OP OP OP
cosPaî = 0Â’ cosP^gg, eosP* = 0C.
Les longueurs OA, OB, OC, sont, comme on l’a vu, inversement proportionnelles à on a donc :
co s Pas eos Pÿ cos P z
abc
Soient où, y, Z (flg. 113) les points ou les axes coordonnés viennent couper la sphère décrite de O comme centre avec l’unité pour rayon ; soit XYZ le
Fie. 113.
triangle polaire de xyz, et P, le point où la normale OP, au plan réticulaire (pqr), vient couper la sphère. On mène l’arc de grand cercle x? qui vient rencontrer normalement en x' le grand cercle YZ, on mène de même zF etÿP. On a, dans les triangles rectangles PZæ' et PZÿ' :
sin Pas' = sin PZ sin PZY = cos Pas, sin P y' = sin PZ sin PZX = cos P y,
et par conséquent :
in PZX cos P y in PZY cos Pas’
MALLARD. — CRISTALLOGRAPHIE
Remplaçant ^ p| par la valeur déduite des équations ci-dessus, il vient en
définitive la première des équations qui suivent, dont les deux autres s’établiraient de la même façon :
sin PZX a . h sin PZY p ' q’ sinPYX a c sin PYZ ~ p' : r’ sinPXY b . c sin PXZ q ' r"
Plans faisant partie d’une même zone. — Tous les plans réticulaires du plan primitif qui font partie d’une même zone peuvent être considérés commet ayant une droite commune qui est l’axe de la zone. On démontre aisément le théorème suivant qui trouve à chaque instant des applications : Si ( pqr ) et ( p'q'r ') sont les symboles de deux plans réticulaires, et, si l’intersection de ces deux plans, ou, ce qui revient au même, l’axe de la zone que ces deux plans déterminent a pour symbole [ghk], on a les relations ;
( 0 = qr’ — q'r, 1 h = rp' — r'p, ( k = pq' p'q.
La règle mnémonique suivante permet d’écrire immédiatement les valeurs de g, h, k. On écrit deux fois les caractéristiques p, q, r h la suite l’une de
l’autre et dans l’ordre convenu ; on écrit au-dessous, de la même façon, les caractéristiques p', q', r', en plaçant sur la même verticale les caractéristiques se rapportant au même axe coordonné. On supprime la première ligne verticale de ce petit tableau ; on forme la valeur de g en multipliant le premier nombre d’en haut par le deuxième nombre d’en bas et en retranchant de ce produit celui du premier nombre d’en bas avec le deuxième nombre d’en haut; h et k s’obtiennent de la même façon, en formant les produits croisés d’abord de la deuxième et de la troisième, puis de la troisième et de la quatrième lignes verticales.
Lorsqu’un plan (pqr) fait partie d’une zone [ghk], on a la relation : pg + qk + rlc= 0.
Lorsqu’un plan (pqr) fait partie de deux zones [ghk] et [g’h'k] on déduit les caractéristiques p, q, r du plan de celle de la zone en suivant la marche qui vient d’être indiquée pour déduire les caractéristiques d’une zone de celles de deux des plans qui en font partie.
Marche générale «in calcul. — - Supposons que, grâce aux symholes attribués arbitrairement à un certain nombre de iâces, on soit arrivé à déterminer la forme primitive du cristal.
Soit P le pôle d’une face du cristal dont on veut calculer les caractéristiques. Les inclinaisons mutuelles des faces du cristal étant connues, on connaît ou on peut calculer, en résolvant un certain nombre de triangles sphériques, les angles que fait P avec une face quelconque du cristal, ou avec les faces de la forme primitive. Soient X, Y, Z les pôles de ces dernières faces et P celui de la face P, on peut supposer connus PX, PY, PZ, et par conséquent PXY, PXZ, etc. Or les relations (2) permettent de calculer p, q, r, ou, plus exactement, les rapports de ces trois nombres, puisqu’on connaît a, b, c.
Lorsque les observations goniométriques auront constaté qu’une face fait partie de deux zones, on en calculera les caractéristiques par le moyen très simple qui a été indiqué plus haut.
On peut se proposer de résoudre le problème inverse de celui dont nous venons d’indiquer la solution, et qui consiste à calculer les angles que forment entre eux deux plans réticulaires appartenant à un cristal dont la forme primitive est connue et dont les caractéristiques sont connues. Soient, par exemple, X, Y, Z (fig. 114), les axes du réseau polaire P, P' les pôles des deux plans (pqr) et (p'q'r'). On se propose de calculer l’angle PP'.
On a :
sin PZY sin PZY b a
sin PXZ ~ sin (Z — PZY) ~ q '' p*
sin PYZ sin PYZ c a
sin PYX — sin (H — PYZ) ” r : p'
Ces équations font, connaître PZY et PYZ. Dans le triangle PYZ où l’on connaît le côté YZ et les deux angles adjacents, on peut calculer PY. On peut de même calculer P'YZ et P'Y. Dans le triangle PP'Y on connaît les deux côtés PY, P'Y et l’angle compris PXP' = P'YZ 4- PYZ ; on peut donc calculer PP'.
Je terminerai en donnant un exemple de ces calculs.
Exemple de calcul cristallographique. — La figure 115 représente la partie
MALLARD. — CRISTALLOGRAPHIE. 681
supérieure d’un cristal de méionite. On s’aperçoit aisément que toutes les modifications sont disposées symétriquement par 4 et 8 autour de l’axe vertical, qui se trouve ainsi être un axe de symétrie quaternaire. Le cristal appartient donc au système quaternaire.
Fig. 115. — Cristal de méionite.
Les mesures d’angles nous donnent les résultats suivants :
Angl.s Angles
des faces. des pôles des faces.
On remarque que les faces [6, 2, 3, 4] sont situées dans une même zone.
Il en est de même des faces [6, 4, 3, 13].
Il en est encore de même des faces [3, 8, 14],
Nous appelons m le prisme carré très développé dont font partie les faces 13 et 17. Le prisme carré, beaucoup moins développé, dont font partie les faces 11 et 15, a par conséquent le symbole h1.
Quant au prisme octogone 10, 12, 14, 16, etc., il doit avoir le symbole hî , et,
pour déterminer nous avons la donnée expérimentale 13. 14= m./i? =26° 34'.
On représente (fig. 116) la projection de l’hémisphère dont la trace de l’axe
quaternaire est le pôle, les pôles des faces m, h1, hî se placent sur le grand cercle qui limite l’hémisphère; le pôle de l’axe coordonné des Z est au centre de l’hémisphère ; les pôles des axes des X et des Y sont ceux des faces m. La relation générale connue
sin PZX a . b sin PZY p ' q
donne ici, à cause de a = b, PZX=90° — PZY elPZY = 13.14:
cotg (13.14) =1 = 2,000 Le prisme octogone a donc pour symbole A2.
Fig. 116. — Projection stéréographique des pôles du cristal et méionite.
La pyramide quadrangulaire, largement développée, dont font partie les faces 2 et 4, est située sur les angles a, elle a donc pour symbole «F. Nous prenons
arbitrairement -= 1, pour déterminer la hauteur h du prisme primitif. Nous
plaçons les pôles 2 et 4 sur la projection de l’hémisphère, ils doivent être situés sur les diamètres qui passent par h1 .
Nous avons la longueur de l’arc 2.4 = 43° 49'; le milieu de cet arc est c en sur le diamètre ZY; dans le triangle rectangle eZ4, nous connaissons l’angle \
SZ3 = 45°, et le côté e.4=^ 2.4=21° 54', 5; nous aurons 4.Z par la relation
d’où
sin 4. Z
sin'2.4 sin 45° ’
Dans le triangle rectilatère 4ZY, nous connaissons 4.Z et l’angle 4ZY = 45°, nous en déduirons 4YZ par la relation
Ig 4. YZ = tg 4.Z X sin 45°,
d’où l’on tire
MALLARD. — CRISTALLOGRAPHIE
La relation connue
