites dans la théorie des fonctions elliptiques, auxquelles il a été conduit, par l'étude assidue de vos beaux travaux. C'est à vous, Monsieur, que cette partie brillante de l'Analyse doit le haut degré de perfectionnement auquel elle a été portée, et ce n'est qu'en marchant sur les vestiges d'un si grand maître que les géomètres pourront la pousser au delà des limites qui lui ont été prescrites jusqu'ici. C'est donc à vous que je dois offrir ce qui suit comme un juste tribut d'admiration et de reconnaissance. »

Cet hommage que Jacobi rendait à Legendre était entièrement mérité. Dans des découvertes particu-

Hères de Fagnano et de Landen, dans une intégration géniale d'Euler, Legendre avait su reconnaître les premiers linéaments d'une branche importante de l'Analyse ; et, malgré l'indifférence que rencontraient tous ses travaux auprès de ses compatriotes, il n'avait cessé de travailler pendant près de cinquante ans à la constitution d'un corps de doctrine embrassant toutes les intégrales dans lesquelles entre une seule irrationnelle, la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré. Et c'était au moment où Legendre venait de coordonner tous ses résultats, de commencer la publication de son grand Traité des fonctions elliptiques, que les découvertes de Jacobi, bientôt suivies de celles de son illustre émule Abel, venaient transformer de fond en comble l'édifice qu'il avait élevé et apportaient des éléments destinés à renouveler l'Analyse mathématique tout entière. En présence de telles découvertes, et dès le premier jour, Legendre n'éprouva d'autre sentiment que celui de l'admiration. Notre Académie se plut à enregistrer ses éloges et à les transmettre au monde savant.

Depuis cette époque mémorable, Jacobi était devenu un des maîtres illustres de la Science mathématique ; par ses immortels travaux, par ceux d'Abel, non seulement la théorie des fonctions elliptiques avait été portée au plus haut degré de développement, mais une théorie nouvelle, prenant sa source dans le théorème d'Abel, que Legendre appelait monumentum aère pereunius, était née, qui rattachait l'étude des fonctions elliptiques à celle des transcendantes les plus générales produites par l'intégration de différentielles algébriques quelconques.

C'est à celles d'entre elles qui s'ont les plus rapprochées des transcendantes elliptiques que se rapportaient les résultats communiqués par Hermite à Jacobi.

Mais, pour bien comprendre la portée de ces résultats, il faut se rappeler qu'en 1843 le Mémoire, d'un intérêt capital, dans lequel Jacobi avait donné le véritable sens du théorème d'Abel et obtenu la notion des nouvelles transcendantes, était ignoré de la plupart des Analystes. Gôpel et Rosenhain n'avaient pas encore commencé ou publié leurs études sur ce sujet difficile. Hermite étendait aux fonctions abéliennes les théorèmes donnés par Abel et par Jacobi pour la division de l'argument dans les fonctions elliptiques. Ce que l'on savait faire pour les équations à une inconnue de la théorie des fonctions elliptiques, il parvenait à l'effectuer pour les équations à plusieurs inconnues à l'aide desquelles on divise les fonctions abéliennes produites par l'intégration des radicaux carrés.

« C'est ainsi, disait Liouville, on me pardonnera ce rapprochement entre l'ancienne et la nouvelle Ecole Polytechnique, qu'à son débat Poisson étendit a la détermination rlu degré de l'équation finale résultant de l'élimination des inconnues entre un nombre quelconque d'équations la méthode des fonctions symétriques dont on n'avait d'abord su laire usage que pour deux, équations à deux inconnues (9). »

En recevant la communication que lui, faisait Hermite, Jacobi dut se reporter par la pensée aux premières années de sa glorieuse carrière ; et cet accueil chaleureux qu'il avait trouvé auprès de Legendre, il fut heureux de le réserver à son tour au travail du jeune Français, où se trouvait utilisée pour la première fois une notion qu'il n'avait acquise qu'au prix des plus grands efforts.

« Je vous remercie, écrit-il à Hermite le 21 juin 1843, bien sincèrement de la belle et importante communication

que nous venez de me faire, louchant la division des fonctions abéliennes. Vous vous ries ouvert, par la découvertes de celte division, un vaste champ de recherches et de. découvertes nouvelles qui donneront un grand essor a l'art analytique. Je vous prie de faire mes compliments à mon illustre ami M. Liouville, je lui sais bon gré d'avoir bien voulu me procurer le grand plaisir que j'ai ressenti en lisant la Mémoire d'un jeune homme dont le talent s'annonce avec tant d'éclat dans ce que la Science a de plus abstrait (10; . »

11 semble qu'après ce brillant début, les productions d'Ilermite auraient dû se succéder sans relâche. Elles se firent néanmoins un peu attendre. Son séjour à l'Ecole Polytechnique fut troublé par les inquiétudes que lui donna une décision ministérielle. Il avait au pied droit une infirmité qui datait de naissance et qui l'obligeait à se servir d'une canne : cette infirmité, qui n avait pas empêché son admission, détermina le Ministre à lui refuser une prolongation de séjour. Ce n'est que sur les vives instances des hommes politiques de son département qu'il fut maintenu à l'Ecole, mais sous la réserve qu'il ne demanderait aucun poste dans les carrières publiques à la sortie. Dans ces contions, il n'avait aucun intérêt à préparer des examens qui ne pouvaient lui ouvrir l'entrée des services civils. 11 quitta donc l'Ecole à la fin de la première année. Toutes les incertitudes qu il eût ainsi à subir expliquent le long intervalle qui s'est écoulé entre sa première et sa seconde lettre à Jacobi. La première, nous l'avons dit, est datée de janvier 1843; la seconde a été écrite en août 1844.

Comme la première, cette nouvelle communication reçut de Jacobi le meilleur accueil.

« Si vous voyez ltichelot et Hesse, écrivait-il à un de ses correspondants, dites-leur que j'ai reçu d'Uermite une nou-

velle grande lettre clans laquelle il établit pour la première l'ois les formules relatives ;i la .transformation des fonctions elliptiques que j'ai données, il y a plus de seize ans, sans démonstration (11). »

La méthode qui permettait à Hermite de combler cette lacune reposait précisément sur ce caractère, qu'il déclarait digne de toute attention, des trois fonctions elliptiques d'être exprimables par le quotient de deux fonctions, développables en séries toujours convergentes, qui restent les mêmes, ou ne font qu'acquérir un facteur commun, lorsqu'on augmente l'argument de multiples des périodes. En d'autres termes, Hermite inaugurait la seconde période de la théorie des fonctions elliptiques. Au lieu de faire reposer cette théorie sur les intégrales de Legendre, il la rattachait à la transcendante H de Jacobi, par une méthode qui lui était propre et qui a joué un grand rôle dans ses travaux ultérieurs et dans son enseignement.

En lui répondant le 6 août 1845, Jacobi revendiquait, en même temps que quelques-uns des résultats démontrés par Hermite, l'idée fondamentale de faire reposer sur les fonctions 6 toute la théorie. Il ajoutait immédiatement ces paroles qui ont été souvent reproduites :

« Mais, ce qui auparavant ne m'est jamais venu dans l'esprit, c'est votre idée ingénieuse et très originale de faire ressortir de ces mêmes principes le théorème d'Abel en tant qu'il s'applique aux fonctions elliptiques.... En cherchant à tirer la transformation directe des fonctions © sans faire usage de leur décomposition en produits infinis, vous avez savamment pensé aux cas généraux, où probablement Ton doit se résigner à l'impossibilité d'une décomposition en facteurs .

« Ne soyez pas fâché, Monsieur, si quelques-unes de vos découvertes se sont rencontrées avec mes anciennes recher-

ches Comme vous dûtes commencer par où je finis, il y a oécessai rement une petite sphère de contact. Dans la suite, si vous m'honorez de vos communications, je n'aurai qu'à, apprendre (12). »

Après sa sortie de l'Ecole Polytechnique, Hermite resta à Paris pour y continuer ses travaux. Il était devenu une énigme pour sa famille ; l'esprit posilif de sa mère ne comprenait rien à cette étrange vocation mathématique. Il semble qu'elle ait été envisagée avec plus d'indulgence par son père, qui se rappelait sans doute les prédictions de M. Richard. C'est à ce moment qu'il lit la connaissance des deux frères Alexandre et Joseph Bertrand. Ses études mathématiques n'avaient aucun point commun avec celles de Joseph ; mais il s'était mis à faire du grec, et lisait Homère avec Alexandre Bertrand. Les siens l'ont même entendu, plus tard, rappeler en riant qu'il lui avait donné d'utiles conseils pour une leçon d'agrégation.

Nous pouvons nous le représenter tel qu'il était à cette époque en regardant le portrait au crayon que possède sa famille et qui a été reproduit par l'héliogravure dans le Tome I de ses Œuvres, dont la publication complète est déjà commencée sous les auspices de l'Académie. Sa chevelure est bouclée, son front est large, ses yeux brillants paraissent éclairés par une lumière intérieure ; il a l'air doux et bienveillant. En tenant compte de la différence des âges, on retrouve une ressemblance parfaite entre ce portrait de sa première jeunesse et tous ceux qui nous ont été conservés de lui. Il suffit de le comparer à l'esquisse que nous possédons des traits de l'infortuné Galois pour apprécier toute la saveur du récit suivant de Joseph Bertrand :

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« Un des frères de mon père, le I)r Stanislas Bertrand, qui jamais n'étudia les Mathématiques, a vécu dans l'intimité de Galois. Il le rencontrait en 1830, tantôt dans les bureaux du journal La Tribune, tantôt dans les réunions secrètes de la Société Aide-loi, le ciel t'aidera; ce qui les conduisit à s'asseoir ensemble sur les bancs de la police correctionnelle. Quinze ans après, mon oncle, venant me voir, me trouva causant avec un jeune homme, qu'il semblait regarder avec attention et écouter avec étonnement. 11 me dit le lendemain : j'ai éprouvé hier une grande émotion, j'ai cru, pendant un quart d'heure, voir et entendre Evariste Galois. Il avait vu et entendu Charles Hermite (13j. »

A cette époque, l'enseignement public et l'enseignement libre ouvraient volontiers leurs rangs aux jeunes polytechniciens qui se sentaient du goût pour la recherche scientifique. Joseph Bertrand, Ossian Bonnet, Alfred Serret, un peu plus anciens à l'Ecole, n'avaient pas craint de renoncer à des positions assurées pour se faire une carrière dans le professorat. Il semble qu'Hermite, sous l'impulsion de sa famille, ait voulu faire de même ; et lui, que tous saluaient déjà comme un des maîtres de la Science française, se préoccupa pendant quelque temps d'acquérir les grades qui lui étaient nécessaires. Il se, présenta au baccalauréat es Lettres le 1er juillet 1847, à l'âge de 24 ans (14). Douze jours après, il passait l'examen du baccalauréat es Sciences devant un Jury composé de son ancien professeur Despretz, de Sturm et de son ami Joseph Bertrand, alors agrégé de la Faculté (15). L'année suivante, le 9 mai 1848, il subissait avec succès les épreuves de la licence es Sciences physiques. Heureusement les circonstances venaient interrompre cette poursuite des grades, qui a pour nous quelque chose de pénible ; et l'Ecole Polytechnique,

renouvelant pour Hermite ce qu'elle a fait pour plusieurs de ses anciens élèves entrés clans la carrière des Sciences, lui confiait, à partir de juillet 18i8, les fonctions d'examinateur d'admission. Il y joignait bientôt* le 12 décembre de la même année, celles de répétiteur d'Analyse, qu'il a quittées seulement le 6 mai 1803 pour devenir examinateur des élèves. Dès ce moment, sa carrière était orientée, au moins dans sa première partie.

Au milieu de tous ces troubles, de toutes ces préparations, Hermite n'avait jamais cessé de se consacrer, avec une ardeur et un succès extraordinaires, à ses études de Mathématiques. Ses découvertes de cette époque se rapportent surtout à l'Arithmétique supérieure ; elles ont été consignées dans quatre lettres nouvelles écrites à Jacobi. Nous n'avons pas leur date exacte ; mais, d'après une phrase de la première, nous pouvons affirmer qu'elle remonte aux premiers mois de 18i7. Il est impossible de lire, sans être pénétré d'admiration, ces écrits d'un géomètre de 24 ans. Chez Hermite. comme chez beaucoup d'autres, le génie mathématique a été précoce. On songe à (ialois, faisant à 20 ans ses immortelles découvertes ; à Gauss, écrivant au même âge ses Recherches arithmétiques; à Lagrange, qui. à 23 ans, avait jeté les fondements de tous ses Ouvrages. Par l'étendue des questions abordées, par la nature et la fécondité des principes employés, ces admirables lettres dépassent, et de beaucoup, tout ce qu'IIermite avait écrit jusqu'alors. Elles contiennent en germe, non seulement ses principales découvertes, mais aussi celles qu'il a préparées à ses successeurs. A partir du moment où il les a écrites. Hermite, pour tous les juges compétents, devait être classé au rang des plus grands géomètres.

Dans les fonctions d'examinateur d'admission, qu il

a remplies jusqu'en 1860, il succédait à un savant éminent, Wantzel, dont il a plus d'une fois évoqué le souvenir et qu'une mort prématurée a seule empêché de devenir célèbre. Tous ceux qui ont connu Hermite à cette époque, ou qui ont eu la bonne fortune d'être interrogés par lui, savent avec quelle bienveillance, mais aussi avec quelle supériorité, il s'acquittait de ses délicates fonctions. Rien n'était banal dans ses examens; sur la question la plus simple, il trouvait moyen d'être ingénieux et original.

Plus tard, quand il était professeur à la Sorbonne, j'ai eu plus d'une fois à aller le trouver, pendant quelques-uns des examens qu'il avait à faire passer pour le baccalauréat. Tous, maîtres et élèves, auraient eu profit à l'entendre, même sur les sujets qui paraissaient les plus insignifiants. Jl agrandissait et* transformait tout ce qu'il touchait.

Au cours de l'année même où il fut nommé examinateur, il se maria avec la sœur de ses deux amis, Louise Bertrand, qui devait lui survivre de bien peu et qui lui donna deux filles. L'aînée fut mariée à M. Georges Forestier, ingénieur des plus distingués, qui vient de mourir avec le titre d'Inspecteur général des Ponts et Chaussées. La cadette a épousé M. Emile- Picard, qu'Hermite aura eu la joie de voir siéger à côté de lui dans la Section de Géométrie, pendant près de douze ans.

Il habitait, à cette époque, place de l'Odéon, la même maison qu'Eugène Burnouf, avec qui il eut beaucoup de relations. Le souvenir du grand philologue lui était resté très vif. Il étudia alors le sanscrit et le vieux persan. Il suivait les cours du Collège de France et fréquentait le salon de M. MohI. Ce n'est pas qu'il eût, pour les langues, une mémoire très heureuse ; mais il aimait à étudier le mécanisme gramma-

tical et y trouvait le même plaisir que dans une transformation algébrique. C'est dans cet ordre d'idées qu'Hermite, toujours porté à s'intéresser aux questions d'enseignement, puisait des arguments pour le maintien du thème latin, aujourd'hui sacrifié, II pensait qu'il joue dans l'éducation littéraire le même rôle que les Mathématiques dans l'éducation générale :

« Posséder des régies bien précises, reconnaître quand il convient de les appliquer, les appliquer alors correctement, voilà, suivant lui, écrit M. Tannery, ce qu'il faut aux enfants (16). »

Cette vie de travail, passée loin des plaisirs du monde, pour lesquels Hermite n'avait aucun goût, n'était interrompue que par les voyages qu'il devait faire chaque année, pour remplir ses fonctions d'examinateur. Il était souvent accompagné par Mme Hermite ; et, quand les examens lui laissaient quelque liberté, il allait volontiers se délasser au spectacle et y entendre quelque opéra, avec ses collègues Serret et Honnet. Hermite avait pour la musique un goût très vif, qu'il partageait d'ailleurs avec Bonnet. Ses parents ne lui avaient fait faire aucune étude dans ce sens, mais il avait une grande mémoire musicale et pouvait facilement retrouver sur le piano un motif qu'il avait entendu une seule fois. En revanche, il aurait été très difficile de l'entraîner dans un musée. Il a écrit quelque part que l'Algèbre a son élégance et que le sentiment de l'Art n'est point étranger aux géomètres ; mais son père ne lui avait transmis aucune de ses aptitudes pour les arts plastiques, et j'ai le regret de dire qu'il manifestait pour la peinture, et surtout pour la sculpture, une véritable aversion.

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, Les loisirs que lui laissaient les fonctions peu absorbantes dont il était chargé lui permirent alors de se livrer sans relâche à ces méditations qui retiennent et occupent quelquefois pendant des journées entières la pensée du savant, et il put connaître cette continuité dans le travail qui est nécessaire à l'élaboration d'une œuvre vraiment solide.

Les nombreux travaux qu'il publia à cette époque ne sont que le développement normal du programme si vaste qu'il s'était proposé et des principes féconds qu'il avait posés, dans ses quatre dernières lettres à Jacobi. Au commencement de ses recherches, son seul but, il le dit lui-même, avait été d'examiner lé nouveau mode d'approximation des irrationnelles, auquel Jacobi avait été conduit pour établir l'impossibilité d'une fonction ayant plus de deux périodes ; mais peu à peu, et sous l'influence de la lecture assidue des Disquisitiones arithmeticœ, des problèmes infiniment plus vastes se présentèrent à son esprit. Gauss, dans son immortel Ouvrage, avait développé la théorie des formes quadratiques binaires, et s'était borné à ébaucher celles des formes ternaires. Hermite, pénétrant dans cet admirable édifice, découvrant les principes algébriques qui y servent de support aux recherches arithmétiques, ne craignit pas d'aborder les grandes questions de la théorie des formes dans toute leur

« Dans cette immense étendue de recherches qui nous a été laissée par M. Gauss, écrit-il à Jacobi, l'Algèbre et la Théoriedes Nombres me paraissent devoir se confondre danâ un même ordre de notions analytiques dont nos connais-

sances actuelles ne nous permettentpas encore de nous faire une juste idée. Peut-être cependant doit-on entrevoir qu'il appartiendra à cette partie de la Science, constituée ainsi sur ses véritables bases, d'offrir le tableau de tous les éléments en nombre fini ou illimité, dont dépendent les racines des équations algébriques, séparés en types irréductibles et classés suivant leurs rapports naturels (17). «

C'est dans la théorie des formes quadratiques à un nombre quelconque de variables qu'IIermite sut trouver les instruments nécessaires pour aborder ce vaste ensemble de recherches. Prenant pour point de départ un admirable théorème relatif au minimum d'une forme quadratique, dans laquelle on substitue aux variables des entiers positifs ou négatifs, il introduisit, pour chaque question, des formes quadratiques convenablement choisies, dont le caractère propre était de contenir des coefficients variables, que l'on faisait croître ou décroître d'une manière continue. Cette introduction des variables continues dans la théorie des nombres a été, entre les mains d'IIermite. le plus merveilleux et le plus souple des instruments de recherche. C'est grâce à elle qu'il put constituer d'une manière vraiment géniale sa méthode d'approximation d'une ou de plusieurs irrationnelles, donner d'une manière simple la réduction des formes quadratiques à un nombre quelconque de variables, et aussi obtenir la démonstration de ce remarquable théorème qui devait être généralisé plus tard, sous un certain point de vue, par M. Camille Jordan : les racines des équations algébriques à coefficients entiers et d'un même discriminant s'expriment par un nombre limité d'irrationnelles distinctes.

Même dans ce résumé si rapide, il m'est impossible de négliger une autre considération féconde, celle des formes quadratiques à indéterminées conjuguées, qui

jouent un rôle si important dans le domaine de la variable complexe et qui permirent à Hermite d'étendre d'une manière complète aux irrationnelles imaginaires la théorie et les propriétés du développement en fraction continue. C'est en continuant les études arithmétiques d'Hermite sur les formes à indéterminées conjuguées et sur les formes quadratiques que M. Emile Picard a pu constituer sa belle théorie des groupes hyperfuchsiens et hyperabéliens.

Je ne saurais abandonner les formes quadratiques et les formes à indéterminées conjuguées sans rappeler l'usage qu'en fît Hermite pour donner des démonstrations nouvelles et originales des célèbres théorèmes de Sturm et de Cauchy relatifs à la séparation des racines. Ses travaux antérieurs lavaient préparé à considérer les formes quadratiques formées avec des jonctions semblables des racines d'une équation ; ils lui avaient même donné, sous une forme plus générale, cette propriété des formes quadratiques que Sylvester désigna sous le nom de loi d'inertie. L'expression, que Sylvester obtint, le premier, des polynômes de Sturm en fonction des racines de l'équation algébrique permit à Hermite de constituer une méthode entièrement nouvelle de démonstration, qui n'employait aucune considération de continuité et qui surtout avait l'avantage de pouvoir s'appliquer, sous les formes les plus variées, à plusieurs équations à plusieurs inconnues. Ces travaux, qui ont ouvert des voies aujourd'hui encore en partie inexplorées, se rattachaient à d'autres recherches dont il importe maintenant que nous donnions une idée.

NOTICE BISTORIQT Ë

Dans la théorie des formes quadratiques, les notions algébriques qui servent de soutien à la théorie étaient relativement simples. La considération du déterminant de la forme, celle de la forme adjointe, suffisaient pour toutes les recherches. Mais, dès qu'on s'élevait aux formes binaires de degré supérieur, des éléments nouveaux se présentaient. qu'Hermite et Eisenstein avaient déjà dû comprendre dans leurs éludes. Aussi, lorsqu"en 1845, un Mémoire célèbre de Cayley mit en pleine lumière la notion des invariants, que devait suivre celle des covariants donnée par Sylvester, Hermite était admirablement préparé à suivre les deux géomètres anglais dans la voie nouvelle où ils commençaient à s'engager. « Hermite, Cayley et moi, disait plus tard Sylvester, nous formions une trinité invariantive. » La part d'Hermite est belle dans cette création de toute une théorie. C'est à lui qu'il faut attribuer la célèbre loi de réciprocité (d'après laquelle, à tout covariant d'une forme de degré m et qui est du degré p par rapport aux coefficients de cette forme, correspond un covariant d'une forme de degré p qui est du degré m par rapport aux coefficients de cette forme, les deux covariants étant d'ailleurs du même degré par rapport aux variables homogènes), la découverte d'un covariant quadratique pour toutes les formes binaires de degré pair à partir du sixième degré, celle des covariants linéaires pour toutes les formes de degré impair à partir du cinquième degré, celle de l'invariant gauche du dixhuitième degré pour les formes du cinquième ordre, etc. Tous ces résultats sont exposés avec cette extrême élégance qui caractérise les travaux d'Hermite. Il avait

le secret de ces transformations analytiques qui permettent de pénétrer au cœur d'une question de la manière la plus rapide et la plus imprévue.

Parmi ces travaux qui ont tant contribué au développement de l'Algèbre moderne, il faut distinguer celui qu'il a consacré à la transformation de Tschirnhausen ; car il offre ce mérite inattendu de faire rentrer dans le domaine des invariants une question qui paraissait leur échapper; il faut mentionner aussi ses recherches approfondies sur les formes du cinquième degré. C'est qu'il avait en vue un beau problème dont il allait bientôt apporter la solution. Déjà en 1847, lîorchardt, un des meilleurs élèves de Jacobi, étant de passage à Paris, avait fait la connaissance d'Hermite. et il écrivait d'Oxford à son illustre maître :

« llermile a vérifié et démontré les théorèmes de Galois relativement à rabaissement de l'équation modulaire pour la transformation du cinquième, du septième et du onzième degré des fonctions elliptiques. En particulier, pour la transformation du cinquième ordre, l'équation modulaire du sixième ordre est la réduite d'une équation du cinquième ordre. Cette équation du cinquième ordre peut donc être résolue par les fonctions elliptiques. Hermite s'est donc posé le problème de rechercher si toutes les équations du cinquième ordre peuvent être ramenées à cette équation spéciale, ce qui est très vraisemblable puisqu'elle contient une constante arbitraire (18). »

Ce beau problème qu'Hermite s'était proposé à l'époque où il écrivait la première de ses quatre lettres à Jacobi, il ne le perdit pas de vue pendant onze ans. C'est en 1858 qu'il en apporta la solution à l'Aca-

demie des Sciences, dont il était devenu membre le 13 juillet 1836, succédant à Binet dans la section de Géométrie. Utilisant la réduction de l'équation du cinquième degré à une équation trinôme, qui avait été effectuée depuis longtemps par Bring et Jerrard à l'aide de la transformation de Tschirnhausen, Hermite identifia cette équation trinôme à celle que lui fournissait la transformation du cinquième ordre des fonctions elliptiques, et put ainsi exprimer les cinq racines de l'équation du cinquième degré par des fonctions uniformes d'un même paramètre. C'était l'extension aux équations du cinquième degré du résultat obtenu depuis longtemps à l'aide des fonctions trigonométriques pour l'équation du troisième degré. Cette découverte, qu'il étendit immédiatement à l'équation du quatrième degré, eut un immense retentissement. Il fut bientôt suivi dans la voie qu'il avait ouverte par Kronecker et Brioschi. Kronecker avait trouvé de son côté, mais sans la publier, une autre solution du problème si élégamment résolu par Hermite. S'empressant de communiquer cette nouvelle solution à l'Académie, Hermite en fit plus tard une étude approfondie.

La fonction uniforme à l'aide de laquelle Hermite était parvenu au résultat qu'il avait en vue depuis si longtemps est la fonction modulaire, une des plus importantes de l'Analyse. Le génie pénétrant d Hermite sut en reconnaître tout l'intérêt ; il lui consacra un de ses plus beaux Mémoires. Elle offre le premier et mémorable exemple de ces fonctions engendrées par un groupe discontinu que M. Poincaré devait introduire en Analyse et qui, entre autres résultats, ont

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donné à notre confrère les moyens d'intégrer toutes les équations linéaires à coefficients algébriques. Rappelons également qu'entre les mains de M. Emile Picard, la fonction modulaire a permis d'établir des propriétés caractéristiques et très cachées des fonctions holomorphes.

Ces recherches sur la fonction modulaire se rattachaient à celles que Ilermite n'a jamais cessé de faire sur les fonctions elliptiques. Les formules si élégantes qu'on rencontre dans cette théorie, ces transformations inattendues dont son génie analytique percevait toute la portée, étaient l'objet de ses incessantes méditations : « Je ne puis sortir du domaine elliptique, écrivait-il A^ers la fin de sa vie ; là où la chèvre est attachée, dit le proverbe, il faut qu'elle broute (19). » Si quelque jeune géomètre venait lui demander une direction, il lui assignait comme but de devenir un rir ellipticus, ou bien il lui signalait comme digne d'éclaircissement quelque point particulier des Fundamenta nova de Jacobi. Ce qui l'attirait par-dessus tout, ce sont les relations que Jacobi avait commencé à mettre en évidence entre les transcendantes elliptiques et l'Arithmétique supérieure. J'aurai plus loin l'occasion d'y revenir.

Cependant, depuis le premier travail d'Hermite sur la division des fonctions abéliennes, deux géomètres allemands, Gopel et Rosenhain, et après eux Weierstrass avec une bien plus grande généralité, avaient résolu le problème posé par Jacobi de l'inversion des fonctions abéliennes à l'aide des fonctions 6 généralisées. En 1855, une année avant sa nomination à

NOTICE BISTOftIQUE

l'Institut, Hermite revint sur cette belle théorie et publia, sur la transformation des fonctions abéliennes, un Mémoire que l'on s'accorde à regarder comme une de ses plus belles œuvres. Les diflicullés qu'il v rencontrait étaient infiniment plus grandes que dans le problème correspondant de la théorie des fonctions elliptiques. Tandis que, dans les fonctions doublement périodiques, les deux périodes sont indépendantes, pour les fonctions abéliennes il existait entre les quatre périodes une relation bilinéaire qui devait être respectée par la transformation. Hermite a été ainsi conduit à constituer, pour la solution du problème, un groupe très intéressant de substitutions linéaires, dont les propriétés ont ensuite trouvé leur emploi dans un grand nombre d'autres recherches. M.Camille Jordan l'a utilisé comme élément essentiel dans le beau problème de la résolution des équations algébriques par radicaux ; il apparaît aussi dans le Calcul des systèmes linéaires de Laguerre, notre confrère regretté.

C'est ainsi qu'Hermite poursuivait ses travaux, sans suivre d'autre loi que celle du mouvement naturel de son esprit, sans se préoccuper des tendances qui se manifestaient autour de lui. A l'étranger, ses guides ou ses émules, Gauss, Jacobi, Dirichlet, Cayley, Borchardt, Sylvester, cultivaient, en même temps que la théorie pure, les applications à la Géométrie, à la Mécanique ou à la Physique. En France, Joseph Bertrand, Liouville, Ossian Bonnet s'attachaient à compléter les découvertes de Gauss en Géométrie, celles de Jacobi en Mécanique analytique. Quelques années auparavant, Fourier, en assignant comme but aux

Mathématiques l'utilité publique et l'explication des phénomènes naturels, essayait de justifier son opinion par ces paroles, qui ont été souvent reproduites et qui, il faut bien le dire, contiennent quelque part de vérité :

« L'étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. Non seulement cette étude, en offrant aux recherches un but déterminé, a l'avantage d'exclure les questions vagues et les calculs sans issue ; elle est encore un moyen assuré de former l'Analyse elle-même, et d'en découvrir les éléments qu'il nous importe le plus de connaître et que cette Science doit toujours conserver : ces éléments fondamentaux sont ceux qui se reproduisent dans tous les effets naturels. »

Hermite ne se livrait pas à l'étude approfondie de la nature ; il s'attachait à cultiver l'Algèbre, l'Arithmétique supérieure, l'Analyse transcendante, à révéler ou à utiliser les relations multiples qui unissent l'une à l'autre ces trois branches de la Science ; mais, en restant confiné dans la région la plus abstraite des Mathématiques, dans celle où règne le nombre pur suivant l'expression de M. Poincaré, il ne croyait pas s'écarter beaucoup de l'opinion de Fourier. II pensait, et je cite ici ses propres expressions, que les nombres et les fonctions de l'Analyse ne sont pas le produit arbitraire de notre esprit, qu'ils existent en dehors de nous avec le même caractère de nécessité que les choses de la réalité objective, et que nous les rencontrons, ou les découvrons et les étudions, de la même manière que les physiciens, les chimistes, les zoologistes, etc. (20). Cette doctrine était chez lui fort ancienne. On la voit poindre déjà, il me semble, dans un passage de ses lettres à Jacobi :

« On ne peut, dit-il, faire concourir trop d'éléments pour

jeter quelque lumière sur cette variété infinie des irrationnelles algébriques dont les symboles d'extraction des racines ne nous représentent que la plus faible partie... : niais quelle tâche immense pour la théorie des nombres et le calcul intégral de pénétrer au milieu d'une telle multiplicité d'êtres de raison, en les classant par groupes irréductibles entre eux, de les constituer tous individuellement par des définitions caractéristiques et élémentaires (21). »

Pour moi, écrivait-il plus tard à Stiel tjes, je ne suis qu'algébriste et jamais je n'ai quitté la sphère des Mathématiques subjectives, .le suis toutefois bien convaincu qu'aux spéculations les plus abstraites de l'Analyse correspondent des réalités qui existent en dehors de nous et parviendront quelque jour à notre connaissance, .le crois même que les efforts des géomètres reçoivent à leur insu une direction qui les fait tendre vers un tel but, et l'histoire de la Science me paraît prouver qu'une découverte analytique survient au moment nécessaire pour rendre possible chaque nouveau progrès dans l'étude des phénomènes du monde réel qui sont accessibles au cah-ul (22). »

Ces idées revenaient à chaque instant dans la conversation d'Hermite ; il les exprimait souvent aussi sur ses cahiers de calcul, avec plus de liberté d'esprit peut-être, et en laissant mieux transparaître sa croyance. Je leur emprunte le passage suivant :

cf II existe, si je ne me trompe, tout un monde qui est l'ensemble des vérités mathématiques, dans lequel nous n'avons accès que par l'intelligence, comme existe le monde des réalités physiques ; l'un et l'autre indépendants de nous, tous deux de création divine, qui ne semblent distincts qu'à cause de la faiblesse de notre esprit, qui ne sonl pour une pensée plus puissante qu'une seule et même chose, et dont la synthèse se révèle partiellement dans cette merveilleuse correspondance entre les Mathématiques abstraites d'une part. 1 Astronomie et toutes les brandies de la Physique de l'autre. >

CHARLES HEKMITE 143

Hermite était donc réaliste à la manière de Platon ou de Guillaume de Champeaux. Discuter ici sa doctrine, qui a quelque rapport aussi avec Y harmonie préétablie,, ce serait reprendre la critique des Systèmes philosophiques depuis Pythagore jusqu'à nos jours. Il A?aut mieux mettre en évidence les points de vue qu'il y rattachait.

Si les mathématiciens se transforment en naturalistes pour ohserver les phénomènes du monde arithmétique, il faut qu'une part soit faite en Analyse à la méthode d'observation. Hermite ne reculait pas devant cette conséquence ; il la développait dans une Note étendue qu'il a écrite pour Chevreul et que celui-ci a insérée dans un de ses nombreux Mémoires philosophiques (23).

« Il sera toujours difficile, dit Hermite, dans toute branche de nos connaissances, de rendre compte avec quelque fidélité de la méthode suivie par les inventeurs ; il faut même croire que l'auteur d'une découverte pourrait seul apprendre comment, avec les moyens toujours faibles de notre esprit, une vérité nouvelle a été obtenue. Mais c'est peut-être à l'égard des Mathématiques que le fait intellectuel de l'invention semble le plus mystérieux; car la série' de ces transitions où l'on reconnaîtrait la voie réellement suivie dans la recherche, le plus souvent n'apparaît pas d'une manière sensible dans la démonstration. Cette facilité d'isoler ainsi la preuve et d'ajouter à la concision du raisonnement, sans lui rien ôter de sa rigueur et de sa clarté, explique toute la difficulté de l'analyse des méthodes en Mathématiques. On peut néanmoins, à l'égard des procédés intellectuels propres aux géomètres, faire cette remarque fort simple, que justi liera l'histoire même de la Science, c'est que l'observation y tient une place importante et y joue an grand rôle.

« Tontes les branches des Mathématiques fournissent des jiirin es à l'appui de cette assertion, mais je les choisirai de

1 ï \ NOTICE HISTOHini K

préférence dans une de celles qu'on regarde comme plus abstraites. Je veux parler de la théorie des nombres. »

Et Hermite citait, comme exemples de faits constatés d'abord par l'observation, la périodicité du développement en fractions continues des racines d'une équation du second degré à coefficients entiers, la loi de réciprocité pour les résidus quadratiques, la loi de réciprocité pour les résidus cubiques qu'on voit, disait-il, dans les Œuvres posthumes d'Euler, déduite par l'observation, dans les termes mêmes où elle a été démontrée par Jacobi ; il rappelait également que Jacobi, voulant reconnaître s'il est vrai que tout nombre soit la somme de neuf cubes, suivant une proposition énoncée par Waring, avait fait construire par un calculateur habile des Tables qui donnaient, jusqu'au nombre 12.000, toutes les décompositions d'un entier en une somme de cubes. Sa Note se terminait par quelques observations sur le rôle de l'observation dans les procédés mêmes de démonstration des théorèmes (24).

Hermite voyait donc les faits analytiques se dresser devant lui comme des « êtres de raison » et son esprit pénétrant en découvrait sans peine les caractères essentiels ; mais ce qui l'attirait et le fascinait par-dessus tout, ce sont les rapports mystérieux, inattendus, que manifeste la marche de la Science entre ceux qui, au premier abord, peuvent paraître le plus distincts. C'est un point sur lequel il ne se lasse pas de revenir.

« C'est Riemann, nous dit-il quelque part, qui a reconnu le rôle important des points multiples et révélé par ses profondes découvertes une correspondance imprévue et du plus haut intérêt entre la Géométrie et les théories les plus abstraites du Calcul intégral (25). »

En parlant des travaux de Legendre et de Gauss sur la décomposition des nombres en carrés, il écrivait :

« Ces illustres géomètres, en poursuivant aux prix de tant d'efforts leurs profondes recherches sur cette partie de l'Arithmétique supérieure, tendaient ainsi à leur insu vers une autre région de la Science et donnaient un exemple de cette mystérieuse unité qui se manifeste parfois entre les travaux analytiques les plus éloignés (26). »

Et dans sa belle notice sur Kronecker, voici les réflexions qu'il présente, à propos des rapports si singuliers entre la théorie des fonctions elliptiques et celle des formes quadratiques :

« M. Kronecker a mis en évidence que la théorie des formes quadratiques de déterminant négatif a été une anticipation de la théorie des fonctions elliptiques ; de telle sorte que les notions de classes et de genres, celles des déterminants réguliers et de l'exposant d'irrégularité auraient pu s'obtenir par l'étude analytique et l'examen des propriétés de la transcendante. Cette correspondance que rien ne pouvait faire prévoir entre deux ordres si distincts, si éloignés, de connaissances mathématiques est une surprise pour l'esprit. Elle appelle l'attention sur la marche de la Science qui nous est en partie cachée et sur une secrète coordination de nos travaux qui seconde nos efforts et concourt à son développement. »

On pourrait multiplier les citations, mais il importe que je continue le récit de la glorieuse carrière d'IIermite.

Pendant qu'il remplissait ses fonctions d'examinateur, ses amis et ses camarades entrés dans l'Enseigne-

I i(') NOTICE BISTORIQUE

ment proprement dit étaient nommés au Collège de France, à l'Ecole Polytechnique, à la Sorbonne. Hermite leur fit part de son désir d'obtenir une chaire où il put exposer ses travaux ; malheureusement, et malgré tous leurs efforts, cette ambition si légitime ne put recevoir qu'une satisfaction tardive.

Déjà lorsqu'en 1848, Libri. obligé de quitter la France, laissa vacant son enseignement au Collège de France, Hermite y fut chargé, sur la proposition unanime des professeurs, d'un cours de Mathématiques qui dura deux ans (27). Le fruit de cet enseignement fut un Mémoire où Hermite exposait la théorie des fonctions doublement périodiques sous un point de vue essentiellement original. Ce travail, présenté à l'Institut en 1849, ne nous a pas été conservé. Nous le connaissons seulement par le Rapport que lui a consacré Cauchy. Mais il devait être rappelé ici, car il inaugure ce que Ton peut appeler la troisième période de la théorie des fonctions elliptiques, celle où les théories de Cauchy donnent enfin le secret et la véritable explication de la double périodicité. Des indications données par Cauchy dans son Rapport et dans une Note qui parut en même temps (28), on peut conclure que, dès cette époque, Hermite s'était arrêté au mode d'exposition de la théorie des fonctions elliptiques qu'il adopta plus tard dans son enseignement et dans la Note célèbre ajoutée à l'ouvrage de Lacroix.

En 1862, et sur l'initiative de Pasteur, qui voulait accroître l'éclat de l'enseignement mathématique à l'Ecole Normale, une nouvelle Maîtrise de conférences fut créée dans cette école et confiée à Hermite, qui devait l'occuper pendant sept ans. J'ai été un des premiers à recueillir son enseignement; mais je préfère laisser la parole à celui qui, dans le livre du Centenaire, s'est fait l'interprète de nos sentiments communs.

« Que rie remarques fines ou profondes, écrit M. Tanâery, h propos fie sujets rebattus. Quelle lumière jetée sur d'autres sujet- que le maître se plaisait à éclairer de loin. Que d'exemples merveilleusement propres à illustrer la matière, tout en captivant l'auditeur par l'intérêt qu'ils portaient en eux.

» J'ai entendu dire à M. Giard que renseignement qu'il avait le plus goûté à l'Ecole était celui de M. lier mite. M. Giard n'avait pourtant, dès cette époque, aucune hésitation sur la voie où il voulait s'engager : c'étaient les sciences naturelles qui l'attiraient, la science de ce qui est vivant. En écoutant M. Hermite, il avait l'illusion d'èfie dans le domaine où il se complaisait déjà, d'y voir les êtres se distinguer, se classer, se métamorphoser, se transformer les uns dans les autres (29). »

En 1869, M. Duhamel ayant pris sa retraite, Hermite lui succéda à la fois à l'Ecole Polytechnique et à la Sorbonne. Après une courte suppléance, il fut nommé professeur d'Algèbre supérieure à la Faculté des Sciences, le 18 mai 1870 ; il avait été nommé professeur d'Analyse à l'Ecole Polytechnique, le 11 novembre 1869. Il devait occuper cette dernière chaire jusqu'en 1876. A cette époque, il voulut se consacrer exclusivement à son enseignement de la Sorbonne et fut remplacé à l'Ecole Polytechnique par M. Camille Jordan.

Nous ne connaissons guère son enseignement à l'Ecole Polytechnique que par quelques cours autographiés, qui n'ont pas reçu de véritable publication, et par un volume imprimé, le Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique, dont la première partie seule a paru. C'est un ouvrage ayant cette élégance concise, cet accent original et personnel qui permettent de reconnaître toutes les œuvres du maître. Le lion se reconnaît à la griffe. Mais, dans les feuilles autogra-

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phiées, il y a aussi beaucoup de parties originales qui mériteraient d'être reprises et publiées.

Dans une de ses lettres à Legendre, Jacobi exprimait en 1832, le vœu suivant :

« Les fonctions elliptiques et la science des nombres ne devraient pas manquer à l'avenir dans les leçons données aux élèves de l'Ecole Polytechnique, si l'on veut que ces leçons soient conformes aux progrès du temps. Quant à moi. je donne des leçons régulières sur ces belles théories, et je vois avec plaisir les élèves de notre Université s'emparer avec empressement de ces matières. Vous verrez plusieurs de leurs travaux dans les volumes suivants du Journal ds Crelle. Ce sont encore, Monsieur, les fruits de vos travaux que ces branches de la Science, jadis peu connues, vont devenir la possession commune des géomètres. »

Ce désir était formulé dans une lettre particulière; mais, alors même qu'il l'aurait été publiquement, il n'aurait pas été écouté. Les préoccupations des géomètres français étaient ailleurs. Si l'on avait à ce moment songé à développer l'enseignement, on aurait ajouté sans doute quelques leçons sur le calcul des probabilités, sur les théories de l'attraction, de la chaleur, et peut-être de la capillarité. Malgré toute l'autorité de Legendre, les fonctions elliptiques auraient été sans doute réduites à ce que nous en avait appris Euler. C'est Hermite qui, pour la première lois, a donné satisfaction réelle et complète, au moins en ce qui concerne les fonctions elliptiques, au vœu si légitime de Jacobi. Il exprimait parfois le regret que. la théorie des nombres fut encore exclue de notre enseignement régulier. Malheureusement il n'a jamais fait sur ce sujet une proposition à laquelle sa situation scientifique aurait donné une autorité irrésistible ; mais, en ce qui concerne les fonctions elliptiques et la

théorie des fonctions, son enseignement de la Sorbonne a été, non seulement, à la hauteur de tous les progrès ; il a été encore, et surtout, un guide et un initiateur. Pour savoir quelle action il a exercée, écoutons quelques-uns de ses meilleurs élèves.

«Ceux qui l'ont entendu, nous dit M. Picard, garderont toujours le souvenir de cet enseignement incomparable Quelles merveilleuses causeries, d'un ton grave que relevait par moment l'enthousiasme, où, à propos de la question la plus élémentaire, il faisait surgir tout à coup d'immenses horizons et où. à côté de la Science d'aujourd'hui, on apercevait tout à coup la Science de demain. Jamais professeur ne fut moins didactique, mais ne fut plus vivant (30). »

a Ceux qui ont eu l'heureuse fortune d'être les élèves du grand géomètre, écrit M. Painlevé, ne sauraient oublier l'accent presque religieux de son enseignement, le frisson de beauté ou de mystère qu'il faisait passer à travers son auditoire devant quelque admirable découverte ou devant l'inconnu. Hermite fut un professeur incomparable, sa parole saisissante ouvrait brusquement de larges horizons sur les régions de la Science ; elle suggérait à la curiosité et à l'attention les problèmes nouveaux et essentiels; mais surtout elle communiquait l'amour et le respect des idéales vérités. Dans l'inoubliable journée de son jubilé, en accueillant l'hommage d'admiration de tous les pays civilisés, l'illustre Analyste parle en termes pleins de noblesse de la corrélation étroite et secrète, qui existe entre le sentiment de la justice et du devoir et, l'intelligence des vérités absolues de la Géométrie. Cette corrélation semblait évidente quand on écoutait ses leçons (31). »

« Nos élèves, nous dit M. Tannery en parlant de l'Ecole Normale, continuent de recevoir à la Sorbonne un enseignement dont l'éclat n'a fait que grandir ; ils écoutent relie parole d'une éloquence si particulière où il y a du recueillement, de la solennité et une sorte de tendresse passionnée. Ils jouissent de cette lumière qui va jusqu'au fond des choses, qui les sépare et les réunit, qui en montre les

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liens les plus délicats, qui donne aux abstractions mathématiques la couleur et la vie (2!(). ->

« C'est à la Sorbonne, écril M. Borel, que j'ai suivi les leçons d'Hermite; c'esl là que j'ai entendu cette parole si vivante exposer, avec respecl à la fois el avec amour, les belles vérités de l'Analyse C'était un grand prêtre de la divinité du Nombre qui nous en dévoilait les mystères redoutables el sacrés. Les questions les plus arides, les calculs m apparence les plus ingrats, se transfiguraient, tant il avait l'intuition de leurs secrètes beautés. Quelques-uns peut-être on! eu, autant qu'Uermite, le pouvoir de faire comprendre et admirer les Mathématiques; nul n'a su les faire aimer aussi profondément que lui (32 . -

Ces citations, que je pourrais multiplier, sont de nature à mettre en évidence l'action prépondérante que l'enseignement d'Hermite a eu dans les dernières années du xix'' siècle sur le développement de la jeune école mathématique française. A l'étranger, son influence n'a pas été moins grande, et sa chaire de la Sorbonne a été. pendant trente ans. un des foyers les plus actifs du travail mathématique. Quatre éditions successives ont répandu le Cours d'Hermite. Il a été étudié et commenté dans toutes les Universités du monde. En Allemagne, en Italie, en Suède, en Amérique, c'est dans les leçons de la Sorbonne que l'on étudiait la théorie des fonctions elliptiques et la théorie des fonctions. On les louait à la fois pour le soin donné à la partie historique et pour la simplicité de l'exposition. On était charmé de la lumière que le maître répandait sur les parties les plus difficiles et les plus délicates, des exemples élégants dont il enrichissait les théories. Que dis-je. l'enthousiasme que-provoquaient ses Leçons s'étendait jusqu'aux étudiants qui les suivaient. On les félicitait de leur ardeur, des efforts couronnés de succès qu'ils dé-

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ployaient pour élargir leur horizon et s'assimiler des théories aussi élevées. Aux étudiants français venaient d'ailleurs se joindre des camarades étrangers. Hermite les accueillait les uns et les autres, toujours prêt à prodiguer les encouragements et les conseils. Ce n'était pas d'ailleurs à de simples conseils qu'il limitait son action bienfaisante ; et tous ceux qui avaient acquis à ses yeux le droit de se réclamer de lui le trouvaient prêt à multiplier les démarches, à donner les témoignages qui pouvaient faciliter leur carrière ou assurer leur avenir. t

Les devoirs d'un enseignement ainsi compris étaient lourds, ils n'arrêtèrent pas pourtant l'activité créatrice d'Hermite. Son cours l'entraîna sans doute à s'occuper de quelques questions importantes de Calcul intégral, les intégrales Eulériennes, les fonctions de Bernoulli, par exemple, dont il renouvela la théorie ; mais il resta fidèle aux études favorites de sa jeunesse ; et son plus beau Mémoire peut-être, celui qu'il a consacré à la fonction exponentielle et qui date de 1873, n'est qu'une application des méthodes générales d'approximation des irrationnelles dont .il avait fait connaître le principe dans ses Lettres à Jacobi. Ce Mémoire marque une date et contient une des plus belles découvertes que les Mathématiques aient faites dans tous les temps ; mais, pour la faire bien comprendre, il est nécessaire que nous entrions dans des développements assez étendus.

Dès leurs premières études, les Mathématiciens ont rencontré, à côté des entiers et des fractions, réunis sous la dénomination de nombres commensiirables, les nombres dits incommensurables, ou mieux

irrationnels. Les Grecs apprirent à construire, avec la règle et le compas, certains de ces nombres irrationnels qui s'expriment à l'aide de radicaux carrés ; ils purent, par exemple, résoudre le problème de la duplication du carré ; mais, malgré tous leurs efforts poursuivis pendant des siècles, il leur fut impossible de résoudre parles mêmes moyens les problèmes analogues de la duplication du cube et de la trisection de l'angle, c'est-à-dire de construire, à l'aide de lignes droites et de cercles seulement, des irrationnelles définies par une équation irréductible du troisième degré. Archimède fut conduit, par ses recherches surla quadrature du cercle et la rectification de la circonférence, à reconnaître que ces deux problèmes se ramenaient l'un à l'autre et dépendaient de la détermination d'une irrationnelle d'un genre tout nouveau, le nombre -, puisqu'il faut l'appeler par son nom. Les trois problèmes de la duplication du cube, de la trisection de l'angle et de la quadrature du cercle nous ont été légués par les anciens. Si l'on y joint la recherche du mouvement perpétuel, on peut dire qu'ils constituent une charge lourde et un embarras pour les Académies. Il ne se passe pas de séance que nous ne recevions de communication sur l'un ou l'autre de ces quatre problèmes, souvent sur tous à la fois. Ce qui ajoute au zèle des inventeurs, c'est la croyance très répandue que, comme il est arrivé autrefois pour le célèbre problème des longitudes, les Gouvernements ont en réserve une forte somme d'argent, destinée à celui qui les résoudra : l'inventeur du mouvement perpétuel est d'ailleurs très fondé à penser, et c'est le seul point sur lequel il raisonne juste d'ordinaire, qu'il trouvera dans sa découverte même la récompense et le prix de ses efforts. En 1775, notre Académie décida formellement qu'elle ne s'occuperait

plus désormais des communications relatives à ces quatres problèmes. Les motifs de sa résolution sont consignés dans une déclaration qui fut rédigée par Condorcet, alors Secrétaire perpétuel, et qui a été imprimée dans nos Mémoires (33). Ils ont été résumés en 1791 dans une lettre écrite par Condorcet à l'Assemblée Constituante qui, ayant reçu d'un pétitionnaire une solution du problème de la trisection de l'angle, l'avait renvoyée à l'examen de l'Académie.

« En 1775, dit Condorcet, l'Académie a pris et rendu publique la resoluljon de ne plus examiner ni trisection de4 l'angle, ni duplication du cubé, ni quadrature du cercle, ni mouvement perpétuel.

» Les problèmes de la trisection de l'angle et de la duplication du cube sont résolus depuis deux mille ans, et, si l'on cherche encore à les résoudre, ce n'est que par une ignorance absolue de ces questions. L'impossibilité de la quadrature du cercle est aussi démontrée que peut l'être une chose de ce genre, et celle du mouvement perpétuel l'est également Ainsi, en renonçant à examiner les prétendues solutions nouvelles de tous ces problèmes, l'Académie a été bien sûre de n'exclure aucun travail utile.

•> Le motif qui l'a déterminée à les examiner pendant longtemps a été uniquement la crainte de paraître adopter en corps une opinion, et elle a mieux aimé employer quelquefois de la manière la plus inutile le temps des Académiciens que d'avoir l'air de donner son jugement comme une chose éternelle. Mais le nombre de ceux qui consument une partie de leur vie à ces vaines recherches, dont tout le fruit est de nuire à leur fortune et trop souvent d'altérer leur raison, l'a déterminée à prendre une résolution qu'elle a cru propre à les détourner de cette occupation. Elle a craint que, si elle continuait à examiner leurs solutions, elle pût èlre accusée de les encourager à s'en occuper, et qu'elle ne se rendit en quelque sorte complice des malheurs qui leur arrivent (34). »

154 NOTICE BISTORIQUE

On peut souscrire sans hésitation aux considérations morales que développe Condorcet ; aujourd'hui encore leur vérité nous frappe tous les jours, ou du moins tous les jours de séance. Mais la partie mathématique de la lettre laisse plus à désirer. Condorcet était un esprit universel ; le temps lui manquait pour donner à ses travaux mathématiques la rigueur et la précision nécessaires. 11 n'était pas vrai que le problème de la duplication du cube et celui de la trisection de l'angle fussent résolus depuis deux mille ans. Il n'était pas vrai non plus que l'impossibilité de la quadrature du cercle fut démontrée autant que peut l'être une chose de ce genre. Ce qui était vrai, c'est que l'Académie avait affaire quatre-vingt-dix-neuf fois sur cent à des inventeurs qui ne se rendaient même pas compte de l'énoncé des problèmes dont ils recherchaient imprudemment la solution. Descartes et Newton n'avaient pas dédaigné de s'occuper de la duplication du cube et de la trisection de l'angle. Descartes, en particulier, en avait donné de belles solutions, en employant seulement une parabole et un cercle. En réalité, c'est à un géomètre tout contemporain, à Wantzel dont j'ai déjà prononcé le nom, que l'on doit, je crois, la première démonstration connue de l'impossibilité de résoudre ces deux problèmes à l'aide de la règle et du compas. En ce qui concerne la quadrature du cercle, on avait calculé le nombre avec une grande approximation, soit en suivant la méthode même d'Archimède, soit en utilisant les développements en série fournis par le Calcul infinitésimal ; mais, en réalité, tout ce que l'on savait à l'époque de Condorcet sur la nature même de ce nombre, c'est qu'il est incommensurable. La démonstration en avait été donnée pour la première fois en 1701 par un géo mètre des plus pénétrants, Lambert, dans les Mémoi-

CHARLES HEKMHI. 155

rrx <//' FAcajlimie de Berlin. On n'avait pas môme démontré que ce nombre ne peut être racine dune équation du second degré à coefficients entiers ; et, à plus forte raison, il n'était pas établi qu'on ne peut le construire à l'aide de la règle et du compas.

Il y avait une différence essentielle entre les diverses irrationnelles qui se présentent dans les trois problèmes que nous venons d'énumérer. Pour la duplication du cube et la trisection de l'angle, les inconnues, définies par une équation du troisième degré, étaient comprises clans cette classe générale d'irrationnelles qui sont les racines des équations algébriques de tous les degrés. Mais en dehors de ces nombres algébriques, dont les profondes recherches d'Hermite ont commencé l'étude et la classification, l'Analyse infinitésimale nous en fournit d'autres, formant des classes encore plus étendues : tel est le rapport de la circonférence au diamètre ; tels sont le nombre e, base des logarithmes naturels, la cou si an If dEuler et une foule d'autres qu'il serait même impossible d'énumérer. Pour en pénétrer la nature, il faut se demander d'abord si ces irrationnelles ne seraient pas, dans tous les cas, assujetties à satisfaire à une équation algébrique de degré convenablement choisi. On pourrait le soutenir. Tout nombre rationnel est donné par une équation du premier degré à coefficients entiers : pour un nombre irrationnel donné, ne peuton s'adresser d'abord aux équations du second degré pour voir s'il en est une qu'il vérifie, puis, si les essais sont infructueux, passer aux équations du troisième, du quatrième degré, et ainsi de suite indéfiniment. Ne finira-t-on pas ainsi, puisque le nombre des essais est illimité, par obtenir une équation algébrique définissant l'irrationnelle et permettant de l'étudier ? Ce raisonnement, si c'en est un, ne serait pas accepté,

hâtons-nous de le dire, par les bons esprits. Legendre, en reprenant dans sa Géométrie la démonstration que Lambert a donnée de l'incommensurabilité de - et en l'étendant au carré de ce nombre, ajoute en terminant :

« Il est probable que le nombre r. n'est même pas compris dans les irrationnelles algébriques, c'est-à-dire qu'il ne peut être la racine d'une équation algébrique d'un nombre fini de termes dont les coefficients soient rationnels : mais il paraît difficile de démontrer rigoureusement celte proposition. »

C'est à un géomètre français, Liouville, qu'on doit la première démonstration connue de ce fait qu'en dehors des irrationnelles algébriques, il peut en exister une infinité d'autres, que nous appellerons désormais nombres transcendants. Généralisant le beau théorème de Lagrange sur les propriétés de périodicité du développement en fraction continue des racines des équations quadratiques, Liouville a démontré une propriété nécessaire du développement de toute irrationnelle algébrique en fraction continue. Comme il était facile de construire une infinité d'irrationnelles pour lesquelles cette propriété nécessaire n'a pas lieu, il était ainsi établi qu'il existe des classes étendues de nombres transcendants.

Depuis Liouville, les belles et philosophiques recherches de M. G. Cantor sur la théorie des ensembles nous ont appris que les nombres algébriques ne forment qu'une classe très particulière dans la foule immense des nombres transcendants ; mais cette classe est si dense que l'on comprend très bien la remarque de Legendre et l'extrême difficulté qu'il doit y avoir à établir la preuve qu'une irrationnelle ne peut lui appartenir.

C'est cette preuve si difficile qu'Hermite nous a apportée, pour le nombre. le plus important de l'Analyse, le nombre e, base des logarithmes népériens.

Il l'a obtenue en appliquant aux diverses puissances de e les méthodes générales qu'il avait données pour l'approximation simultanée de plusieurs irrationnelles.

Il est inutile de faire remarquer la différence très nette entre ce résultat capital et celui de Liouville. Dans les considérations, si ingénieuses d'ailleurs, qu'il a présentées, Liouville disposait, en quelque sorte, et du nombre, et de la démonstration. Ses irrationnelles ont été imaginées pour que la démonstration put s'y appliquer et, d'ailleurs, elles ne se rattachent à aucune question d'Analyse. Hermite, au contraire, s'adressait à une irrationnelle déterminée, jouant en Analyse un rôle fondamental.

Quand son beau Mémoire commença à paraître en 1873 dans nos Comptes rendus, il fit sensation, et l'un de ses meilleurs amis, Borchardt, lui écrivit pour lui demander s'il ne s'attaquerait pas aussi au nombre t. En lui envoyant immédiatement une démonstration nouvelle et élégante du théorème de Legendre relatif à l'incommensurabilité de tt, Hermite commençait sa lettre en ces termes :

« Je ne me hasarderai point à la recherche de la transcendance du nombre ^, Que d'autres tentent l'entreprise, nul ne sera plus heureux que moi de leur succès; mais, croyez-m'en, mon cher ami, il ne laissera pas de leur coûter quelques efforts. »

Neuf ans après cependant, en 1882, un géomètre des plus distingués, M. Lindemann, trompait ces prévisions pessimistes. Utilisant les relations que Euler a établies entre les nombres e et -., il s-énéralisait

158 NOTICE B1STORIQ1 E

d'une manière très ingénieuse la méthode d'Hermite, et obtenait là démonstration si longtemps attendue, non seulement de l'impossibilité de la quadrature du cercle, mais encore de la transcendance du nombre -.

" On peut, d il M. Camille Jordan, légitimement revendiquer pour Hermite une part de ce beau résultai : car il a été obtenu en imitant la marche qu'il avait suivie pour l'exponentielle. »

La haute importance de toutes ces découvertes a naturellement suscité l'attention et provoqué une Foule de recherches. On a simplifié les démonstrations des inventeurs. Elles peuvent aujourd'hui être mises à la portée d'un bon élève de nos lycées. En applaudissant à ces modifications, remarquons toutefois qu'elles prennent une forme bien synthétique et qu'elles conservent toutes la pierre angulaire de la démonstration d'Hermite : je veux dire ce polynôme à facteurs multiples qui se présente si naturellement quand il applique au cas particulier sa méthode générale d'approximation. Certes, il y a toujours grand intérêt à démontrer par des voies différentes et. par suite, à présenter sous un aspect nouveau, une proposition importante : mais on n'aura trouvé une démonstration vraiment différente de celle d'Hermite que le jour où toute trace aura disparu de son polynôme fondamental.

Quelque temps après ce travail sur l'exponentielle, qui demeurera toujours son titre le plus accessible aux profanes, Hermite entreprit la publication d'une série d'articles sur les applications des fonctions elliptiques. Ses recherches incessantes l'avaient conduit à prendre comme point de départ, pour l'étude des fonc-

CHAULES H ERMITE 159

tions doublement périodiques, une belle formule de décomposition en éléments simples, qui rend les intégrations immédiates et introduit de l'ordre et de la méthode dans cette théorie si touffue. Ici, il envisageait de nouvelles fonctions, extrêmement voisines des anciennes, auxquelles il donna le nom de fonctions doublement périodiques de deuxième et de troisième espèce, et auxquelles il étendit, sa formule de décomposition. Les méthodes puissantes qu'il instituait ainsi le conduisirent à intégrer, dans tous les cas, une équation linéaire du second ordre, que Lamé avait rencontrée dans ses recherches sur le mouvement de la chaleur à l'intérieur d'un ellipsoïde. Toutes ces découvertes, dont il serait difficile de donner ici une idée plus complète, ont servi de point de départ aux théorèmes généraux de M. Emile Picard sur l'intégration d'une classe nouvelle et étendue d'équations différentielles linéaires et aux importantes études de M. Paul Appell sur les fonctions à multiplicateurs. Elles permirent à Hermite lui-même de donner des solutions nouvelles et originales pour plusieurs problèmes mécaniques de grand intérêt : la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe, le mouvement du pendule conique, la détermination de la courbe élastique, c'est-à dire de la figure d'équilibre d'un ressort. Ces applications. qu'Hermite avait semblé fuir pendant toute sa vie, venaient en quelque sorte le solliciter, par l'intermédiaire de ses chères fonctions elliptiques, et lui donner l'occasion de couronner sa carrière par un de ses plus beaux travaux.

XIY

Ainsi s'écoulait, calme et solitaire, la vie du grand analyste ; mais ses recherches, qu'il devait poursuivre

jusqu'à son dernier jour, son cours de la Sorbonne, sa correspondance, sur laquelle je reviendrai plus loin, ne suffisaient pas à la remplir tout entière. Son cœur généreux le portait à concourir à toutes les grandes et belles œuvres. Très incrédule dans sa jeunesse, il avait été ramené à la foi catholique, en 1856, par Cauchy. au cours d'une maladie grave, une petite vérole, qui mit ses jours en danger. Trois ans après, il témoignait sa reconnaissance au grand géomètre disparu, dans la dédicace qu'il plaçait en tète de son Mémoire sur les équations modulaires : Venerandm mémorisa eximii viri Augustini Cauchy hoc gualecumque munua libenter accipiat et ex beata seternx felicitatis sede animum sanctse amicitiœpie memorem bénigne aspicere digneria. L'attachement, qu'à partir de ce jour il manifesta pour la religion à laquelle il était revenu, s"allia sans effort au respect le plus scrupuleux de toutes les croyances et de toutes les opinions. Toujours prêt à entendre et même à discuter les affirmations les plus contraires à ses idées, il demandait seulement, et il en avait assurément le droit, que l'on voulut bien s'abstenir de toute légèreté, de toute, raillerie, dans l'examen des questions si graves qui ne cessaient de le préoccuper

S'il n'abordait pas volontiers certains sujets, qui relèvent de la conscience individuelle, en revanche il était toujours disposé à prendre l'initiative pour s'entretenir, avec ses amis et ses correspondants, du cours des événements politiques. L'avenir de notre pays le préoccupait; il était d'un pessimisme dont j'ai vu peu d'exemples, et j'avoue que, malgré tout le plaisir que j'avais à le voir, il m'arrivait quelquefois de redouter sa conversation.

Un jour que je lui avais écrit, il me répondait par une lettre affectueuse, en se plaignant de n'avoir vu

que mon écriture et me priant d'aller m'entretenir avec lui :

« Mais, ajoutait-il, ne venez point et fuyez moi si vous ne voulez entendre des plaintes, des regrets qui débordent d'amertume et de tristesse, des raisons longuement réfléchies de désespérance, des craintes et des pressentiments de catastrophes. »

La foi d'Hermite se conciliait aussi très bien avec une conception vraiment large et vraiment personnelle du rôle et de l'importance de la recherche scientifique. Il aimait à répéter que le labeur scientifique approfondi contient un enseignement qui va bien au delà de l'objet propre de la Science. Mais c'est surtout sur l'influence bienfaisante de ses études de prédilection, de l'enseignement mathématique, qu'il revenait le plus volontiers et le plus souvent :

« Une rigoureuse discipline de l'esprit, dit-il dans le discours de présidence qu'il a prononcé en 1889, prépare aux devoirs militaires, et l'on ne peut douter que les études mathématiques contribuent à former cette faculté d'abstraction indispensable au chef pour se faire une représentation, une image intérieure de l'action, par laquelle il se dirige, en oubliant le danger, dans le tumulte et l'obscurité * J li combat. »

Et ailleurs, dans le discours qu'il prononça lors de son Jubilé :

« L'Ecole Normale et l'Ecole Polytechnique sont deux branches d'une même famille, étroitement unies par le sentiment de la justice et du devoir, sentiment lié d'une manière secrète à l'enseignement mathématique, mais si certaine que, sans en avoir aucunement le privilège, il semble passer de l'intelligence à la conscience et s'impose comme les vérités de la Géométrie. »

L'homme qui s'exprimait ainsi était assurément incapable de montrer quelque préoccupation étroite dans la conduite de la vie ; j'ai passé près de quarante ans auprès de lui, ayant part à sa contiance et à sou affection. Que de fois j'ai pu constater sa bienveillance foncière et sa bonté. Jamais je ne l'ai vu accueillir la moindre insinuation malveillante ; il prêtait toujours aux autres les sentiments élevés qui l'animaient.

De tout temps, il avait entretenu une correspondance étendue avec les géomètres de tous les pays. Cette correspondance avait commencé avec des maîtres tels que Jacobi et Dirichlet, avec des émules qui étaient devenus pour lui des amis bien chers, et dont la perte devait beaucoup l'attrister, Borchanlt. Cayley, Sylvester, Brioschi. Peu à peu, elle s'était beaucoup développée, car il répondait à tous ceux qui sollicitaient ses conseils ou lui soumettaient leurs travaux. On pourra la publier un jour : on y trouvera, en même temps que le témoignage de la candeur et de la bonté la plus inépuisable, le tableau le plus intéressant de la vie mathématique au xix° siècle. Et d'ailleurs, de ce que j'avance la preuve n'est-elle pas déjà faite ? N'avons-nous pas les deux volumes de la correspondance qu'il échangea, de 1882 à 1 89 i , avec un jeune géomètre hollandais, Thomas Stieltjes, doué du plus beau talent mathématique, mais voué à une mort prématurée. C'est à Hermite, c'est à ses démarches incessantes, que j'ai été heureux de seconder, que Stieltjes a du cette chaire de la Faculté des Sciences de Toulouse, où il a rendu tant de services et où il a pu produire tant de beaux Mémoires, qui demeureront le

patrimoine glorieux de ses enfants, devenus français. Ce qu*Hermite a fait pour Stieltjes donne la mesure de ce qu'il tentait pour tous ceux, élèves ou amis, qui s'adressaient à lui. Sans aucune préoccupation personnelle, jugeant les idées qui lui étaient soumises avec une pénétration qui leur ajoutait toujours quelque chose, il répandait avec la plus grande libéralité, sans rien réserver pour lui-même, ces indications précieuses qui aident à franchir le pas difficile et inspirent une longue suite d'excellents travaux.

Aussi lorsqu'en 1892, un Comité composé de ses élèves et de ses amis émit l'idée de célébrer son soixante-dixième anniversaire, les appels qu'il adressa trouvèrent partout l'accueil le plus chaud. Sur les listes de souscription, à côté des noms illustres de v. Helmholtz, de lord Kelvin, de Weierstrass, etc., on lisait ceux des élèves de nos lycées, ceux des étudiants de toutes les Universités, unis dans un sentiment de reconnaissance et de commune admiration. Le 24 décembre 1892, les membres du Conseil de l'Université, les collègues, les élèves, les amis d'IIermite. plusieurs de ses compatriotes lorrains, se réunirent à la Sorbonne pour offrir au grand géomètre la médaille qui reproduisait ses traits, une des plus belles de toutes celles que nous devons à notre illustre confrère Chaplain. Toutes les Académies du monde, dont Hermite avait été nommé membre depuis longtemps, avaient envoyé des adresses ou des délégués. Je n'insisterai pas sur cette touchante cérémonie dont le compte rendu a été publié ; elle fut douce au cœur d'Hermite, elle lui apporta ce qu'il estimait la meilleure récompense de ses efforts. Le Ministre de l'Instruction publique, M. Charles Ihipiiy, avait tenu à la présider. La même semaine devait avoir lieu le Jubilé de Pasteur. Puisse la Sorbonne revoir dans

164 NOTICE HISTORIQ1 i:

L'avenir beaucoup de fêtes aussi glorieuses pour notre pays.

Cependant les atteintes de l'âge, sans éteindre l'ardeur d'Hermite. venaient progressivement diminuer ses forces. Son Cours de la Sorbonne commençait à devenir pour lui une charge, tant il mettait de soin à le préparer :

« Je vous fais là confidence, écrit-il à Stieltjes, que, cédant à la paresse, je prépare si insuffisamment mes leçons, que pendant la nuit, ma conscience se réveille, me poursuit au point que j'allume ma bougie pour faire un bout de calcul (35). »

Après une leçon à la Sorbonne, écrivait-il à M, Genocchî, je ne fais plus rien de la journée. Je lis les Orienta/es de Victor Hugo ou des articles de journaux... Mais à entreprendre un calcul sérieux, dilïirile. j'y renonce absolument : le flambeau ne s'allume pas el la paresse règne sans partage. »>

Aussi, lorsqu'en 1897, l'âge de la retraite eut sonné pour lui, c'est en vain que je lui fis connaître notre commun désir. Malgré toutes mes instances, malgré l'assurance que l'Administration supérieure le verrait avec plaisir conserver ses fonctions actives, il voulut quitter son enseignement. Son seul désir, qu'il n'exprima même pas, mais qu'il fut. heureux de voir réalisé, était d'être remplacé dans sa chaire par M. Emile Picard.

Renonçant à l'enseignement, il était loin de renoncer à la recherche scientifique. Il suivait d'un œil attentif cette transformation si profonde des études mathématiques qui a marqué les dernières années du

CIIVRLES HERMITE 165

XIXe siècle. Certains résultats, il faut le dire, ne lui agréaient pas entièrement : « Je me détourne avec effroi et horreur, écrivait-il familièrement à Stieltjes, de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n ont pas de dérivée (36). » Mais si, comme il est naturel à un vieillard, il restait volontiers dans la région où il avait trouvé ses plus beaux succès, il n'était pas de ces esprits négatifs qui veulent barrer la route, et il ne contestait la légitimité d'aucune recherche. Il se plaisait aussi, comme autrefois Lagrange et Ampère, à se tenir au courant des questions les plus étrangères à l'objet de ses propres travaux. Il s'était formé sur les grands problèmes de la philosophie naturelle des opinions personnelles et précises ; plusieurs de nos confrères avaient grand plaisir et trouvaient profit à s'en entretenir avec lui. Les compagnons de sa jeunesse disparaissaient peu à peu ; il leur consacrait des notices émues, qui seront des documents précieux pour l'histoire des Sciences et font, l'ornement de nos Comptes rendus. Avec sa modestie habituelle, il y célébrait leurs travaux sans jamais rappeler les siens. Pour exprimer ses regrets, pour développer ses vues originales, il savait trouver les expressions les plus saisissantes, les termes les mieux appropriés. Son style évoque les noms des grands savants qui ont eu une si grande influence sur le développement de la langue française, ou qui ont contribué à lui conserver ses qualités. Sentant que la fin approchait aussi pour lui, il revenait, pour les compléter, sur celles de ses recherches qui l'avaient le plus passionné ; et il s'attachait à mettre mieux en lumière ces relations, que Kronecker et lui avaient découvertes, entre les fonctions elliptiques et les parties les plus ardues de l'Arithmétique supérieure. Les appels des directeurs de journaux scientifiques ne le trouvaient jamais insen-

166 m nui: historique

sible, et il leur envoyait des articles traitant des questions les plus variées, adoptant volontiers la forme épistolaire qu'il avait employée dans ses premiers travaux. Un de ses derniers écrits contient ses idées sur l'enseignement des Mathématiques.

« J'ai toujours été, écrivait-il à M. Janke, directeur de VArchiv der Mathemalik und Physik, et je serai jusqu'à mon dernier jour, le disciple de vos grands géomètres, de vos maîtres illustres. Gauss, Jacobi. Dirichlet. D'autres, comme Kronecker, Borchardt, M. Lipschitz, etc., ont été les compagnons de mes études et mes amis dévoués. C'est une dette de reconnaissance laissée par leurs chers souvenirs dont j'aurai à cœur de m'acquitter en me faisant votre collaborateur avec l'intention de servir auprès des étudiants de vos Universités la cause du savoir mathématique.

» Vous me permettrez peut-être de vous dire dans quel sens je désirerais voir se diriger l'influence, l'action de votre nouvelle publication. L'enseignement, même très élémentaire, peut mettre à profit les œuvres du génie, quand elles concernent directement son objet.

» Prenez par exemple, l'idée de Dirichlet, à la fois si simple et si profonde, concernant les minima des fonctions linéaires à indéterminées entières ; n'est-elle pas exposée avec la théorie des fractions continues?

» Bacon de Vérulam a dit que l'admiration est le principe du savoir. Sa pensée qui est juste en général, l'est surtout à l'égard de notre Science ; et je m'en autoriserai pour exprimer le désir qu'on fasse, pour les étudiants, une part plus large aux choses simples et belles qu'à l'extrême rigueur, aujourd'hui si en honneur, mais bien peu attrayante, souvent même fatigante, sans profit pour le commençant qui n'en peut comprendre l'intérêt (37). »

Cette belle lettre, que j'aurais voulu reproduire en entier, est du 25 novembre 1900. Deux mois après, le 14 janvier 1901, Hermite s'éteignait paisiblement, dans son domicile de la rue de la Sorbonne. En

annonçant le jour même cette triste nouvelle à l'Académie, notre Président, sous le coup d'une émotion profonde, trouvait les paroles qui répondaient à nos sentiments :

« Tous ceux qui siègent ici comme géomètres, disait M. Fouqué, s'honorent d'avoir été ses élèves, tous sont pénétrés de reconnaissance pour l'appui généreux qu'il n'a cessé de leur prêter. Partout où la Science est honorée, partout le nom d'IIermite était prononcé avec vénération. La perte que nous déplorons sera vivement ressentie par les correspondants si nombreux qu'il avait dans le monde entier et qui ne cessaient de faire appel chaque jour à ses conseils, h sa bienveillance inépuisable. Il appartenait à presque toutes les Sociétés savantes du monde entier. Toutes, comme la nôtre, se sentiront diminuées par sa mort. >>

Hermite ne voulut à ses obsèques ni honneurs, ni discours. Les témoignages de reconnaissance et d'admiration qu'il avait reçus lors de son Jubilé lui suffisaient pleinement. Mais l'Université de Paris, se souvenant du lustre qu'il a fait rejaillir sur elle pendant près de trente ans par son enseignement et par ses découvertes, a décidé qu'elle lui élèverait dans- la Cour d'honneur de la Sorbonne un monument commémoratif, dont la partie essentielle sera un médaillon exécuté par Chaplain. Ce monument est déjà préparé,; il sera placé dans le voisinage de celui qui fut élevé autrefois à l'illustre chimiste Thénard, En réunissant, dans un même hommage, l'analyste qui s'est tenu toute sa vie dans les régions les plus austères de la Science la plus abstraite, et le chimiste dont les découvertes ont tant contribué au progrès de l'Industrie et des Arts, l'Université de Paris montre une fois de plus qu'elle est pleinement consciente de toute l'étendue de sa mission, et que, si elle entend faire aux

applications la part qui leur revient de droit dans nos Sociétés modernes, elle entend aussi rester fidèle à l'étude désintéressée, dans ce qu'elle a d<- plus pur et de plus élevé.