IX X

VIII (Quintes)

2048 2187 etc.

-XII (Octaves)

Le si jf, 13" terme de la progression des quintes, est le nombre 331.441, tandis que l'ut le plus rapproché de lui, 20" terme de la progression des octaves, est 524.288.

^^ ""^PP" 524:288 =80^52 ^ 1 '«lervalle qui se-

pare ces deux sons. Il est un peu plus grand que ^-r.

Le résultat sera le même si l'on passe de l'ut au si tt supérieur par tons majeurs (pythagoriciens) :

t.. ito 11" '"^

, 031.441 „ La valeur de cette expression est . Pour

ramener ce si ; au contact de l'ut inférieur, il suffit de

diviser par 2 l'intervalle. D'où :

81,62 .'iilt " 80,52 ~ ÛF'

Enfin on pourrait aboutir aux mêmes résultats en passant de l'ut au si ï supérieur par ditons :

^lë=

/81Y 531.441 si; '' V64/ '~262.144"»r

Ces diverses manières d'obtenir le si i ne sont que les applications du réglage par quintes, lequel ne

V 'JV. 'i 243 3888 8 1 ■ 7256\ ~ 13 X =^— ^^^ — "■•

5. Cette double série n'est que la représentation numérique du schème ;

-« etc

e- 2 î V 3 6 a 3 16-27. S2 . rtt

[334 bis] indéGniment (et idéalement) prolongé.

lUSTOlUK nii I.A MUSlnlE

Niimbres proportlODoela aui luKarillimeji des kapports. Rapports.

Ton inaximo 13,S70 i< : 7

TiiTCi; minimn l(i,()12 7:0

Triliomiloii 17, Ois 32:27

Tierci! mineure 18,93S 6:5

Tierce majeure 23,179 5:4

Diton 21,409 81:04

Quarte juste 29,883 4 : 3

Quarte lempéiée 30

Grâce ;i ce nouveau nuule do reprôseiilation, on [leiit voir, par exemple, ((ue le cummn est contenu environ 9 1/2 fois dans le lun majeur, et 8 1/2 fois ilaiis le Ion mineur. \\n efl'el

ton majeur 12,235

comma 1,2S)0

ton mineur 10,94!

comma 1,290 '

126. Il est possible de relever, par rénumération précédente, le nombre des intervalles différents inclus ilans la quarte tempérée : les principaux sont au nombre de 1j, car il faut à la liste ajouter le scliUma : il vaut, à une appro.ximation très petite, l'intervalle qui

sépare la quinte absolue I - j de la quinte tempérée

du « système de 12 degrés ».

Les Pythagoriciens ont manié tous ces intervalles

— et bien d'autres! — sans arriver à des cadres définitifs. El il ne faut pas croire que le mode d'accord par quintes et tierces qui s'est substitué au leur ait lîxé à jamais les destinées de l'échelle musicale.

La formule ut ré mi fa sol la si ul est une réponse logique, « naturelle », à la question posée d'une certaine manière. Si tyrannique qu'elle soit, elle ne peut pas èlre considérée cependant comme une échelle rigide. Dans la pratique elle tolère des Nuances (121).

D'autre pari, la gamme à six tons du type [33a] cherche à s'implanter à côté de son ainée, et cela est assez singulier, car il y a parmi nous une tendance

— au moins spéculative — à considérer l'enharmonie {si ::^=ut) comme une erreur condamnable.

La conclusion est que si la gamme antique a des qualités mélodiques et la gamme moderne des propriétés essentiellement harmoniques, la pratique ne permet, dans l'exécution collective, l'adoption de l'une ni de l'autre. Aboutirons-nous à un tempérament inégal, qui laisserait aux diverses transpositions une physionomie plus individualisée? Verra-t-on la Tonalité disparaître et céder la place à un chromatisnie illimité? Bien n'est plus imprudent qu'un pronostic en cette matière. Il semble seulement que la Tonalité doive demeurer longtemps encore, grâce au libéralisme dont elle fait preuve et à l'élargissement qu'elle subit, la régulatrice d'un art qui, après avoir repoussé les vieux modes, est tout près de leur rendre droit de cité, et de s'enrichir par leur résurrection.

i. Sur les intervalles de ta musique grecque {R^s'vztiES Étddes Grecques, 1902, juillet-octobre), p. 336 sqq.

fournit que des « tons majeurs » ou des ditons, à l'exclusion du « ton mineur » et de la tierce m.iji'ure naturelle. De lii aussi le nom donné à l'intervalle diU'érenliel.

l'nui' ipi(! ce si ; arrive à coïncider avec \'hI naturel, il a fallu — c'est le système du Ifinpcrnmi'nt éijal — tricher sur la grandeur des 12 quintes que Ion voiihiit enfermer dans l'octave :

^¥^~rtrr±

Chacune d'elles a été raccourcie d'une quantité, petite en vérité, mais telle que la somme des 12 raccourcissements rachète exactement l'excès de si S sur ut. Ainsi fut obtenu le 1/2 ton tempéré moyen, déterminé par cette condition que, dans l'intérieur de l'octave, la somme des 12 invervalles égaux soit égale à 2.

Soit X l'intervalle moyen. 11 faut qu'on ait:

o^an -^- """ ^

D'où a; = \" 2= 1,059463...

Application. — Prenons le la du diapason pour

exemple. Il bat 870 vibrations simples. Pour calculer

le la ;, au lieu de multiplier 870 par — (=906,23),

nous le multiplierons par 1,059463, ce qui donnera : 921,73.

Pour calculer le la p, au lieu de multiplier 870 par

— (=835,20), nous le diviserons par 1,039463 et nous

aurons : 821,17.

ItEPRESENTATION LOGAKITHMIQUE DES INTERVALLES

125. Si l'on veut évaluer combien de fois un intervalle est contenu dans un autre, quelle fraction il en est, on remplace les rapports qui définissent les intervalles acoustiques, soit par leurs logarithmes, soit par des nombres proportionnels à leurs logarithmes. En prenant pour unité le douzième du ton tempéré, suivant la méthode aristoxénienne, Paul Tannery ' a établi la série des nombres ci-dessous, qui permet, par une simple comparaison de longueur, de déduire les rapports des intervalles entre eux :

Nombres proportionnels aux logarillinies des Rapports. Rapports.

Comma

1/2 ton mineur

Limma

1/2 ton majeur

Apotome

Ton mineur

Ton majeur

EXr.vr.LOPÉDIE l>E LA MISlOiE ET Dir.TIOXXAIRE Dr r.OXSERVATOIllE

Aulos double, dont les deux tuyaux sont tenus par un Satyre coureur. On distingue assez nettement les anches minces que l'exécutant enfonçait dans sa bouche, comme nos joueurs de hautbois et de basson. Le « sac à flûtes » à houppettes est posé sur la cuisse gauche du personnage. — Assiette à figures rouges, des premières années du v= siècle av. J. C. ; (la chevelure est cernée par une incision en zigzag). Inscription ; EniKTETOIÏ EPPA- •tSEN. — Cabinet des SlâilaiÙes; catalogue de Ridder, n» 509.

Aulos double, dont les deux tuyaux, parfaitement cylindriques et tenus par la même main, sont ou bien privés de leurs anches ou terminés par des spatules dures de flageolet. En ce dernier cas il ne s'agirait pas ici d'un instrument à anches, mais d'un instrument à bouche. — Fragment de coupe à figures rouges, de la première moitié du v" siècle av. J.-C. Cet éphèbe court ; la représentation de la course par l'agenouillement est coutumière. li esquisse un geste qui d'ordinaire est celui de la déploration funèbre. Mais ici cette signilicalion ne doit pas être la bonne, si l'on en croit l'inscription [KJAAOÏI. — llusie du Louvre, salle G.