En faisant m=o, dans la même identité, elle devient

égalité qui détermine l'idée qu'on doit attacher aux factorielles à exposants négatifs.

7. On voit aisément qu'en faisant l'accroissement r égal à léro , les factorielles se réduisent i de simples puissances, et que les propriétés que nous venons de déduire sont alors en effet celles des puissances ( V. Algèbre, 23, 24, 25 ). A l'aide de cette considération on pourrait conclure , par analogie , que toutes les relations précédentes démontrées par le cas des ex [Misants entiers, subsistent encore lorsque ces exposants sont des nombres fractionnaires , ce qui a lieu effectivement ; mais comme c'est en étendant ainsi , par analogie , au cas de l'exposant quelconque , des décompositions qui ne peuvent s'ef-

PACTOWEILB. ( «

dictions mathématiques capables de lui foin mettre en doute les premiers principes de la science. Noos nous réservons de démontrer rigoureusement ces propriétés fondamentales des factorielles à l'article Facultés ? ou nous considérerons ces fonctions dans toute leur généralité.

S. De toutes les propriétés des factorielles, la plus remsrquahlc est ^u'on peut, à l'aide de simples transformations , leur donner des liascs ou des acerottaements quelconques. C'est ce qui résulte du théorème suivant: — La factorieUe «"|r peut se décomposer en deux facteurs, dont l'un est la simple puissance a", et l'autre la factorieUe

1"|*, quia pour base l'unité. C'est-à-dire qu'on a

car en divisant successivement les facteurs

a,«+r, «4>â. etc.. •+(•»— i)r

de la factorielle proposée, par la base a, ils deviennent

» a+r r o-f-Sr r

— = 1, =1+- , =1+1— «te,

et la factorielle elle-même peut se mettre cous la forme

^Xl(l-r^)(i+«l)..(l-H»-lH-),

ce qui réduit en dernier lieu à «".1

9. En multipliant chaque facteur de la factorielle générale tf*|' par une même quantité quelconque e, on obtient encore une autre transformation importante En effet, la factorielle

ae{ae i-er){ae-+ier)...{àc-\-{m— 1) er)

Mais comme multiplier chaque facteur par e revient à multiplier le produit des m facteurs par r", on a donc

10. Ceci posé , on peut toujours transformer la factorielle en une autre dont la base soit *, car d'après (8) nous avons

d'où

mais, en vertu de (9),

Multipliant les

devient

de cotte égalité par b», die

9* m ' bi

On a

la"

eu divisant parle l

11. D'après les mêmes principes, on peut aussi transformer la factorielle <r"|r en une autre dont l'accroissement soit une quantité quelconque * ; car, d'après ce qui vient d'être dé-

or, de cette égalité on tire

et en multipliant de part et d'autre par a* a»

d'oùt

7) Kt)

«-]• r» yosv «|«.