DIDACTIQUE - DIÈTE

a fait nattre des disciples. Parmi les productions sorties de son école , il est Juste de distinguer le Verger de Fontanes , trop vanté sans doute» mais d'une élégance et d'une pureté remarquables ; le poëme des Fleurs de Castel, plein de pureté » de naturel et de goût ; le poëme de la Navigation, dans lequel Esménard a déployé un t)eau talent , mais non pas un beau génie, et dont la poésie, malgré un mérite éminent, a des défauts qu'on ne connaît bien qu'en lisant la prose de l'auteur; il manque à Tune ce qui fait le principal mérite de Tautre. Les Oiseaux de la ferme et le Potager f par Lalane , ne sont pas sans un certain churme; V Astronomie de Gudin est l'ouvrage d'un esprit cultivé, sage, ami de tontes les lumières. Nous voudrions pouvoir dire aussi que c^est l'ouvrage d^un poëte (1). Quoique M. Michaud ait encore ajouté des ornements à la parure de Delille , on a reconnu un vrai disciple du maître dans le Printemps (Vun proscrit. Au contraire , le Génie de V homme, par Chenedollé, a obtenu les suffrages, prédsément parce qu'il s'éloigne de la manière de Delille , et que ses l)eautés , plus simples, lui appartiennent en propre.

Le genre didactique, par son caractère grave et sa vocation utile, ne semblait pas destiné à prendre le ton de l'Arioste ou de Cervantes. C'est cependant ce qu'il a fait avec l'auteur de la Gastronomie, qui nous a donné des leçons de l'art cher à Cornus, dans un style toujours naturel et souvent comique.

Plusieurs vers de cet ouvrage sont demeurés proverbes. Les amis de la poésie n'ont pas oublié non plus une charmante parodie de V Art poétique , par M. Leduc, dont les vers paraissent quelquefois marqués à l'empreinte du satirique.

Au moment où nous parlons,, les beaux jours de la poésie descriptive sont passés pour longtemps, pour toujours peut-être; et, comme il n'arrive que trop souvent , elle est tombée de la plus brillante fortune dans un mépris aussi exagéré que la folle admiration où nous l'avons vue. Delille lui-même éprouve un retour qui deviendrait funeste à sa réputation, si elle n'était appuyée sur des chefsd'œuvre , et défendue par iin mérite qui n'a point d'éclipsé et qui fait vivre les ouvrages indépendamment du fond des choses. Mais en défendant jusqu'à mon dernier soupir la réputation de ce grand poète je n'ai jamais excité personne à suivre son école, et j'applaudis au jugement qui a fait cesser la vogue du genre descriptif. 11 ne tendaità rien moins qu'à discréditer la poésie , et à perdre chez nous le génie de la composition, le secret de la peinture des passions , et l'éloquence qui fait

|i) Cbénier.

Encycl.

MOD. — T. XIT.

parler le cœur de l'homme en des vers inspirés par un sentiment profond.

P.-F. TissoT.

DiDELPHE. {Histoire naturelle.) Plusieurs zoologistes désignent sous le nom de Dioel- PHES l'une des grandes divisions primaires des Mammifères. Ces animaux étant plus connus sous la dénomination de Marsupiaux, nous croyons devoir renvoyer à ce mot pour en traiter.

On a aussi appelé DmcLPHES un genre de marsupiaux indiqué plus vulgairement sous le nom de Sarigub.

DIÈSE. ( Musique. ) Le dièse est un signe qui sert à indiquer qu'il faut élever d'un demi-ton le son de la note devant laquelle il se trouve placé; cette mutation ne fait point changer de nom au degré sur lequel on l'opère; la figure que l'on donne à ce signe est celle-ci : jif. On fait usage aussi des doubles-dièses, et c'est ainsi qu'on les représente :«t.

Il y a deux manières d'employer les dièses :

quand ils se rencontrent dans le cours du chant, ils se nomment dièses accidentels, et lorsqu'ils arment la clef , ils se nomment dièses de tonalité.

La position des dièses à la clef ne peut être arbitraire ; car ils n'y sont employés que pour niveler toutes les échelles musicales sur l'échelle A^ut naturel majeur , pour les modes majeurs, et sur celle de la nature mineure, pour les modes mineurs ,. soit par dièses ou par bémols ; mais , pour conserver cette parfaite conformité entre les différentes échelles, et retrouver les demi-tons voulus au même degré , on les emploie ainsi, en commençant du dièze sur le fa jusqu'au dièse sur le 5i , ce qui donne en montant une suite par quintes de sept dièses .fa, ut, sol^ ré, Iç, mi, si. Quand on veut remettre la note dans son état naturel, on emploie le secours d'un jif.

H. Berton.

DiÈTE.( Médecine. ) Ce mot vient du grec dMcCTa, qui signifie régime , diète, manière de vivre; nous lui donnons aussi plusieurs acceptions : tantôt il signifie privation d'aliments , tantôt usage de certains aliments à l'exclusion des autres. Ainsi, l'on dit prescrire une diète rigoureuse, observer la diète lactée, végétale , etc. , etc. Dans le premier cas c'est de la quantité, dans le second c'est de la qualité des substances alimentaires que la médecine s'occupe. Employée dans l'une ou dans l'autre acception, la diète est d'une haute importance dans la pratique , puisque la privation entière des aliments est de la plus grande utilité pour le traitement des maladies aiguës , et que beaucoup de maladies chroniques arrivent à la guérison , bien plus souvent

DIÈTE

par Tusage deœrtaius aliments et d'un régime Convenable, que par remploi de médicaments nombreux ou fréquemment renouvelés.

Les médecins de la plus haute antiquité ont reconnu tous les avantages que Ton retire de la diète : aussi, en divisant la médecine en trois branches , avaient-ils appelé la première dié' tétique, ôiaiTrjTixiQv, la seconde pharmaceutique, çapjiaxevTixriv , et la troisième chirurgicale , XÊipovpTtîtTOv. Ils ne font donc que suivre Texemple d*Hippocrate, de Celse et des autres grands maîtres, les médecins modernes qui mettent la diète au premier rang des moyens que la médecine peut employer, et qui se servent , avec une sorte de prédilection, de cet agent thérapeutique, dont oti ne peut contester avec raison les avantages.

§ l^**. Les aliments solides et les boissons nourrissantes sont proscrits entièrement lorsque Ton fait observer ime diète rigoureuse; et ils sont remplacés par une légère infusion végétale, ou par des posions qui contiennent les principes appropriés au genre de maladie que Ton traite. L^eau qui sert de véhicule à ces principes est, dans une foule de circonstances , Fagent le plus important des boissons que Ton prescrit aux malades, et qu'ils prennent pendant un plus ou moins grand nombre de jours , et même quelquefois pendant plusieurs semaines. L*eao, en effet, est ellemême un médicament précieux, parce que son introduction dans Téconomie modifie nos liquides et nos solides, d'une manière utile, soit par sa quantité, soit par les températures variées que Ton peut lui donner. 11 ne faut pas s'étonner de ce que ces boissons sufGsent seules pour soutenir Texistence pehdant plusieurs semaines ; car, outre qu'elles contiennent une petite quantité de principes nutritifs, capables d'entretenir la vie , les organes , si ces principes ne Sont point suffisants, réparent eux-mêmes leurs pertes avec les matériaux de la graisse qu'ils trouvent déposés dans leurs interstices.

Afin que Ton conçoive aisément futilité de la diète , et que l'on reconnaisse combien il est indispensable de la prescrire dans une foule de maladies , examinons quels sont ses effets sur l'économie animale. Par cela seul qu'un être est vivant, son sang et ses tissds organiques éprouvent des pertes continuelles, qui nécessitent line réparation sans cesse renouvelée. Les aliments sont la source qui fournit les éléments nécessaires à cette réparation, en donnant les matériaux du chyle.

Ce fluide réparateur se rend dans le torrent de la circulation ; le sang y trouve des principes qu'il s'assimile, et à leur tour les organes reçoivent du sang des matériaux nécessaires il leur entretien. Mais ces divers cliangements ne peuvent se faire sans imprimer à

l'économie animale, et à la circulation en particulier, une espèce d'ébranlement connu de tout le monde, signalé par tous les physiologistes, notamment par Bichat, modification qui se manifeste par un frisson plus ou moins prolongé, que l'on a comparé à utie sorte d'état, fébrile. Or, comme dans la plupart des maladies il existe déjà un mouvement fébrile, ou très-pénible, ou même insupportable, il importe d*empécher que les actes de la digestion ne l'augmentent , et la diète est, sans contredit , l'un des moyens les plus efficaces pour borner ou modérer sa force, et diminuer Tintensilé de la maladie, surtout lorsqu'elle est accompagnée de Symptômes inflammatoires non équivoques. Au f-este, le plus souvent VanO' rexie ou le dégoût pour les aliments rendent la diète fadle à supporter, et déterminent les malades à s'y soumettre d'eux-mêmes.

Yoici alors les effets que Ton observe : le corps continue à fournir des matériaux à ses divers organes sécréteurs ; et comme 11 ne répare pas ses pertes, l'émacialion commence; la graisse déposée dans les aréoles du tissu celhiJaire est absorbée, portée dans les fluides circulatoires et employée à la nutrition ; les parties où ce tissu cellulaire est le plus abondant, comme les orbites, les joues, les mamelles, etc., sont aussi celles où Ton remarque le plus de changement ; les yeux s'enfbncent, les joues se creusent, les mamelles s'jfffaissent, les forces diminuent, le pouls s'aflaibtlt, et le plus souvent arrive la solutioti hett^ease de la maladie , surtout lorsque les bons effets de la diète ont été soutenus pdr une médication bien entendue.

Les effets d'une diète trop longtemps prolongée, et q|ii cesserait dès lors d'être mëdi' cale, détermineraient les accidents d'une faim cruelle snitie d'une mort horrible , que dans les temps de barbarie on employa comme moyen de supplice on de vengeance , et qu'un archevêque de PIse eut, dit-on, la cruauté de faire souffrir au conite Ugolin et aux quatre enfants de Ce père Infortuné. Il nous suffira de remarquer, dans cet article, que le plus jeune de ces enfants, figé de trois ans, mourut le quatrième jour; que les trois autres, qui étaient adolescents , succombèrent le cinquième et le sixième jour, et que ce ne fut qu'après huit jours d'angoisses et de douleurs inexprimables, que le malheureux pèrb cessa de vivre. De ce fait on peut concluNi que l'on supporte d'autant moins la privation des aliments, que l'on est moins avancé éH âge; Hippocrate a consacré cette vérité danS l'un de ses aphorismes.

On est étonné de la petite quantité de matière nutritive qui a suffi à certains individus pour vivre pendant plusieurs années. Haller cite, dans le sixième volume de sa PhysiolO'

DIÈTE

giê, beaucoup de faits qui le prouvent. Le docteur Moreau , dont nous aTons eu récemment à déplorer la perte , rapporte , dans son Histoire naturelle de la Femmes Tobservation suivante , empruntée au docteur Mackensie : Une fille écossaise , âgée de trente-troi^ ans, nommée Macléod, fut, après plusieurs accèâ d^épitepsle et quelques autres acddeuts, oblige de garder le lit, et réduite à une sorte de végétation très-peu active , et à la plus faible vitalité; elle parlait très-rarement, et ne demandait plus de nourriture. Pendant quatre ans on ne lui a rien vu avaler qu'une cuillerée d'eau médicamenteuse et une pinte d'eau simple.

Mais si le mouvement nutritif fut arrêté, celui de la décomposition Se suspendit également; pendant trois ans Macléod n'eut aucune évacuation par les selles ni par les urines; la transpiration fut aussi presque nulle, k Le pouls, que j'ai eu quelque peine à trouver, dit le docteur Mâckensie, le pools était régulier, lent et excessivement faible; le teint assez ftais, les traits ni défigurés ni flétris ; la peau naturelle ainsi que la chaleur. A mon grand étonnement , lorsque j'ai examiné le corps , j'ai trouvé la gorge proéminente, les bras, les

cuisses et les jambes nullement amaigris

La malade dormait beaucoup et fort tranquillement; lorsqu'elle était éveillée , on l'entendait se plaindre continuellement comme le fait un enfant nouveau-né ; cinq ans après , ajoute l'auteur, elle prenait avec difficulté quelques miettes de pain d'orge et quelques cuillerées de lait; assise sur son lit , elle s'occupait à filer. »

11 n*est pas rare de voir les maniaques supporter volontairement la privation des atiinents pendant longtemps. Vanderviel rapporte qtl'un fou qui croyait être le Messie , voulant surpasser le jeûne de Jésus-Christ, s'abstint pendant soixante et onze joUrs de tous aliments ; il ne but même pas d'eau ; il ne fit que fumer et se laver la bouche. Pendant cette longue abstinence sa santé ne sembla éprouver aucune altération ; il ne reiidit aucun excrément. Nous avons vu, pendant des maladies longues et graves des organes de la digestion , la diète continuée pendant vingt, trente, quarante jours, et même davantage; le peu de matière nutritive contenue dans les boissons suffisait pour entretenir la vie de ces malades, qiii tous étaient parvenus à l'âge adulte.

11 est des circonstances où les tnalades sont forcés de supporter les angoisses qu'occasionne la privation trop longtemps prolongée des aliments, et dans lesquelles tous les efTorts des médecins ne leudéht qu'à faire pénétrer quelques principes. nutritifs dans Téconomie ^Tantôt c'est parce que les aliments ne peuvent plus être introduits par les voies

ordinaires, à cause de l'oblitération entière du pharynx , etc. , etc.; tantôt c'est parce que l'estomac lui-même ne peut plus remplir ses fonctions, ou que le chyme, substance nutritive extraite par lui des aliments, ne peut pénétrer jusqu'aux intestins. Ces funestes accidents s'observent dans quelques afTections cancéreuses de l'estomac , etc., etc. On cherche alors, par des bains gélatineux , des lavements de lait ou de bouillon , à faire absorber par la peau et par Pextrémité inférieure de l'intestin , quelques molécules nutritives; mais la nature se prête rarement à ce genre de substitutions , et l'on n'a plus à observer que le triste spectacle des effets d'une privation d^àtiments trop prolongée. Outre l'émacialion extrême qui survient, les sécrétions diminuent :de là, sécheresse de la bouche, aridité de là peau , évacuation nulle ou presque nulle d'urine ; le pouls devient petit, filiforme; souvent il acquiert une fréquence remarquable ; les aliments qu'il prend n'assouvissent point la faim qui tourmente le malade , car il les vomit tous ; une somnolence presque continuelle survient : elle n'est interrompue que par un délire plus ou moins bruyant, dans lequel le mot aliment est quelquefois prononcé avec douleur; les sens s'affaiblissent de plus, en plus, le malade n'aperçoit plus les objets qu'à travers un voile épais , la prostration des forces devient extrême , et la mort ne tarde pas à terminer cette douloureuse existence.

Les accidents que détermineraient les abus de la diète seraient semblables à ceux que nous venons d'exposer. Il faut donc garder une juste mesure dans l'emploi de cet excellent moyen thérapeutique, et le cesser aussitôt qu'il ne peut plus être utile. Mais ce n'est qu'avec les plus grandes précautions que Ton doit accorder les premiers aliments, surtout lorsque la diète a été longue et sévère; car Festomac tie peut que lentement reprendre l'exercice de ses fonctions. Il faut donc, en général , attendre que des amendements considérables soient survenus dans la maladie; que la fièvre ait cessé ou ne revienne qu'à des intervalles éloignés; que la soif n'existe plus; que le malade éprouve un sentiment de mieux évident , et qu'il ait le désir de prendre un peu de nourriture. Le choix des aliments n'est pas plus facile à déterminer que ropportu« nité du moment où l'on peut les accorder.

11 fut un temps où Ton avait soin de donner,' en cessant la diète , le bouillon le plus succulent que l'on pouvait se procurer : des rechutes fréquentes suivaient cette pratique essentiellement mauvaise. Un bouillon de poulet léger , et mieux encore quelques préparations végétales, sOht ordinairement les aliments qtti d'abord conviennent le mieux ; on

CD donne ensuite de plus' nourrissante , et on «n augmente graduellement la quantité.

Au reste, ces préceptes varient selon les maladies ; ils varient, ainsi que nous l'avons déjà dit, selon l'âge. La différence de sexe les modifie également : on remarque, en effet, que les femmes supportent plus aisément la diète que les hommes. Il est d'observation que dans les contrées du Nord, et pendant les saisons froides des autres pays, la digestion est plus active et que la diète ne peut y être continuée longtemps; on sait aussi que chez certaines-personnes habituées à une nourriture succulente et copieuse quel* ques jours de diète occasionnent un affaiblissement tel , quMl faut de bonne heure soutenir leurs forces chancelantes à Taide de quelques aliments. Enfin, il ne faut point oublier qu'une foulé de circonstances doivent faire modifier l'usage de cet important moyen de thérapeutique , et qu'un célèbre praticien du siècle dernier disait en mourant : Je laisse après moi deux grands médecins , la diète et Feau.

$11. Le mot diète, pris dans la seconde acception, usage de certains aliments à Vexclusion des autres , n'est pas moins digne de notre attention. La nourriture variée des différents peuples de la terre inOue beaucoup sur les caractères nombreux qui les distinguent les uns des autres. En effet , il est facile de constater combien la constitution et les penchante des hommes présentent de différences remarquables selon qu'ils se nourrissent de poisson , de gibier ou de fruite. Aussi, les législateurs et les philosophes de tons les temps ont-ils tenu compte de ces différences dans leurs institutions. Moïse voulut que ses peuples s'abstinssent de certaines viandes ; Pythagore vanta les avantages du régime végétal; Mahomet, connaissant la violence et l'emportement de ses Arabes, leur défendit l'usage du vin. Les expériences tant de fois répétées de Duhamel prouvent que si Ton nourrit des animaux avec des alimente tantôt privés et tantôt chargés de matièrecolorante, la garance par exemple, on observe sur les os des couches alternativement rouges et blanches qui indiquent les variations que l'on a suivies dans la distribution de leur nourriture. Ces remarques suffiront pour prouver que le choix des alimente n'est point indifférent pour combattre quelques maladies, ou certains vices de constitution , et qu'enfin il faut qu'il soit approprié aux différences que présentent les Ages, les sexes et les tempéramente.

Notre excellent ami le docteur Andral a fait connaître au mot Aliments les variétés nombreuses qui les distinguent. Il ne nous reste qu'à indiquer succinctement les règles

DIÈTE 424

que l'on doit suivre dans leur emploi.

On a recommandé la privation des boissons dans quelques maladies. Lorsque leur présence fatigue l'estomac , comme dans la gastrite aiguë , il est bon de n*en prendre que de petites quantités ; mais c'est en vain que Ton a pensé diminuer la sécrétion trop abondante de la sérosité dans l'hydropisie, et de l'urine dans les diabètes , en privant les malades de l'usage des liquides ; la soif à laquelle ils sont bientôt en proie les empêche de soutenir longtemps cette pénible épreuve; et d'ailleurs, comme les élémenU de nos sécrétions ne sont point seulement fournis par les tmissons , et que les organes qui sont chargés de ces fonctions prennent leurs matériaux dans le sang, qu'ils préparent et élaborent, et non dans les alimente que nous introduisons dans l'estomac , et qui , liquides ou solides , sont tous également convertis eu chyme, il eu résulte que la privation soutenue des boissons ne peut entièrement empêcher la sécrétion de l'urine ou de la sérosité.

La diète végétale a été longtemps vantée pour guérir la goutte et la gravelle; des observations nombreuses ont prouvé qu'elle n'est pas sans avantage dans ces maladies.

Les expériences récentes du docteur Magendie démontrent qu'en effet les végétaux privés d'azote modifient beaucoup les liquides et les solides des animaux auxquels on les donne pour toute nourriture.

Ladlète lactée, donlon ade tout temps préconisé l'usage , offre de grands avantages dans beaucoup de maladies chroniques de la poitrine ou du bas-ventre. Le lait peut être pris seul , étendu d'eau , uni à quelque substance médicamenteuse, ou mêlé aux fécules , telles que celles de sagou , de tapioca , d'arrowroot. Il est ordinairement d'une digestion facile, et sert en même temps d'aliment et de médicament. Le lait de femme , celui d'ânesse et celui de jument sont moins nourrissants et d'une digestion plus facile que le lait de chèvre , de brebis ou de vache , parce qu'ils contiennent beaucoup de pétillait, peu de beurre et de casénm , et que l'autre , au contraire, offre peu de petit lait, et présente une grande, proportion de beurre et de caséum , matière particulière qui forme le fromage et qui est très-nourrissante.

D'autres maladies chroniques, le scrophule, par exemple , lorsqu'il n'est point accompagné de symptômes inflammatoires, demandent une diète tout à fait opposée. Les sucs de viandes, les viandes noires elles-mêmes, rôties ou grillées , et les vins généreux entrent dans la diète animale et tonique, qu'il convient de prescrire , en faisant attention , toutefois , à ne pas occasionner une excitation trop forte dans l'économie.

Les alimeoU varient aussi en raison des différents âges. La nature prépare dans les mamelles de la mère le lait qui doit nourrir les enfants ;.plns tard elle garnit leurs mâchoires de dents capables de broyer les aliments dont ils devront faire usage; et si, dans on âge plus avancé , ces os viennent à tomber, des digestions quelquefois pénibles, avertissent le vieillard de revenir à des aliments moins solides.

Les divers tempéraments ne se trouvent pas également bien de la même espèce de diète , et quoiqu'on général l'homme soit destiné à se nourrir des fruits de la terre et de la chair des animaux, il est cependant vrai de dire que les végétaux conviennent mieux aux constitutions sanguines et bilieuses , et que la constitution lymphatique a souvent besoin d*ètre excitée par des viandes /at^e5 et nourrissantes.

La diète doit être modiûée selon les saisons et les climats : pendant Thiver, la digestion est plus active; il faut que la diète animale fasse la base des alhnents. En été, au contraire, c'est surtout parmi les végétaux qn'il est con* venable de choisir les aliments ; mais , à cause des pertes excessives que Ton fait par la transpiration , il est bon d'augmenter la quantité des boissons, et d'en prendre qui soient un peu toniques. Un exercice violent ou longtemps prolongé , en augmentant les pertes habituelles du corps, exige une alimentation abondante et composée de substances animales, afin que ces pertes soient promptement réparées par une assimilation active et fiicile. Au contraire, la diète végétale est plus utile à ceux qui font un usage modéré des forces musculaires. Mais lorsqu'aucun motif ne doit faire adopter une alimentation exclusive , c'est, en général, une diète mixte qui convient le mieux, parce que notre organisation nous rend aptes à nous nourrir, des substances végétales et animales.

Nous avons considéré la diète d'après les acceptions que l'on donne à ce mot; nous avons fait connaître sur quels principes sa théorie se trouve fondée , pourquoi la diète est nécessaire , et quels changements elle produit dans l'économie animale ; nous avons cherché à prouver qu'elle peut être plus longuement supportée qu'on ne le croit communément ; cependant, nous avons aussi exposé quels seraient ses effets si on outre-passait les bornes dans lesquelles les médecins circonscrivent son emploi ; nous avons succinctement assigné les règles de la diététique dans quelques cas généraux ; nous dirons, pour terminer cet article , qu'au lieu de remèdes énergiques , la diète est souvent le meilleur moyen à employer, et quelquefois le seul à mettre en usage au début d'un grand nombre de mala-

DBÈTE — DIFFÉRENTIELLE

dies , en attendant que le médecin vienne donner les conseils nécessaires pour le traitement qu'il faudra suivre plus tard.

Marc et M. Solon.

'DIFF Arbngb. ( Logique, ) Entre deux choses ou deux êtres que l'on compare , toutes les qualités ne leur sont pas communes : il en est toujours qui sont à l'une, à l'exclusion de l'autre, et par quoi elles se distinguent d'emblée. Les qualités communes constituent la ressema blance , et les autres ki différence. Lorsque les ressemblances consistent en des qualités essentielles f tandis que les différences ne se rapportent qu'à Yaccident, les choses ne sont que distinctes; mais si la différence se rencontre même dans les qualités essentielles, alors les objets sont plus que distincts , ils sont différents. Un tigre n'est que distinct d'un tigre; ftiais il est différent d'un homme,

La différence est un des cinq universaux si célèbres de Porphyre. Dans le langage de l'École, on appelle différences individuelles et numériques les différences accidentelles des objets à essence commune ou seulement distincts entre eux, parce qu'elles ne concernent que les individus sans atteindre l'espèce ; et différences spécifiques, les différences essentielles constitutives des natures différentes, parce qu'alors les différences atteignent la g^ néralité des individus et constituent les espèces. Les premières n'allant pas au fond des choses , étant passagères ou variables , restent en dehors des préoecupations de la science ; les secondes, étant fondamentales et immuables, du moins relativement à notre vue terrestre, sont l'objet et le terrain même des recherches scientifiques , les données obligées ou plutôt la nature de nos classifications, de nos définitions et de nos divisions.

Toutes ces nuances entre la distinction et la différence ont une grande importance lorsqu'on aborde le fameux et insoluble problème de Vindividuation. C. P.

DiFFÂRBN TiELLE. ( Analyse. ) Plus une branche de connaissances embrasse d'objets et reçoit d'applications diverses , et plus il est didficile d'en donner une définition exacte, qui permette d'en concevoir toute l'étendue et comprenne tous les sujets que l'on peut y rattacher. Cette partie de la haute analyse qu'on nomme ctUcul différentiel s'applique à des questions si variées, que nous n'en pouvons exposer la nature sans faire d'abord quelques observations préliminaires.

Étant donnée une équation y^sf^x) entre deux variables x et y, qu'on peut regarder comme représentée par une courbe plane BMM' (VoyezVAtlcu, GtovérRiE, pi. iv, fig.

45) , rapportée à deux coordonnées rectangulaires AP,PM, on comprend que si Ton attribue à l'abscisse a; une suite de valeurs quelconques^

DIFFERENTIELLE

d'od l'on tirera des coordonnées correspondantes y, on aura une série de points M , M', de la courbe ; mais que ces points seront séparés les uns des autres par un certain interralle, quelque voisines qu'on suppose les valeurs de x.

Ainsi, dans cet état, Téquation y=fx n'exprime pas qu'il y ait con/int4i/^ entre les points. Cette remarque peut être faite pour toute équation entres, 4,.... variables. Voyons si Tanalyse ne peut pas fournir quelque artifice propre à manifester la continuité dans les fonctions.

Prenons pour exemple Téquation y = ax^ •\hx* -^-c. Si après avoir considéré le point M, quia pour coordonnées x^y^ nous voulons prendre un autre point M' pour le comparer au premier, en nommant x -{• h ti y -{• k %^% coordonnées, on aura y-\-k =a ( JC+À) ^ + b ( x+h ) '+c, et développant y + k = {ax^ + hx* + c) + (3aa;» +

2bx) h + (Zax + b) h* + ah '.

Or, le coefficient de la première puissance de h, savoir *. 3ax* + ^^^f ^^^ déduit de la fonction proposée, en porte Tempreinte et convient à elle seule ; de pins ce coefficient est indépendant de h, qui est la distance PP' des extrémités des deux abscisses, et par suite mesure Tintervalle des deux points de la courbe; donc ce coefficient est composé de manière à exprimer que Ton considère deux points de la courbe aussi rapprochés qu^on veut, et par conséquent que la fonction est continue. De là on tire que toutes les fois qu'une question proposée, de quelque nature qu*ellesoit, reposera sur la notion de coniintUlé, c'est le coefficient de la première puissance de h dans le développement de celte fonction, où x est remplacé par x-i-h, qui , convenablement combiné et analysé , pourra résoudre le problème.

Raisonnons de même sur le cas général y = f{x).Si Ton remplace xpar x + h^ei y par y -i-k, on aura l'équation y + *=/ (a;+ h) ( Voyez le mot Foicgtion) : il s'agit maintenant de développer/ (a; -f- A), de manière à mettre en évidence les termes afliectés des différentes puissances de h. Ce calcul sera soumis à la nature de la fonction/, et nous verrons bientôt comment on peut Teffectuer pour chaque forme de/ ; contentons-nous de faire remarquer ici que, si Ton prend A => o, ce qui suppose k = o et fait coïncider le deuxième point avec le premier , tous les termes où h est facteur devront disparaître, dans le développement dont il s^agit, de ((x + h), en sorte qu'il ne restera que le seul premier terme , qui , par conséquent , doit être y ou /{x)* On voit aussi que h ne peut être affecté d'aucun exposant négatif; car, s'il existait dans /( x+ h ) un terme tel que MA — "•,

lequel équivaut à -^y en faisant h nul, ce I

terme, devenant infini, on ne retrouverait pas flx),l\ suit de là que f(x -^h) doit se développer de cette manière f(x-\')i) = fx-^une suite de termes dont h est facteur à différentes puissances positives.

Mais on peut voir qu'en général on a

f(x+h):^f(x) + tfh+oih.„,(\):

savoir, outre le terme fx, dont on vient de prouver Texistence, l*' d'un terme y'h contenant la première puissance de h multipliée par une fonction de x seul, que nous désignons par y'; et 2^ un ensemble d'autres ter^ mes où h entre à des puissances supérieures à la première , et que nous désignons par tth; « étant fonction de jp et de A , et adiuettaal encore le facteur h à quelque puissanee posi-' tive.

Pour prouver cette proposition, qui sert de base à tout le calcul différentiel, menons una tangente au point M (x,y) de la courbe BMM' , dont Péquation est y s fx. On sait que cette droite s'obtient en menant par ce point M une ligne quelconque MM', appelée sécante 9 et la ikisant tourner autour du point M jusqu'à ce que les points M et M' de section coïncident ensemble. Faisons par analyse celte opération géométrique. £n changeant xen x+ A, et y en y 4- A» pour considérer un second point M' de la courbe, nous aurons y +k =«=/ ( a; + A) , pour l'ordonnée PU'; on a MNt= A, P'M' »/( ^ -|- A ), M'N » A, euA^P'M' — PM5=:/(4f +A^/(a;); d'où le triangle rectangle MltlN donne

tang.Mm^—^j-^

Pour en déduire la direction de la tangente cherchée IM , il faut , dans cette expression , faire A nul , pour exprimer que M' se rapproche de M jusqu'à coïncidence. La valeur de tang. IMN est donc ce que devient le dernier membre ci-dessus, lorsqu'on y pose A = o :

et puisque la direction cherchée de la tangente dépend du point M, il est clair qu'on doit trouver une fonction dex pour résultat; nommons-la y'.

De là résulte que la valeur de ce dernier membre doit être formée de deux parties :

1 ^ du terme y', qui est indépendant de A ; 2° d'autres termes dont A est facteur à diverses puissances positives, et qui disparaissent lorsqu'on pose A = o; désignons ces termes ensemble par a, qui est une fonction de x et de A, et nous aurons

équation qui revient à celle ci-dessus (1) , en chassant le dénominateur A et transposant / (x). Pour que ce raisonnement ne fût pas exact, il faudrait que le point (x, y) que nous avons pris sur la courbe , n'eût aucune tan-

gente , ce qui ne saurait arriver que dans certains cas spéciaux, où en effet le calcul différenliel présente des résultats obscurs; mais tant qu'on se tient dans des généralités qui laissent x quelconque , on est assuré que l'équation (1) est toujours vraie.

Quelle que soit la forme de la fonction /, on est donc certain que rexpression/( x-\-h) est susceptible , par des calculs convenables , d'être développée en plusieurs termes, dont le premier est la fonction proposée/ (j;) ; le deuxiènje, uo terme yAqui ne renferme h qu'à la première puissance et est facteur d'une fonction de x ; enfin d'autres termes compris dans la forme ah , qui tous contiennent le facteur h à quelque puissance plus élevée que un , c'est-à-dire , A = o donnant a = o.

Ce second terme ^h a pour coefficient ^, une fonction A^x, qui étant essentiellement résultante de la proposée y onfXy et de plus étant indépendante de h , sera propre à exprimer que la fonction /est continue, puisqu'elle provient de ce que l'on considère à la fois deux points d'une courbe aussi voisins qu'on veut. Ce facteur yf de la première puissance de /^ est ce qu'<»o appelle la dérivée ou le coefficient différentiel delà fonction y; on l'exprime aussi par/ {x).

La fonction a est elle-même susceptible, comme on va bientêt le dire, de se développer en plusieurs termes procédant selon les puissances de A , et dont chaque coefficient peut, aussi bien que y', exprimer la continuité dans y; mais comme on verra que ces coefficients dépendent de jf^ cette remarque n'affaiblit en rien notre conséquence; seulement, selon les problèmes, on peut être conduit à préférer tel ou tel de ces coefficients pour cet objet. On voit, dans l'équation (2), que plus h décroît et plus a devient petit , jusqu'à être nul quand h l'est; on en tire cette conséquence , qui esl ttéroe souvent un eKceileat procédé de calcul pour déduire la fonction/ {x) de / (x) , que la dérivée d'une fonction y est ce que devient le premier membre de l'équation (2) lorsqu'on rend il nul , c'est-àdire que la dérivée y', ou le coefficient diffé^ntiel d'une fonction y, est la limite du rapport de V accroissement de cette fonction à celui de la variable. En effet , le numérateur /(a; + ^) — f(x) est l'excès de la fonction variée sur la fonction primitive, et le dénominateur est l'accroissement /» attribué à X. {Voy. Limites.)

L'origine du mot différentiel est utile à connaître. Puisque, dans l'équation (2), le terme a est aussi petit qu'on veut avec h, tandis que y, qui est indépendant de h , reste constant, il est clair que pins h sera petit, plus le deuxième membre approchera de se réduire à y'; ainsi la différence /( x -\'h}

DIFFÉRENTIELLE 4$0

— /( a; ) = y'b, pour des valeurs de h trèspetites, et comme y'A est la diflérence entre la fonction variée et la fonction primitive, on a appelé y'h une petite différence, ou une différentielle, et même Leibnitz, inventeur de ce calcul , ayant désigné par le signe d un accroisseqaept infiQiment petit attribué à une variable, dy et dx ont été des symboles destinés à remplacer les lettres k et h ci-dessus , et on a eu y'dx ( au lieu de y'h ) pour la différentielle de y, savoir dy = y'dx. Cette notation est reçue dans le genre de calcul dont nous exposons les principes. La dérivée ou le cû^ficient différentiel de la fonction

dv

y = f (x), est Y ou f (x) ,ou—; c*est le coef

uX

flcient du deuxième terme, ou de la pre^ mière puissance de h , dans le développement de la fonction variée f ( x -(- h ) ; ou la limite du rapport de 1^ accroissement de la fonction f (x) à celui de la variable x ; ou enfin le coefficient de la différence infiniment petite dy »= y'dx, qu'on trouve lorsque x croit de dx .

En attachant au mot dérivée l'acception précédente, nous pouvons définir le calcul différentiel, une branche de haute analyse dans laquelle on recherche les dérivées de toutes les fonctions proposées, on assigne leurs propriétés particulières, et on applique ces dérivées aux problèmes dans lesquels la continuité des fonctions est une des conditions essentielles.

Le calcul de la dérivée d'une fonction donnée se fait ordinairement en y changeant x en X -\-h, développant et prenant le coefficient du deuxième terme ( affecté de la première puissance de /t) : c'est le procédé qui résulte de la définition même. Mais comme ce développement exige des opérations spéciales pour chaque sorte de fonction, et que ce calcul n'est pas toujours facile à exécuter, on préfère qnelquefois recourir à la propriété de limites dont jouit la dérivée, ainsi que nous l'avons exposé. Ainsi de la fonction variée /( x-\'h)i on retranche la proposée / (a;) , on divise par h afin de former le rapport exprimé par le premier membre de l'équation (2), puis faisant décroître h indéfiniment, on cherche la grandeur vers laquelle ce rapport tend sans cesse , ou sa limite ; cette limite est la fonction dérivée.

On a coutume de considérer en particulier chacune des espèces de fonctions connues pour y appliquer l'une ou l'autre de ces méthodes, afin d'en déduire des règles de déri< vation, qu'on applique aux cas qui se peuvent offrir; ces règles dispensent de recourir, dans chaque exemple, aux deux procédés ci-dessus, pour trouver les dérivées des formules pro-

DIFFÉRENTIELLE

posées; ces dérivées s'obtienneut donc de suite, par la seule application des règl^ qui 8*y rapportent , et sans aucun raisonnement spécial , à peu près comme l'on fait une extraction de racines on tout autre calcul algébrique. Dans un ouvrage de la nature de VEn* cyelopédie , où Ton ne doit traiter que des sommités des sciences, ce serait faire une chose déplacée que de démontrer ces règles et d'entrer dans tous les détails, qui ne peuvent se trouver bien placés que dans les livres destinés à l'enseignement. Nous indiquerons, à ce sujet, les ouvrages de M. Lacroix et notre Cours de mathétnatiqttes pures. Cependant, comme il convient de montrer, par des exemples, Tapplication des deux procédés ci-dessus, nous donnerons les suivants :

Soient 2 et ^ deux fonctions de x, dont les dérivées sont désignées par z' et ^ ; cherchons la dérivée de leur produit et celle de leur quotient. Pour y = z^, si Ton échange x en x-^-h dans z et ^ , on aura y+k = {z + z'h + aLh)(t + i'h-^-^h) = zt + (tz' + zt') h + etc.

Ici a et p sont , comme il a été expliqué cidessus, iudétiniment petits avec h. Le coefflcient du deuxième terme, ou la dérivée demandée, est donc y'=tz' -f- 2^. Ainsi , pour trouver la dérivée d'un produit de deux fonctions de x, il faut séparément chercher par rapport à chaque facteur, comme si Vautre était constant , et ajouter les résultats. On prouverait de même que cette règle est vraie pour 3,4.... facteurs.

PoHry = '-, on a y4-A;=

z+z'h+dh

r - . t-Yt'h-Y^h' effectuant la division , le deuxième membre

A + etc. Le coefficient de

tz'^zt &,ou la dérivée, est donc y'= — — — ; c'est»

it

à-dire que la dérivée d'une fraction est égale au dénotninateur, multiplié par la dérivée du numérateur, moins le numérateur par la dérivée du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur.

Poury=a; 'onay-|-A=(a;+A) =x

+ wu;"*""* ^-|-.... Ainsi la dérivée de x^

est y' = ma;"* ~ '. Celle de y =3 z , se trouve en prenant le coefficient de h dans

y'\'k={z+z'h+ah)*^,

qui est visiblement mz " ^z\ Ainsi la dérivée

dev/z,ouz%estiz '«'=^-7^-

Soit encore y = sin. Xy d'où y-|-A;=8in. (a;+ A) = sin. a? cos. A-^

C03. X sin. h.

Il serait peut-être embarrassant de dévelop*

per sin. h et cos. h selon les puissances de h^ pour prendre le coefficient du deuxième terme, attendu qu'on ne suppose pasconnus les développements de>sin. A et cos. h\ mais la méthode des limites évite cette difficulté. Retranchons sin. Xy nous aurons sin. ( x-YK) — sin. x t= cos. x sin. h — 2 sin. x

sin. * 5 A,

à cause de 1 — cos. h = 2 6m*^h. Divisons par A, et nous aurons

y'+a=co8.a?.

sm.h 2sm.{h . ,

—7 sm X. — 7 sm 5 A.

Or, on sait que la limite du rapport de sin.

A à Â est 1 , en sorte que Tare h approche autant qu'on veut d'égaler son sinus ; la limite du premier terme est donc cos. x. Dans le deuxième terme , la fraction a aussi pour limite 1 ; mais le facteur sin. \ h approche sans cesse de zéro; sa limite est nulle; celle du deuxième membre étant cos. x, on& y' =