AB=C

expression dans laquelle A, ou la base, est un nombre quelconque qui entre comme facteur dans la pulttance C autant de fois qu'il a d'unités dans Vexptmtt B. Nous avons vu également que la forme générale de la branche inverse de ce mode de construction est

dans laquelle la base A prend le nom de racine, tandis que B et C conservent les désignalions précédentes. Le dernier mode élémentaire de la construction des nombres donne donc, comme les modes précédents, naissance i deux opérations ou à deux riait* dont la première a pour objet de calculer C au moyen de A et de B, c'est-à-dire de calculer une puissance dont on connaît la base et l'exposant, et dont la seconde a le but inverse de calculer A au moyen de B et de C, c'est-à-dire de calculer une racine dont on connaît la puissance et l'exposant. La première de ces opérations se nomme 4Hi'nf mmi ohjc puinaneet ; elle a été traitée ailleurs ( V. Elévation); la seconde se nomme extraction de* raeitut ; nous allons en donner ici l'exposition.

1. Pour considérer la question dans toute sa généralité, désignons par A, B, C, D, etc., des nombres quelconques simples ou primitifs, c'est-à-dire des nombres dont les valeurs ne surpassent pas », et alors nous pouvons représenter par (i)

A (t0J-+B(t0)--'+C;iO)--'+clc.... V(lO,'+s(IO)«

e; i étant le chiffre des unités et A celui des plus hautes dizaines. (V. Arittimêtmji'k , 11, Echelle aritiimetioi'K et Numération.) Proposons d'extraire la racine du degré n du nombre (1), et supposons d'abord, aliii de rendre l'opération plus facile, que la racine cherchée n'a que deux chiffres. Si nous représcnlons par a le chiffre des

pourrait en obtenir quatorze en prenant a — 2, 030 543. Ce ( dizaines et par b celui des unités, celte racine pourra s'expriprocédé est si facile dans son exécution, qu'à défaut île tables des logarithmes, on doit le préférer à tous les antres , même lorsqu on peut se contenter de trois ou quatre décimales. Soit, par exemple, à trouver la racine cubique de 325, à moins d'un millième près ; sa valeur entière étant entre 6 et 7, mais beaucoup plus pré* de 7 que de 6, car 6* =216 cl 7'=343, nous ferons «=7, et, comparant avec la formule (1), nous r

«(10)'+ft(10)%

ou simplement par

et nous devrons avoir l égalité (2)

(a.lOf*i»=A;iO)-+B;iO)--'+etc..-r^.

Ceci posé, en développant le premier nombre de l'égalité [2) par la formule du binôme { V. Binôme de Newton ), nous

(4.10 f *)-^a»(iOr+». «•-'.(lo -— •»

-••""•(îoy--'. t>' rcic.

ce que nous pouvons mettre sous la forme (4)

(«. 10-f-*;- =r («a + i) (10) • -f- A, (10»— • + A. (10),"— • +A,(i0)--'+etc....

en désignant par A', A", (10;»-', etc., ou les chil réalisation des calculs, après qu'on a reporlé"l ordre sur l'ordre suivant plus éfeve. cT désigne donc ici les dizaines de l'ordre (to)"-', s il y en a. Or, la quantité pouvant êlre composée d'unités cl de dizaines, représentons encore par A', B', C, etc., les chiffres au moyen desquels elle est représentée dans notre svstème décimal de numération, et nous pourrons poser, p étant l'exposant des plus hautes dizaines,

«■•*=A,(to}»-|-B' (îo; » f-l etc.... M'ilCZ-r-N'llO/.

Substituons celle valeur dans (4), nous obtiendrons (5)

(».10+<>j"=A'(10)'+«+B'(10)'— H-etC...

+N'(lo)M-A1;10;*-'+A,;io)--H«lc....

égalité qui doit être identique avec sairement

m=p+n, d'où p=m— b,

et de plus

C=C, D =D, ele , elc.

Ainsi les chiffres A', B'. C, etc., qui expriment la quantité «"-f,*, sont les premiers chiffres A, B, C, etc., du nombre proposé depuis celui de l'ordre le plus élevé (10)- jusqu'à celui de l'ordre (lOf inclusivement. Nous avons donc (0)

a"-r-^AilO)-T-B(10)--'-rC(lo;-->+elc.-|-P(10)--F.

Ainsi , en admettant qu'on connaisse d'avance les puissances du degré n des nombres simples 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, la

Clos grande de ces puissances que contiendrait le second memre de l'égalité (0) serait a», et la racine connue de cette puissance serait a, c'est-à-dire le chiffre des dizaines de la racine cherchée.

2. On voit donc ici la nécessité de calculer préalablement une table qui soit, pour l'extraction des racines, ce qu'est celle de Pylhagore pour la division. La construction de cette table ne présente aucune didirullé. Ayant écrit sur une même ligne verticale les neuf chiffres de notre numération, on multipliera successivement chacun de ces chiffres par lui-même", et on écrira les résultais à coté , de manière a former une seconde colonne verticale qui contiendra conséquemoicnt les secondes puissances des nombres delà première. On multipliera ensuite chacun des nombres de la seconde colonne par son correspondant de la première colonne et on formera avec les produits une troisième colonne qui contiendra 1rs troisièmes puissances drs nombres de la première. En multipliant de nouveau les nombres de la troisième par leurs correspondants de la première, on formera la colouue des quatrième» puissances, et ainsi de suile.

l:\TRALTHJS.

Table dft puissance*.

fi

A l'aide de celle lable on peol donc trouver immédiatement la racine d'une quantité donnée lorsque celle racine n'a qu'un seul chiffre. Par exemple , si l'on demandait la racine quatrième de 2-401, eu cherchant ce nomhrc dans la quatrième colonne, et en voyant qu'il correspond au chiffre 7 de la première, on saurait que la racine demandée est 7. Si le nombre proposé n'est point une puissance exacte, il faut alors chercher dans la colonne du degré désigné le nunihrc plus petit qui en diffère le moins , et la racine de ce dernier est alors celle de la plus grande puissance contenue dans le nombre proposé. Ainsi, s'il s'agissait de trouver la troisième racine de 350, comme 343 est le nombre le plus petit qui diffère le moins de 350, dans la troisième colonne, on verrait que la racine 350 est plus grande que 7, mais qu'elle est plus petite que 8, cl consequemmeut que la plus grande troisième puissance contenue dans 350 est 343.

3. Revenons à noire opération générale. Il faut donc, pour trouver le chiffre des diiaines de la racine demandée, extraire, au moyen de la table des puissances, la racine du degré n du groupe do. chiffres de l'ordre ai à l'ordre », ou, ce qui est la même chose, du groupe de chiffres restant a la puclie après qu'on a séparé « chiffres sur la droite. Pour rendre ceci plus sensible, supposons qu'il s'agisse de trouver le chiffre des dizaines de la racine quatrième de 26873856: on séparera quatre chiffres à droite, et on cherchera dans la quatrième colonne à droite de la table des puissances le nombre qui approche le plus des chiffres restant s2tt87 ; ce nombre étant 2401 , dont la racine est 7, on en conclura que le chiffre des dizaines cherché est 7. Mais le chiffre des diiaines de la racine, ou le nombre «, étant ainsi déterminé, il est évident qu'en retranchant n- de A (ÎO;* -f-B (10"— ' -f etc.. PilO)"- rt on obtiendra pour reste la quantité f, a coté de laquelle écrivant les quatre chiffres retranchés de la quantité proposée, on aura un reste général qui doit être égal à

im«— ' (I0,"— <b+" "~ ^ a'~ *(lo;»— 1 2

n<n— fi fn— 91

io;«-»»«+etc.,

celle dernière quantité étant ce qui reste du second membre de (3J après en avoir également retranché «*. Le premier terme

de cette quantité contient n fois la puissance n— 1 de a multi' pliée par b; si donc l'on connaissait dans le reste généraljes

chiffres qui contiennent ce produit, en les divisant par tuf* ' on obtiendrait A pour quotient, el la racine serait entièrement déterminée. Mais il est évident que ce produit ne peut avoir des chiffres de l'ordre a — 2 ; ainsi , en retranchant n— 1 chiffres à la droile du reste général, les chiffres restants A la gauche contiendront nécessairement ce produit, plus une quantité quelconque y provenant des dizaines reportées desjorures inférieurs. Lors donc que y sera plus petit que no" ', en divisant les chiffres restants à la gauche par w«" ', on obtiendra b pour quotient et y pour reste; dans le cas contraire, le quotient de la divisiou pourra surpasser * d'une ou de plusieurs unités. Ainsi, eu supposant que ce quotient suit 0, il faudra élever fl.10+*à la puissance n, cl si la puissance trouvée sur-

nln quantité proposée (1), c'est que 8 est plus grand que ors on substituera * — 1 ou 5 — 2 dans la racine, el on fera un secund essai qui déterminera la véritable valeur de b. Nous allous éclaircir ce procédé par quelques exemples.

4. Problème. Trouver la racine quatrième de 26873856. Nous avons déjà vu ci-dessus qu'en séparant quatre chiffres à droile,

le nombre restant 2687 avait pour racine 7, ou, peur mieux, dire, que la plus grande quatrième puissance contenue dans ■2&H7 était celle de 7, c'est-à-dire 246 1, retranchant donc 2401 «le 2687, et écrivant à coté du reste les quatre chiffres retranchés 3856, noua aurons pour reste général 2863850. Retranchant trois chiffres à la droite de ce reste général, les chiffres

Usi

Mais b table des

n^-'b, c'est-à-dire ici 4«'ft.

aus fait a' =7 '=343;

ainsi 4«'=4;<3 J3— 1372. Divisons donc 2863 par 1272, le quotient 2 sera le chiffre cherché des unités de la racine, et celte racine est 72. En cflet. élevant 72 à la quatrième puissance, on retrouve 26873H56. On dispose le calcul de la r vante :

dizaines de la racine

; 1372 diviseur =4. 75

\ 2 unités de la racine.

5. Problème. Trouver la racine troisième on cubique de 24389. Dans ce cas particulier n=3; ainsi, ayant séparé trois chiffres à droite, on cherchera dans la table la troisième puissance qui approche le plus de 24 : c'est 8, dont la racine est 2. Après avoir retranché 8 «le 24, on écrira 389 à coté du reste 16, et ou séparera deux chiffres i droite de ce reste général ; les chiffres restant seront 163, qu'on divisera par m— 1, c'est-àdire par 3.2*= 12. Le quotient de cette division est 10; mais comme le chiffre des uuilés ne peut surpasser 9, on conclura que ce quotient est trop grand, et l'on essaiera si 9 lui-même n'est pas dans le memecus. 29, en l'élevant à la troisième puis- -, donne 29"=24389; 29 est la

[2. dizaines de la racine 1 12 diviseur =3. 2' 1 10 quotient.