Si dans l'égalité
(voy. n» 10} on bit n=i et -=s, on obtient (1)
exprimons par ;* la faculté ».£, nous i
Ceci pose, faisons
FACCI.TÊS.
nous en tirerons Mais en vertu de l'expression (A) (n° 8), nous avons, en fai-
( AÛ3 ) FACILTÉS.
qui se réduit, en vertu des ex] sommes partis, à
-d'où
txrV''=x..,,
p*=X— C.etJ/'Wx.
Nous avons donc aussi
égalité qu'en vertu de l'expression (I) on peut encore écrire
«n se servant d'exposants fractionnaires. Or, en faisant »JM=r, nous aurons nu = - et cette dernière
deviendra
laquelle résulte immédiatement de l'expression (a) (n* 8), en y substituant— et — à la place de m et a. Ainsi cette expression
a lieu encore dans le cas des exposants
«les procédés générales (»)
Par
on démontrerait les identités plus
Si dans cette dernière nous définitivement
"^Id'où.
Ainsi la proposition dn n« 4
se trouve démontrée pour toute valeur positive entière et fractionnaire des deux termes de l'exposant binôme. 15. On prouvera de la même manière que
■(•«Ht*
d'où l'on lire en faisant — = 0
fX -
expression qui donne la signification des facultés à exposants fractionnaires négatifs.
10. Les propriétés générales que nous venons de démontrer pour les exposants entiers et fractionnaires positifs peuvent s'étendre, par analogie, aux exposants négatifs ; mais si l'on veut en obtenir la déduction directe, on peut avoir recours à des transformations très faciles , dont nous allons donner un exemple.
m étant un nombre entier ou fractionnaire, nous avons (7 et 13)
il. Si dans la première de ces égalités on bit vient
, elle de-
|>]-lr' -'ri-
•vx — ~9x «* son premier membre exprime U produit
n étant aussi un nombre entier ou frac-
? *~("-(-Mî= ■
*>n peut donc le m Mire sous la (orme
f(jr-{m+ii)ïï-+-|c; mais d'après* et 14
p(x-(«+»)6-+-iï=k*-(»+":ï;-m.?:*— ai.
donc
PACII.TES.
dîne, en substituant, on aura encore
( 604 ) a nu
el de celle manière la proposition du n" 4 se trouve pour toutes le» valeurs des deux termes de l'exposai C est en opérant d'une manière analogue qu'on peut s'assurer que loulr» les propriétés des facultés expo précédents subsistent, quel que soient les fractionnaires, positifs ou négatifs.
17. Procédons maintenant à la déduction de la foi fondamentale des (acuités. Si nous désignons par log ?x le logarithme naturel de la fonction ?x. nous aurons évidemment
log (».z-|0=log ?x+log— Hxi *) +■
-Hog^+lm-UO,
et nous obtiendrons, en développant les termes du second membre de cette égalité par la formule de Taylor (V. DippE- RKNTIEL; 33), la suite d'expressions
log ?«=log fi.
d log fx . d* log rxç1 log f(H-;=log ft-t ^ v- 1
dx dx' 1.2 + etc.
. • ■ . ,«ilogw.a . d'Iog^t' lognH-K)=>ogfH- *ï+ — — —
dx dx' 1.2
log»(x+3*)=log?*+
+ ctc.
dlogç>* 3f + rf,,08
dx dx' 1.2
+ etc.
log ?<x f(«i-l)5)= log rx+ 4 108 "(«-1H+ ^■og^CVeto dx' 1.2
M(m), la somme des nombres 0, 1, 2, 3,4, etc., jusqu'à m— i,
la somme des secondes puissances de ces mêmes nombres et en général par
M(mj* la somme de leurs puissances n, ou
nous aurons en additionnant,
1<* (f*-|t)=»log yx+M(m),
+M*2 — — -i-elc.
dx* 1.2
ou simplement
Ing^x-ir^A.+A.ï+A,-
d log fx
etc.
eu faisant pour abréger »
A,=m log ox
dlog ?s
dx
A,=M *),. ° dx'
A,=MH
•,x-|î=«\,+Al£;+A,..
tacultés.
etc.
Si nous désignons doue maintenant par Fî l'exposant de « et par F{, la puissance elle-même ou la faculté ?x»|t, nous au-
Mais F( plant considérée comme une fonction de la variable ç, son développement d'après la formule de Maclaurin. ( V. Dif-
FÉtlEVriEL, M.) est
Fî=Fr+dF{ dFt ?' d».Ff C
;■+■ — 1 h etc.
dt T*ri.iTii? 1.4.3 ^
le point placé sur ï indiquant la valeur 0 qu'il faut cette variable après les différciilialions.
N.=Fï
y=ÎÏL
di
N,=d|Ft lié
etc.ssctc.
nous aurons pour le développement de Fç ou de ?x«|f l'expres-
+ etc.,
Px«|ï=.\-.+N..lrN.~ +N\.— 1.2 1.2.3
et il ne nous reste plus à trouver que la loi des coeflicienls, c'est-à-dire la loi des différentielles successives de la fonction Fj.
Or de
Yi=efï
nous tirerons en différenciant (V. Différentiel, 32)
dT(=d{efi) r e(t.=dtt=VU(l ;
nous aurons donc en vertu de la loi fondamentale du calcul différentiel (V. DIFFÉRENTIELLE, 27)
d*?i=4Vi.dfi+VrjP{i
d*F(=d,Ff.dft-r.2dFî.d«A f Ff.dY.
d4F,-=d'F,-.dA+3<»'F{.d'A-r-S«'f-rf'ft -f- Fi.dYi
rlc.=ctc
Or, e étant la base des logarithmes naturels, on a généra- «logX=X,
etc. ~ etc.
Ainsi divisant par di, d?, di*, etc., cl faisant diffcrenliations, nous trouverons pour les N„ ele , les expressions
N.=Ff
dû di
près les \. Nu
FACCLTÉS.
''fi,
etc.=elc. j X„.i,A
{ *05 ) FACILTÉS.
O-lle belle loi de développement des facultés est due i M. Wronski, qui fa donnée, sans démonstration, dam la première note de sa lUfutatïcn de la iMorle de$ fmctimt analylique$. Il suffit de se rappeler que toutes les propriété des facultés ont généralement lieu, quels que soient les exposants entiers ou fractionnaires, pour pouvoir conclure qu'il en est nécessairement de même de leur loi fondamentale.
Xous verrons plus loin comment on évalue dans tous les cas les quantités M(m)„ M»„ etc.
