COB

donc, en confondant le sinus avec l’ai

sx

Dans le dièdre opposé en A, on aura la même force p qui, s’ajoutant à la première, donne une résultante égale à ^ — . Dans le plan perpendiculaire, on

2 f 7TS3

aura une pression ■

— . La somme de ces deux forces est égale W/i , 1\

Or on a : — |- - = — -f- ~, qui devient facteur commun à tous ces groupes de

forces. Il y a enfin en tout - groupes semblables, puisque la demi-circonférence

a été divisée en n parties, On aura donc pour la pression normale totale s'exerçant sur l’élément «.f ?

r-‘sÇ*(k+t).xî-'-«‘A+?)’

536 ENCYCLOPÉDIE CHIMIQOE.

et rapportée à l’unité de surface, cette pression devient :

Pi==K1r+7)- c"q-f d-

(L’unité de poids est le milligramme et l’unité de longueur le millimètre.) Tout se passe donc comme si sur la surface convexe qui termine le liquide était tendue une surface élastique, exerçant par suite une pression sur cette surface ; de même si une membrane adhérait à une surface concave, elle exercerait une traction normale à cette surface.

On démontre par l’expérience l’existence de cette pression en se servant d’une bulle de savon que l’on souffle à l’extrémité d’une pipe. Une telle bulle est limitée

Fig. 9.

par deux surfaces sphériques comprenant entre elles une quantité tellement faible de liquide, que l’on peut supposer aux deux surfaces sphériques Je même rayon, et négliger, comme on Ta déjà dit précédemment, l’action de la pesanteur sur ce liquide. Soit (fig. 9), X la pression de l’air renfermé dans la bulle ; la pression transmise au liquide compris entre les deux surfaces par la 2 f

surface A sera X - puisqu’ici R et r sont égaux, la surface étant sphé¬

rique et concave vers l’intérieur ; la pression transmise au même liquide par la 2 f

surface extérieure B est ; ces deux pressions étant égales, on a :

On vérifie ce résultat facilement en soufflant une bulle de savon à l’extrémité d’une pipe et introduisant dans cette bulle de la fumée de tabac. En laissant ouverte l’extrémité du tuyau de pipe, on voit la bulle rentrer peu à peu sur ellemême, d’abord lentement, puis plus rapidement, à mesure que la bulle devient plus petite. M. Plateau a du reste vérifié plus exactement celte formule, en faisant communiquer le tube à l’extrémité duquel est soufflée la bulle avec un

petit manomètre à eau. D étant le diamètre de la bulle et p la quantité X— H différence de la pression intérieure et extérieure, il a trouvé :

mïlïTm.

millim.

Ce qui donne pour f ou -^5 la valeur moyenne 2,73 sr- ; f mesuré pai

l’ascension du liquide dans un tube capillaire a été trouvé égal à 2,76m-m-

On constate la même action des surfaces courbes dans une autre expérience citée précédemment. Quand on a plongé le bord d'un entonnoir dans de l’eau de savon, et qu’après l’en avoir retiré, il s’est formé une lame d’eau de savon, qui se dirige vers le col, si l’on ferme celte tubulure avec le doigt, la lame ne tarde pas à s’arrêter en prenant la forme d’une surface sphérique convexe vers le dehors ; si l’on enlève le doigt, la membrane redevient plane et continue à monter dans l’entonnoir.

VI. — Equilibre d’un liquide dénué de pesanteur. — C’est en vertu de la tension superficielle qu’une masse liquide soumise uniquement aux actions réciproques de ses molécules et limitée par une surface unique, non astreinte à passer par une arête solide , prend la forme sphérique, puisque c’est la surface minima et que la pression produite par cette surface est égale en tous

ses points à Quand les liquides sont en masse très petite, on sait qu’ils

prennent la forme de gouttes qui se rapprochent de plus en plus de la forme sphérique; l’action de la pesanteur décroît, en effet, comme le cube du rayon, et la pression due à la tension de la surface augmente au contraire en raison inverse de ce rayon. Il en est de même pour les bulles gazeuses renfermées dans les liquides et les bulles de savon, puisque dans ces dernières, l’action de la pesanteur sur le liquide qui forme les parois est négligeable, ou du moins très faible. M. Plateau a pu réaliser de grosses sphères liquides, en mettant de l’huile en suspension dans un mélange d’alcool et d’eau ayant la même densité que l’huile; on peut réussir la même expérience en mettant du sulfure de carbone, coloré en violet par de l’iode, en suspension dans un mélange d’eau et d’acide sulfurique.

La sphère est la seule surface de révolution fermée et rencontrant l’axe qui puisse limiter un liquide dénué de pesanteur; mais une infinité d’autres surfaces peuvent limiter le même liquide, à la condition que pour chaque point de ces surfaces, on ait : I

G est une constante arbitraire, et par suite la courbure moyenne est la même en tous les points. Parmi ces surfaces, il y en a un certain nombre qui sont encore de révolution, c’est-à-dire engendrées par une ligne plane tournant

autour d’une droite située dans son plan. Une de ces surfaces est le plan qui rencontre encore l’axe de révolution, mais qui est illimité. Les autres surfaces ne rencontrent plus l’axe ; elles doivent donc être limitées à un plan ou à une arête solide; comme l’action perturbatrice de ce dernier corps ne s’étend qu’à une distance insensible, la surface aura exactement la même forme que si elle était prolongée indéfiniment dans les deux sens. A ces surfaces appartiennent le cylindre, puisque pour ce dernier on a R = ooet r est égal au rayon de la base, et

Fig. 10.

Sphère. Caténoïde.

d’autres surfaces étudiées par M. Plateau, Pour G == o on a le plan, R et r étant infinis tous deux, et une autre surface infinie également où pdont

Cylindre. Onduloïde.

la courbe méridienne est une chaînette, c’est-à-dire la courbe formée par une corde pesante et flexible, fixée par ses deux extrémités.

M. Plateau a réalisé ces surfaces en plongeant dans de l’alcool mélangé d’eau, des charpentes de fil de fer dans lesquelles il introduisait de l’huile en quantité convenable. Mais on les reproduit plus facilement avec le liquide glycérique de Plateau, ou le mélange d’eau de savon et de sucre. On peut ainsi placer une bulle sphérique sur un anneau (fig. 10), ou l’insérer entre deux anneaux. Si

ensuite, à l’aide d’un tube de verre effilé et mouillé du même liquide on aspire l’air renfermé dans la surface sphérique,, on peut obtenir un cylindre, puis une surface étranglée au milieu, nommée par M. Plateau ondulo'ide ■ Les portions de sphère qui existentau-dessus et au-dessous des deux anneaux pouvent servir, par leur courbure, à mesurer la pression de Pair intérieur, La catènoide est ouvert en baut et en bas, la pression étant la même des deux côtés de la surface. Pour le plan et le caténoïde on a o ; mais on peut obtenir une infinité d’au¬

tres surfaces, concaves dans une direction, convexes dans la direction perpendiculaire, jouissant de la même propriété de n’exercer aucune pression. On produit ces lames en plongeant dans le liquide indiqué plus haut un contour fermé quelconque ; il se forme une lame limitée à ce contour, soumise à la même pression sur ses deux faces, et qui est en même temps la surface minima pouvant passer par ce contour.

Si l’on prend des charpentes polyédriques, il se forme dans leur intérieur des lames multiples, se coupant suivant des arêtes mathématiques ; les lois relatives à la formation de ces arêtes, aux intersections de ces arêtes elles-mêmes, étudiées par M. Plateau et divers géomètres, confirment complètement les deux points fondamentaux établis jusqu’à présent, savoir que :

1° Bans la surface libre d'un liquide et une couche sous-jacente d’une épaisseur inappréciable, il existe une tension particulière nommée tension superficielle, dirigée parallèlement à cette surface.

2° Si cette surface est courbe, il en résulte une pression normale exercée par la surface, dirigée vers la concavité et. égale à f{~-\- par unité de surface.

VII. — Tension superficielle au contact de deux liquides. — Les mêmes perturbations qui ont lieu à la surface libre d’un liquidé et dans une épaisseur très petite au-dessous de cette surface, se produisent également au contact de deux liquides. Il en résulte une tension superficielle qui est en général moindre que la somme des tensions séparées; si les deux liquides sont miscibles en toutes proportions, cette tension est nulle. Elle devient égale à la somme des tensions séparées si les liquides sont séparés par une mince couehe de vapeur ou d’air. Comme cette tension est du reste variable dans une couche infiniment mince de part et d’autre de la surface de séparation, que ce que Von nomme tension superficielle est la résultante de toutes ces actions moléculaires,, cette force est supposée appliquée sur l’unité de longueur dans la surface de séparation même, comme s’il s’y trouvait une membrane élastique adhérente aux deux liquides.

Quand à la surface d’un liquide on verse une goutte d’ün second; liquide, non susceptible de s’y mêler, ou bien : 1° le second liquide s’étend rapidement- en formant à la surface du premier liquide une pellicule très mince; 2° il forme une masse dont la forme lenticulaire, assez variable du reste, dépend des tensions superficielles des liquides et de leurs densités. Les. surfaces se coupent alors sous certains angles, dont on détermine ainsi la valeur ;

Soit un liquide B, placé à la surface d’un liquide A (fig. Il) et formant, l’état d'équilibre, une petite masse de forme lenticulaire. Prenons un petit élément sur le contour de cette goutte égal à l’unité de longueur; par cet élément menons un plan vertical passant par l’axe de la goutte. Cet élément est en équilibre sous l’influence des trois forces suivantes : 1° la tension superficielle fi du liquide A; 2° la tension superficielle fi du liquide B; 3° la ten-

Fig.ll.

sion fi‘i au contact des deux liquides, variable entre o et /) — {- /a- Ces trois forces devant se faire équilibre autour du point M, les angles wj, w2, w3, sous lesquels se rencontrent les trois surfaces, seront déterminés parla construction d’un triangle ayant ces trois forces comme côtés, ce qui donne la relation :

~t v==it=;tt-

II faut, en outre, pour que ce triangle puisse être construit, que l’on ait fiSXft-f*)' et/!., </« + /!.

Si en particulier on a fi < fi et /i.a > fa — fi, il en résulte uü = o, m — «3 = 180°, et le deuxième liquide s’étale en couche très mince à la surface du premier. Comme fi. 2 est souvent assez faible, il suffit que fi soit notablement supérieur à /), pour que cet effet se produise ; mais le moindre changement qui s’opère dans la nature de la surface du premier liquide arrête lé mouvement d’expansion. Ainsi une goutte d’huile versée à la surface de l’eau très propre se répand instantanément sur une grande étendue; une deuxième goutte conserve la forme lenticulaire à cause de la modification particulière qu’a subie la surface; quelquefois cependant le liquide, quoique l’angle o>3 soit insensible, forme une surface nettement limitée. Ce qui prouve qu’il ne suffit pas que l’on ait f3>fi pour qu’un liquide se répande sur un autre, c’est que l’eau forme des amas lenticulaires sur le mercure, même récemment filtré, quoique l’on ait fi = 49 et fi = 7,5. Dans le tableau suivant, se trouvent, d’après Ludge, indiquées les tensions superficielles de quelques liquides, rangés dans un ordre tel que chaque liquide, en général, se répand sur le précédent :

Mercure . 49

Eau . 7,5

Glycérine . 4

Sulfure de carbone.

Huile d’olives . 3,05

Eau de savon . 2,8

Essence de térébenthine . 2,78

Benzine . 2,78

Alcool . 2,49

Éther . 1,89

VIII. — Contact des liquides et des solides. — Si sur une surface plane horizontale et très propre on verse quelques gouttes d’un liquide, en général ce dernier forme une sorte de masse arrondie, se raccordant avec le corps solide par un angle déterminé CAF (fig. 12), qui dépend uniquement de la nature du liquide et du solide. Cet angle, nommé angle de raccordement, joue un rôle

capital dans les phénomènes capillaires. Quoiqu’on ignore ce qui se passe exactement au contact du liquide et du solide, il y a évidemment le long de la surface AC un espace infiniment petit où la densité et les propriétés du liquide varient rapidement; on peut donc représenter, par analogie avec ce qui se produit dans la surface libre d’un liquide, par une certaine tension superficielle fa.3, les forces moléculaires, parallèles à la surface du corps, qui prennent naissance entre les molécules du liquide; cette tension est nulle, si, comme l’expérience permet de le constater, il se forme une couche de liquide adhérente au corps, même quand on enlève le liquide en excès ; elle pourrait même, dans certains cas, être remplacée par une pression ou être négative.

En faisant le même raisonnement que plus haut, prenons un élément du contour qui limite la goutte liquide, et menons un plan vertical passant par l’axe de la goutte. Soit fa la tension superficielle du liquide; l’attraction exercée par le solide sur le liquide peut être exprimée par une force fa s’exerçant sur l’unité de longueur de la courbe qui limite le liquide. Cet élément sera en équilibre sous l’influence des forces fa provenant du solide non recouvert, fa.i tension de la couche en contact avec le solide, et fa la tension superficielle du liquide ; il faut évidemment joindre à ces forces une force f3 attractive émanant du solide et normale à la surface qui, composée avec fa — fi.n donne naissance à une force F' oblique à la surface du corps ; car sans cela la composante normale de la tension superficielle fa ne pourrait être contre-balancée. En projetant toutes ces forces sur la droite AC, on aura :

fi = fl COS » + fl-i,

et sur AN

U = fa

On en déduit :

Pour que l’équilibre soit possible, il faut que l’on ait :

k- h* <À ou À

Si i’ôii' ifs== costù = i êi »;=' 6', l’angle de faecordemént est

nul, et fè liquide se répand à la: surface du corps solide. Ceci doit avoir lieu à: fortiori, si f’ôti â : /*> /f-f-A'.*; l'e' liquide forme alors une couché très mince à la surface du corps solide et qui adhère à celui-ci.

Avec fz<ffi-\- fiw, le liquide forme une goutte limitée; mais l’angle « peut varier depuis 0° jusqu’à 180°.

Si l’on a fz>fi.z, » est < 90° (eau, dissolutions salines, en contact avec le verre et les métaux).

Si fi = fi.i, u = 90° ; si fz est </x.s, on a w > 90° (mercure et verre).

On réalise facilement ces divers angles de raccordement en prenant une lame de verre très propre posée sur un pied à vis calantes; on peut même, en éclairant cette dernière par un faisceau de rayons parallèles, projeter l’image des gouttes de liquide suï un écran à l’aide d’une lentille à long foyer.

Théori'quérhéht cét aiigle est constant pour le même corps solide et le même liquide, mais' en réalité il ést très' variable ; la moindre côuehé d’une substance étrangère à la surface du corps solide ou du liquide suffit1 pour faire varier lés quantités fi ét fc êï par suite «. Ainsi Bravais et après lui Quincke ont constaté que la valeur de cet angle, pour le mercure et le verre, varie, sans cause apparente,’ dé 88° à 45®. Le moindre ébranlement suffit, quand une goutte dé méPciiTe ést placée sur une lame de vérre, pour faire changer brusquement cet angle.

M. Quincke, ayant déposé à la surface du verre des couches d’ épaisseurs Variables de divers cûrps, â constaté que Fangle de raccordement devenait constant quand cette Couché avait atteint les épaisseurs suivantes :

millim.

0,0000542 Eau. Argent sur verre.

0,0000483 Mercure. Sulfure d’argént.

0,000059 Id. Iodure d’argent

0,000080 Id. Collodion sur VéVre.

Ges nombres n’ont rien d’absolu ; ils donnent seulement une idée de la distance à laquelle cesseraient de s’exercer les actions moléculaires dans ces circonstances. Une couche imperceptible de corps gras change considérablement l’angle de raccordement de l’eau et du verre.

M. Plateau, d’un autre côté, a déduit d’observations faites sur les lames d’eau

de savon, que leur épaisseur la plus mince est égale à qqq = 0mm, 000 058, supérieure encore à la limite de l’action moléculaire.

Ainsi doué, l’angle dé raccordement d’on solide et d’un liquide, constant en théorie, est en réalité très variable. Néanmoins, ôn doit admettre qUe cet angle

conserve la même valeur, quelle que soit la forme du corps solide; pourvu qU’ït n’y ait pas d’arête aigue ou de discontinuité dans la1 surface. Pour une goutte posée sur un plan, une' la'me vérticale plongée dans un' liquide, oir une bulle d’air sôuffféé aULdèssoüS d’une lafnè horizon talé, 6 U aura les dispositions suivantes (fig. 13).

Sî PoW pl'ottge dans Un' fquide une lame verticale d’un corps solide ètqu’on la retire lentement, ou bien :

1° Le corps entraîne sfvéc lui une couche liquide adhérente’, et l’on dit qu’il est mouillé par le liquide ;

2° Ou bien le liquide' S’en sépare.

Les forces en jeu dans- é’étte circonstance ne sont pas compfëfément identiques à celles qui interviennent dans les phénomènes capillaires à l’état d’équilibre ; car ici la séparation du solide et du liquide ou dé l'a‘ couche adhérente au solide et de la masse du liquidé' dépend de la: VàlèUr dUdêcrôiSs$fféîü plus OUmbiusU’àpidfe'déSfor'cës’ iHblééülairë's, qUand oü arrivé' à la lililité de la distance au’ défa de ikqUéllé* elles sont iüsënsiblés'. Oh exprime éé' fait* ëifdîSaMthjüë l’adliéSibli’ dû' liquidé' au' corps' solide (corps mouillé) ést supérieure à la éohésion du liquidé ëf l’inverse si le corps n’est pas mouillé. Néaiimoirts, on peüt constater facilë-

méttt’quë le corps est mouillé' qüah’d fanglë de raccordement* ésf inférieur à 90" et ne l’est pas sT cet* angle' ést

plus grand. Ôii' est donc amené à ad 0 | 1 | |i]}!

mettre' qü’ au-dessous de la' surface libre, le îoiig du corps solide) existé j W

déjà uiie'cdüclîe liquide p’oür airisi’ dire' adhérente âü corps, quand on a w <f 90®, couche qui resterait immobile, même quand lé\liqüidë intérieur es erf mouvement'. M. Duclaüx a cherché à démontrer l’existence de cette couche de la manière suivante : Il prit un thermomètre a alcool' coloré, et* dëtërmina

Ktf

en chauffant le réservoir et refroidissant le tube, la distillation d’une petite quantité d’alcool incolore au-dessus de l’alcool coloré; si l’on chauffe ensuite le réservoir, on voit un jet d’alcool coloré percer, à la façon d'une vrille, la couche incolore, la traverser complètement et venir s’étaler à sa surface. Le même physicien a déterminé l’épaisseur de cette couche adhérente, d’une manière approximative du moins, de la manière suivante : On prend un tube capillaire bien calibré et parfaitement propre, fixé sous le microscope d’une machine à diviser. On y introduit une colonne d’une certaine longueur d’un liquide quelconque ; par aspiration on fait parcourir à ce liquide très lentement toute la longueur du tube et on le ramène à sa position primitive; la diminution de longueur de la colonne donne, par un calcul très simple, le volume de liquide qui est resté adhérent à la surface intérieure du tube. Pour un tube ayant un rayon de 0ai,145, M. Duclaux a trouvé les résultats suivants :

Épaisseur en millimètres.

Eau . 0,00050

Alcool à 50» . 0,00076

Alcool à 90» . 0,00064

Glycérine . 0,00488

Huile d’olive . 0,00344

Ether anhydre . 0,00025

Cette couche adhérente au solide peut toutefois être enlevée par un autre liquide. Si, en effet, après avoir pris une lame solide recouverte d’une mince couche liquide, on dépose en un point une goutte d’un autre liquide ayant une tension superficielle moindre, celle-ci s’étale en chassant la première couche et se substituant à celle-ci au contact du solide ; le même effet se produit du reste quand le liquide forme des lames très minces isolées dans un anneau (Ludge). On peut dans ce but prendre les divers liquides mentionnés plus haut (page 14); chaque liquide se répand sur une lame de verre mouillée par le précédent, en chassant ce dernier.

Quand une lame plongée dans un liquide en est retirée mouillée par ce liquide, cette couche y reste souvent adhérente (alcool, éther et verre) ; mais souvent, surtout si l’angle de raccordement est déjà notable, le liquide se retire et forme des amas plus ou moins irréguliers (eau et verre).

Quand une lame est déjà mouillée par un liquide, qu’il en existe une couche très faible adhérente à la surface, l’action du solide sur une nouvelle quantité de liquide ajoutée devient nulle et se trouve remplacée par celle de la couche liquide. Dans la formule de lapagel6, on peut donc admettre — et ce qui donne «=o. Dans ce cas, sur une lame horizontale, le liquide se répand immédiatement; contre une lame verticale mouillée au-dessus de la ligne de contact du liquide, et maintenue mouillée par une immersion répétée de temps en temps, le ménisque est tangent à la lame.

TERQÜEM. — CAPILLARITÉ.

IX. — Influence de la forme du ménisque sur l’ascension et la dépression des liquides. — Les trois faits fondamentaux de la capillarité, formant des dérogations aux lois de l’hydrostatique sont :

1° La formation de ménisques courbes dans le voisinage des corps solides en contact avec la surface libre des liquides;

2° L’existence de ménisques complètement courbes, quand les liquides sont renfermés dans des espaces très étroits ;

3° L’ascension ou la dépression du liquide suivant la forme du ménisque.

Un même liquide peut, suivant les circonstances, être limité par des ménisques de formes différentes ; mais on peut établir les principes généraux suivants :

1° Le ménisque doit toujours se raccorder avec les surfaces solides ou liquides qui le limitent.

2° A tout ménisque concave correspond une ascension, à un ménisque convexe une dépression.

Supposons d’abord la surface du liquide indéfinie dans un sens ; si une lame verticale est plongée dans ce liquide, le ménisque forme une surface cylindrique

se confondant avec la surface horizontale du liquide à une certaine distance de la lame (la théorie indique que le ménisque est assymptote à la surface horizontale), et qui de l’autre rencontre la lame verticale sous l’angle de raccordement déterminé par la nature du solide et du liquide. Il présente donc les diverses formes indiquées dans la rangée B de la figure 13. La pression due à la

courbure du ménisque (sur l’unité de surfaçe) est ici =■=-, r étant le rayon de courbure, au point considéré, de la section du ménisque par un plan vertical, l’autre rayon de courbure étant infini. Prenons (fig. 14) dans la section ABC un élément mn ; puis menons un plan vertical parallèle à celui de la figure, et très rapproché du premier et enfin par m et n deux horizontales ; on aura un petit rectangle s sur lequel s’exercera la traction — , dirigée en sens contraire de la pesanteur dans le cas d’un ménisque concave. La composante verticale de cette force sera j cos «, « étant l’angle de mn avec l’horizontale. Or le poids de la colonne mn m'n' est égal, à un infiniment petit près, à s cos «zd, z étant mmi

ENCYCI.OP. CHISf. 35

ou nn' et d la densité du liquide ; il en résulte donc l’égalité : zd — £ , qui est l’équation différentielle de la courbe AB. S’il y avait dépression et que le

ménisque fût convexe, on aurait obtenu de la même manière : zd = — -.

La forme de la surface et, par suite, l’ascension et la dépression le long d’une lame verticale plongée dans un liquide dépendent donc de la valeur de l’angle de raccordement du liquide avec la lame. Mais si celle-ci cesse d’être verticale, l’angle de raccordement restant constant, le ménisque peut présenter la plupart des formes indiquées dans la rangée B de la figure 13. On le vérifie facilement en mettant' du mercure dans une petite cuve rectangulaire à parois de glace et y plongeant une lame de même largeur que l’on incline plus ou moins. Admet¬

tons que l’angle de raccordement du mercure et du verre soit de 45°; on obtient les ménisques représentés fig. 15, suivant que la lame fait un angle égal ou supérieur à 45° avec la verticale.

Dans le cas actuel où le liquide est limité par une surface indéfinie dans un sens, l’inclinaison de la lame fait changer notablement la forme du ménisque. II n’en est plus de même quand le liquide est placé dans un espace très étroit, de telle sorte qu’il n’y ait plus de surface plane, soit en le renfermant entre deux lattes parallèles très rapprochées, soit dans un tube capillaire; dans ce cas, le ménisque conserve sensiblement la même forme, que les lames et le tube soient verticaux ou inclinés; mais il peut changer encore, s’il est proche de l’extrémité du tube, c’est-à-dire près de l’arête qui sert de séparation entre la paroi interne et la section terminale. Ce qui détermine en effet la forme du ménisque près des parois du tube et même en partie sa forme générale, c’est l’angle de raccordement avec la surface du tube ; or le long d’une arête, cet angle peut avoir évidemment toutes les valeurs possibles, même si cette arête était remplacée par une petite surface à forte courbure. On peut, grâce à ces changements de forme, faire voir que l’ascension ou la dépression varie conformément à l’action du ménisque énoncée précédemment. Dans ce but, on se sert soit d’un vase communiquant formé de deux tubes, dont l’un est d’un assez grand diamètre et l’autre capillaire, soit d’un tube moyennemeut Capillaire recourbé et à branches inégales (fig. 16). Tant que le ménisque n’atteint pas l’extrémité du tube capillaire, le liquide est plus élevé dans le tube étroit que dans le tube large; en

TKRQUEM. - CAPILLARITÉ.

continuant à verser du liquide, le ménisque devient plan, et le niveau s’élève en B à la même hauteur dans le tube large ; puis le ménisque devient convexe en c, le liquide étant en G dans le large tube, et enfin le ménisque s’étale sur la

section terminale, et comme il dev’ient moins convexe, une partie du liquide s’écoule jusqu’à ce que le niveau soit redescendu en D.

X. — Equilibre des liquides dans les tubes capillaires. — Des principes démontrés précédemment, on peut déduire très simplement les lois de tous les phénomènes capillaires. Ces principes sont en résumé les suivants :

1° L’angle de r accordant nt d’un solide et d’un liquide dépend de la tension superficielle du liquide et de la nature de la couche la plus extérieure du solide.

2° La forme générale dt ménisque qui termine un liquide pesant dépend de la forme et delà posit on des corps avec lesquels il doit se raccorder.

3° La pression norma le exercée par un ménisque sur chaque unité de ^ , f étant la tension superficielle, R et r

les rayons de courbure maxima et minima de la surface en chacun de ses points.

A ces principes on peut ajouter ce quatrième principe évident par lui-même, et qui peut dans diverses circonstances fournir des démonstrations extrêmement simples :

4° Si un liquide pesant subit une ascension ou une dépression quelconque, en désaccord avec les principes généraux de l'hydrostatique, le corps solide qui en est la cause subit une réaction égale et contraire au poids du liquide soulevé ou déprimé.

Au point de vue des applications, principalement dans le but de déterminer

surfdce du liquide est ± f Q+ -

la tension superficielle f, ou la quantité constante introduite par Laplace

dans les formules de la capillarité, l’ascension ou la dépression des liquides dans les tubes capillaires cylindriques est le phénomène le plus important à étudier et le seul que je développerai.

Supposons d’abord qu’il y ait ascension du liquide dans le tube, le ménisque étant concave, c’est-à-dire l’angle de raccordement du liquide avec la paroi du tube étant moindre que 90°. L’expérience a fait voir que la hauteur du liquide soulevé n’atteint sa valeur maxima et ne reste bien constante, qu’aulant que le tube a été préalablement mouillé par le même liquide au-dessus du niveau atteint par le ménisque, de manière que l’angle de raccordement soit nul et le liquide tangent au tube (fig. 17); autrement l’angle de raccordement

Ré- 17 ■

peut être très variable et, par suite, il en est de même de la forme du ménisque et de la hauteur du liquide soulevé. Avec des liquides aqueux, le tube doit donc être très propre et avoir été nettoyé soigneusement avec de l’acide nitrique, de la potasse caustique, de l’alcool, de l’éther..., afin qu’il n’y reste pas trace de corps gras ; de plus, par aspiration ou immersio « du tube, le liquide doit toujours avoir été soulevé au-dessus du niveau auquel il s’arrête ; il faut même renouveler fréquemment cette opération, pour éviter l’effet de l’évaporation.

Soit z la distance d’un point quelconque du ménisque à la surface horizontale du liquide en dehors du tube. Concevons un petit cylindre vertical ayant une base s très petite, et découpant dans le ménisque un élément s'. Si cet élément fait avec le plan horizontal un angle <*, on aura :

Sur l’élément s' s’exerce de bas en haut la pression -f ^ , dont la composante verticale est fs' cos « ^ • Pour l’équilibre de ce petit cylindre

on aura :

fs1 cos “ ({[ + j:) = szd,

d étant la densité du liquide et comme s=s' cos a, on arrive à la formule :

R et r étant les deux rayons de courbure du ménisque au point où aboutit la verticale z ; de ces deux rayons, l’un est le rayon de courbure de la section méridienne, l’autre la longueurde cette même normale jusqu’àl’axe derévolution delà surface du ménisque. Il suffirait donc de connaître l’équation de la courbe méridienne ; malheureusement on ne peut obtenir l’équation de cette courbe sous forme finie ; il faut la développer en une série qui est convergente, si le tube est très étroit. Maison peut, dans le seul cas pratique à considérer, celui oùl’angle de raccordement est nul, employer des formules d’approximation assez simples dont j’indiquerai les principales.

1° Si le tube est très étroit, on peut admettre dans une première approximation que le ménisque a sensiblement la forme d’une demi-sphère, ce qui ne peut être rigoureusement exact; car la courbure doit être plus forte le long des parois qu’au centre du tube. Si donc r est le rayon du tube et A EB (fig. 17) une demi-circonférence, le rayon de courbure en E sera r et on aura :

hd = y ou hr = (t)

h étant la hauteur du liquide soulevé jusqu’en E milieu du ménisque.

De cette formule on déduit la loi connue depuis longtemps sous le nom de loi de Jurin, et vérifiée par Gay-Lussac :

Les hauteurs d’un liquide soulevé dans divers tubes sont en raison inverse du diamètre de ces tubes, et indépendantes de la nature de la matière dont ils sont formés (à la condition que le ménisque soit tangent aux parois du tube).

On peut, en effet, d’après ce qui a été dit précédemment, admettre que dans le cas actuel le liquide est soulevé en réalité dans un tube liquide, formé par la couche adhérente à la paroi du tube. Ce qui démontre que c’est le ménisque seul, sa forme et sa nature qui influent sur l’ascension ou la dépression du liquide dans un tube capillaire, c’est que ces dernières dépendent uniquement du diamètre du tube dans la partie où se forme ce ménisque ; celui-ci transmet en réalité au liquide la pression extérieure H augmentée ou diminuée de la

quantité et cette pression H se transmet à son tour dans

tous les sens comme toute pression exercée à la surface d’un liquide. En second lieu, si l’on met à la surface du liquide une couche imperceptible d’un autre liquide, la hauteur du liquide soulevé ou déprimé change immédiatement. Par exemple, si le liquide soulevé est de l’eau, une trace d'alcool, ou d’un corps gras placé sur le ménisque, fait tomber immédiatement la hauteur soulevée de plus de la moitié. C’est pour cela qu’on doit, à cause de la tension superficielle si élevée de l’eau et des dissolutions salines, éviter avec tant de soins la moindre trace de corps gras; celui-ci empêche en effet l’eau de mouiller le tube, et même peut s’étendre à la surface du ménisque.

2° Laplace a donné une formule plus approchée convenant à des tubes un peu plus larges (quelques dixièmes de millimètres), et qu’on peut démontrer facilement en vertu du quatrième principe. Soit toujours h la distance E F (fig. 17), et admettons encore que le ménisque soit sphérique. Si le tube était fermé en CD, par une cloison horizontale, l’ensemble de toutes les parois devrait, en vertu des principes généraux d’hydrostatique, supporter le poids total du liquide Y d, Y étant le volume et d la densité du liquide soulevé. Le ond supporte le poids Y d diminué de l’action du ménisque, la pression y est donc nulle ; par suite les parois verticales doivent subir une traction égale au poids du liquide soulevé, et exercer sur celui-ci une action égale et contraire. Or l’action du liquide sur la paroi (le ménisque étant tangent) est égale au périmètre 2 -n r multiplié par la tension superficielle ou 2 w rf. On aura donc ;

Si l’on pose V = * r2ft, on retombe sur l’égalité déjà obtenue

Mais on peut ajouter au cylindre le volume compris entre sà base supérieure tangente au ménisque, et la surface de ce dernier (supposé sphérique), ce qui donne :

V = ir?,5A

Par suite :

d’où l’on déduit :

(xi'h + isr^d, = 2

3° Poisson avait préposé lâ fontlüle :

Si de cette formule l’on veut déduire H ou la constante capillaire du liquide

désignée généralement par la lettre a3, on devra employer les approximations successives.

On aurait ainsi ;

a* = hr -f ^ — Ji| O>«08O6.

On néglige d’abord le troisième terme* ce qui donne la formule de Laplace ; puis on y remplace a 2 par la valeur trouvée ; on peut donc substituer à cette formule la suivante :

*“‘r+r~îirb;.

Quand le tube a plus de imra de diamètre, la correction de Poisson devient insuffisante.

3“ MM. Hagen et Edouard Besains ont proposé de considérer le ménisque comme formant un ellipsoïde de révolution, dont l’axe équatorial est égal au rayon du tube et l’axe polaire à la fïèclie du ménisque On arrive de la sorte à la formule très simple :

d’où l’on déduit :

Si le tube est assez étroit pour qüe ^ soit une faible quantité, on aura en développant le radical en série s

4° Enfin, M. Wolkmann, dans un récent travail (Annales de Wiedemann, t. XI, 1880) a proposé la formule suivante :

a3 = rh{\ + ^ 0,1288 ^ + ...), (5)

qui diffère très peu de la précédente, puisque *=0,1111.

Mais si le diamètre du tube est assez grand, atteint 2 ou même 4mm , il est préférable d’employer la formule d’Edouard Desains avec le radical, formule qu’il a vérifiée et reconnue exacte pour des tubes dont le diamètre était égal à 4,639n,m.

Quand le ménisque est convexe, il y a dépression, comme on le constate avec le mercure, dans des tubes de verre (fig. 18). Mais ici la loi de la dépression est moins simple que pour l’ascension ; car il faut tenir compte de l’angle de raccordement qui peut varier avec le même tube, à fortiori avec des tubes différents. Si u est l’angle de raccordement du mercure et du verre, on pourra

Ré¬

prouver, comme on l’a démontré plus haut, que le poids du liquide déprimé est égal à la composante verticale de l’action du tube, laquelle est directement opposée à la tension superficielle du liquide le long de la ligne de contact du mercure et du tube. On aura donc :

Vd = — cos a == 2 irrf. cos a' avec a' = ir — a.

Si l’on néglige le poids du ménisque, on a, V = nr^h, d’où :

On peut encore ici employer la correction de Laplace, en supposant le ménisque sphérique.

En désignant par z la flèche du ménisque, on aura pour le volume du liquide déprimé :

y = w.2A + üj£!|!,

f H - -- gu} \

et comme z — — - - — on arrive, pour a2, à la formule :

cos a