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12. Une factorielle dont l'exposant est un n change pas de valeur lorsqu'on change les signes de de son accroissement, et l'on a gùicr.ilemcnt, in dés
car les facteurs du premier nombi
4^),-H±a±r),+(^2r>^Hdbcfc3r), etc.,
si l'on change en même temps les signes de la base et de l'accroissement, ils deviennent
ou
c'est-à-dire les mêmes que dans le premier cas, mais 1
le nombre de ces factewa est pair, le
— (±«)»— {±«±r).— (±•±2'"),— {±«±31", etc..
FAcmmin.i.K.
FACTOBIKI.I.E.
sors le même signe que Je produit des de plus ces produits sont les mêmes, on a
Si l'exposant était an nombre impair 2"-*-', oc trouverait avec
la mémefacililé
Ainsi les facloriellcs se comportent à cet égard comme les simples puissances.
13. En remarquant, d'après 19). que la factorielle (— a)*- T peut se décomposer en (-1)-. «-|-, et que d'après (8)
cn peut en conclure que (a)
(-*)-rr=(-«)--i "|v
a cause de ( — a ) a"= ( — a ) ". Mais celte décomposition , qui est rigoureusement exacte lorsque m est un nombre entier, n'a pas lieu généralement ou pour toutes les valeurs de cet exposant : c'est ce que M. Wronski a démontré dans son !uttviuetwn à la philosophie det mathmiatiiiuei , en remontant aux principes supérieurs de la génération des quantités * et il a donné ainsi la solution des résultais étranges que Kramp arait obtenus en admettant faussement la généralitéde cette expression (a).
14. Comme il est très facile de démontrer que toutes les transformations prémleiiies ont encore lieu pour lo cas de l'exposant entier négatif , nous ne nous y arréteroaa pas davantage, et nous procéderons a ta déduction des lois principales des '
TMtrhu. Une factorielle quclc développer en une s '
ique
A.+A(r+A,rM-A,rM-A/*+ etc.
ant par puissances pn^rs^i vesde l 'accroissement r. Pour dans le cas de l'exposant ■ entier et la loi des coefficients At, A„ A„ etc. ,
positif, et pour
il ne faut que considérer ta formation du produit de plusieurs hinonies dont les secundji termes seuls sont différents; or on sait { 7. MiLTiPUCATio* } que le produit des m
(x4-tfMx-4-4i'.r~ ù\ IxA-mi
est égala
B, étantégal
la somme de leurs produits leurs produits de trtit à t r»i* , cas des factorielles les
termes des i*», B.àla somme de iuite. Mais dans le des binômes étant
0Tjlr,2r,3r,...*..(m— l)r,
Or-M r±*r+Zr. ... --H»— i)r peut se mettre sous la forme
en désignant par (mil) ta somme des nombres naturels 0, 1, 2, 3j etc... m — 1.
de» produits de de tu à dttuc de ces prendre la forme
(lX0+lX+SrX3f«te...)rVou (mHy
(«lâl désignant la somme des produits de deux i deux des nombres naturels 0, 1, 2, 3, etc... m — 1.
En général , la somme des produits de a a <* des seconds termes des facteurs de la factorielle pourra s'exprimer par 'ml ') r -, (*I^J désignant ta somme des produits «à m des nombres naturels 0, i, 2, 3... 1 » — 1. Ainsi , observant quepour passer du développemut du produit des m binômes a celui do la factorielle ««T , il ne faut que substituer a à * et les quantités
(«.Il)r,(ml2)r% («I3;f, (»U)r*, etc.,
Bl,B,,B1,ete., nous aurons défimeivemenl(a)
a-|'=0--KiiiH)o--"-HmI2;a--"«-Klc.. .4-(mIm— 1 «r»— .
Le dernier terme But du développement du produit des m binômes étant ici t*ro , à cause du facteur léro qui s'y trouve , le développement de ta factorielle s'arrête au terme I m Im — 1 ) sr*^.
Il ne nous reste plus à connaître que la loi qui lie les coefficients (mil), (mlâ), etc., pour pouvoir les évaluer dans chaque cas particulier. Or, nous avons (3)
(a-(-i»2)"|'. «»l'=««l»-.(a-f nr)»!'.
Faisant dans cette égalité «—i, elle devient
a+Mr). a"|r=a(ar|-r)"|rt
et les développements des deux nombres de cette dernière doivent être identiques. Pour obtenir le développement du premier nombre, il est visible qu'il faut multiplier par {«-H"2) celui de «-|r ; opérant celle mulliplication, on aura
(*+*r)a''\'=*-+i+(m+'mU))i-'
■+m{mU)+{tal2)la»—,r'+ etc.
On obtiendra le développement du second membre en substituant d'abord a-|-r à la place de a daus l'expression générale (a), devient par cette substitution
(a-H«|-=(a+r)- -(-(iat)a+r)«— r
et l'on trouve en développait les bioames «H-ij» (o+r)"-- ' ( F. Bi.xome], et en multipliant le tout par a,
Ainsi ce développement devant être identique avec celui de {a+wu)a,m\r, nous aurons la suite d'égalités
«f (mlt)=»H-(mlt)
s»(mllj +(m!2) =W(,"^4(»-l)(mIlH-:mla)
etc.
(mIi;+;*2; «I2+WI3
etc.
La
FACTORIELLE.
FACTOBIE1.LE.
chant des deux membre* de la seconde le terme commun (ml!),
tall)=swt"l~,) 1.2
Opérant de «Irons (•)
pour les égalités
etc. =
etc.,
i loi est évidente , et à l'aide desquelles on peut calculer les coefficients du développement d'une factonelle quelconque. Un exemple suffira pour enseigner leur emploi. Soit ù'\r, la facloriclle «ont on demande le développement ; fai-
2(*l2)=^10fi^f=70
„ .„ 3.3 70 4.3.8 5.4.3.3 i<cn
3,ml3)=__ 1<H =150
„ 2.1 150 3.2.170 4.3.2.1 4(wl4)= 1
Tous les autres coefficients se réduisant i 0, le demandé n'a que les cinq termes suivants :
a«|'=*'-HC«'r {-35a'r'+50aV-f-24«r'.
15. Lorsque l'exposant de la faclorielle am\* est un nombre entier négatif, son développement prend un nombre indéfini de termes, et les cocflicients (nll), ( m 1 2 ) , etc. , qui se composaient des ummet des produits combinées des nombres naturels 1 , 3, 3. etc. , deviennent les différence* des de ces mêmes nombres. On peut encore trouver " loi de développement , car nous avons (6 )
(o— mr)'\r
A cause de (voy. n* 2)
[a-mr)-\*+{a-rrrr,
on a donc aussi
Développant chaque faelrur en particulier an moyen du ti -* '■neae Newton, r~
(a—r)—i=a~~'-\s~'r-lra—,rt ] à~ T» |etc.
[a — 2r) — i—a (=2s *r ^it—'r' -, 8a— 'r'+elc.
{a-37)-'=«-,-f3«-*r f9«— r» + 27«-4r4+etc.
et en général
[a-mry-i -«-'+«w--+«*a-«rH-»'«-<r'+ etc.
et le produit de Ions ces développements, qui doit donner celui de a — m\r, est nécessairement de la forme
o—"-r-A,a— """'H-A,tf— "~~ •r«+A?a— m'r* f etc.
le nombre des termes étant indéfini. Or, celle expression est, k l'exception des coefficients dont la loi ne nous est point encore connue, ce que devient le développement de a-[r en y substituant —m à la place de m.
Pour trouver la loi des coefficients (nll), (ml2), etc., nous sommes partis, en premier lieu, de l'égalité
(«+«r)»i '.«-r=a* l'.fa+nr)» , ' ;
mais celle égalité subsiste encore lorsque m et» sont négatifs. (F. Facultés, 17.) Ainsi faisant w=— « et n=i, nous aurons
(a-«r>|--|'=«>+rr-T-
Opérant comme nous l'avons fait ci-dessus, nous obtiendrons pour les coefficients A„ A„ A„ etc., les valeurs suivantes :
>+a)(»+3) (•+!)(» faX«T-«).,f
^ a î-f 3X«vK) A (»+») (" 4 +
