COEFFICIENT

Vi ) \n-W\) sont respectivement les coefficients de x b » x A , x 1 .

Coefficients indéterminés. Pour développer les fonctions en séries , on emploie, entre autres méthodes , celle des coefficients indéterminés. Mous Talions exposer sur un exemple.

Soit la fonction exponentielle a* , dont les valeurs sont réelles, et qui varie d'une manière continue pour des valeurs de x très-rapprocbées les unes des autres, à partir de jc=o Proposons-nous de la développer en une série ordonnée par rapport aux puissances ascendantes, positives et entières de la variable x. Posons :

cF^\ 0 a?+A i &- r -k t x'+A € x 3 +.>.k*x* +....

A 0 , A„ A 3 , A,... An sont des coefficients actuellement indéterminés, qui doivent être indépendants de la variable x , et il s'agit de les déterminer de telle sorte que la valeur de la fonction exponentielle a* correspondante à une valeur quelconque de la variable x soit fournie par le développement en série.

Puisque la relation (i) a* — A 0 £° + A< s'+A^M-.... A» x*...

doit subsister, quel que soit x, posons x=o ; tous les termes en x s'évanouiront, et il viendra : a", (ou 1) =À; d'où l'on voit que, dans la série , le coefficient du terme en z°, c'est-à-dire du terme indépendant de*, est égal à 1. Ainsi ;

a*=1+A, £+ A*rH- A,xH*... A«*»...(l)

Déterminons les coefficients des diverses puissances de x.

Remplaçons x successivement par y, et par (x^y)i

a (* +r ) étant égal à (a* av ), le second mem» bro de l'équation (3) peut être identifié au produit du 2* membre de l'équation (1) par le 2 e membre de l'équation (2) ; ainsi , l+A 0 (H-tf+A, (x+ y) , +A I (a:-f-îr) 5 +.. 1 An (*+ y) n ... est égal au produit de 1 -+- A t x A s ar" -f- A , a^+... A« x* ... par 1 + -f- A t y 4- A 9 y» + A n y n ... Kffectuant les calculs, et mettant en évidence les coefficients de la première puissance de y dans les deux expressions, on trouve d'une part :

A 4 + 2 A,ar-f»3 A, X* + 4 A 4 x 1 wA» x* — *,

et d'autre part :

A,H-A < l 5f4-A < .A î .a; ï + A 4 As * 3 +....

Ces deux coefficients de la première puis -

saoce de y doivent être égaux, quel que soit x ; dont les puissances semblables de x dans ces coefficients sont identiques, et l'on a : 2 A,=A«', 3A,= A, Aj, 4 A, = A, A„...

n A»«=»A 4 A" -«...d'où :

Tous les coefficients du développement se trouvent ainsi exprimés en fonction du coefficient A t .

Le développement de a* sera donc de la forme :

il ne reste plus qu'à déterminer le coefficient A,.

Prenons pour x la valeur particulière — ;

nous aurons :

<**'=' +«+1+5X^.3.4 ■ "Ut* et, en appelant e la valeur de cette série nur

mérique, o A, = e; d'où : Log. ^0**^= log. e

. 1 log. e log. a . nnm

et — = , , A 4 — ■ . Si, le iioiu-

A 4 log. a log. e

bre e (= 2, 718 28...) étaut pris pour base

d'un système de logarithmes, on substitue

dans la valeur ci-dessus de A t les valeurs de

log. a et de log. e relatives à ce système ,

A, sera égal à ^ * ^ ■ ou Log. a. Définitivement le développement en série de la fonction exponentielle a* sera :

, (Log. a) 1 , , (Log. a) 3 , i + (Log. a) s + -—r 1 * + t \ x

, ( Log. g» ,

Log. a désignant le logaritbme de la quantité a dans le système dont la base est e.

Si l'on voulait avoir le développement en série de la fonction exponentielle e* , il suffirait de faire dans la formule précédente, a = e, d'où : Log. a —Log. e= 1, et Ton obtiendrait :

Cet exemple sulfil pour donuer une idée de la méthode que les alKébrisles nomment méthode des coefficients indéterminés. Descartes, le premier qui l'ait développée, en a lait une applicatiou vraiment importante à la

775 COEFFICIENT résolution de l'équation générale du qua- ; trième degré. Depuis Descartes, elle a reçu j des applications nombreuses et variées dans ; les diverses branches des hautes mathéma- j tiques, y ayant servi tantôt de moyen de dé- : monstration, tantôt de moyen dedécouverte.

11 existe des relations remarquables entre les coefficients d'une équation et les racines de cette équation.

Si a, 6, y, 8...p sont les racines d'une équation algébrique du degré m de la forme x m + A 4 s*- 1 + A s x m ~ t An x m ~* +...

A M ^i x-\- Am= o, les coefficients A< A,... A* sont des fonctions symétriques de ces racines.

1° lAcœfficient du second terme est égal à la somme des racines, prise en signe contraire : A 4 = — ( a + p + y + + P);

2* le coefficient du troisième terme est égal à la somme des produits différents que l'on peut former en combinant deux à deux toutes les racines de l'équation : A,= cc(J + aY+a8+...

8" Le coefficient du quatrième terme est égal à la somme des produits différents trois à trois, prise en signe contraire , A, = — (ccPy -j- <*p8 4-...)» et ainsi de suite, jusqu'au dernier coefficient, ou terme indépendant de x , qui est égal au produit de toutes les racines, si l'équation est de degré pair, et à ce produit, pris en signe contraire, si l'équation est de degré impair A*» = ±

Au premier abord, on serait tenté de croire que ces relations peuvent conduire à la détermination des racines d'une équation en fonction de ses coefficients , car ces relations -sont en même nombre que les racines à trouver. Mais il n'en est rien , et Ton peut s'en convaincre en prenant un exemple. Soit l'équation x 3 -j- A 4 x 2 -f- A,* + A, —oj appelant a, p, Y"les trois racines de cette équation, on a les trois relations :

(2) ap +a Y +pY=A s

l'our déduire de ces trois relations la valeur de l'une des racines, dea par exemple, il faudraitéliminer pet y- Mais, quel quesoitle procédé d'élimination que l'on emploie, on trouvera toujours pour l'équation finale en a :

a 3 + A 4 a* -f A, a 4v*$= o ; c'est-à-dire précisément l'équation proposée. En sorte que la difficulté revient tout entière.

E. Carteron.

cohorte. (Antiquités. ) La cohorte était une des parties constitutives |de la légion romaine. Celle-ci était divisée en dix cohortes, dont chacune se subdivisait* en trois manipules, chaque manipule étant corn* posé de deux centuries ou compagnies de cent hommes. Ces chiffres indiquent que la force numérique de la légion était réguliè-