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Tune de cet Taleurt et plua grande que Taatre , fa n*est ni mazimam , ni midlmain.

Pour que Pun de ces deux cas ait lieu , il fout donc quey'a s±: o; car alors le développement sera réduit à

/(a± A) =/« -^ i * ^ra±\K^f"a -h etc.,

et il e&t évident que si p*' a est positif, ces valeurs seront toutes deux plus grandes que fa pour les petites valeurs de A, fXfa sera un minimum. Il y aura maximum , au contraire , quandy^' a sera négatif.

Mais , s*il arrivait que/^' a fût nul , alors le développement deviendrait

/i dbj *!/"'« ^etc..., et le signe d: qui affecte le second terme prouve qu^il ne peut y avoir ni maximum ni minimum, parce que Tune de ces expressions est moindre, et l'autre plus grande que^à ; il faudrait donc qu'on e^lf" a = o.

En continuant ce raisonnement, on arrive à cette conséquence :

Pour trouver les valeurs de x, qui rendent la fonclîonyk un minimum ou un maximum, on en prendra la dérivée /*'jc, qu'on posera =: o; on tirera de cette équation toutes les racines de x, et on les substituera dans les dérivées successives/^'v^", etc. La racine correspond à un maximum, quand la première de ces dérivées , qui n'est pas nuUe , devient négative , et à un minimum , quand elle est positive ; pourvu que cette dérivée soit d'ordre paiir , car sans cela la racine ne répondrait ni à un maximum ni à un minimum.

Par exemple , pouryx=x" {a — x ) *-♦- ft, on trouve

y»=(tf— x)-(2ax— 5x«)=:o y^'=(a— x)(2a«— 8flx) f"= i6ax— lOa»

Or ^y? = o donne ces trois racines : x=a x=s o ,- et xsc; a. La première n'appartient ni à un maximum ni à un minimum , attendu que x=ai donne/' ^o , el/*"=6a" , qui est une dérivée d'ordre impair ; mais x =: o donncy^'=>f-2a*, expression positive, qui atteste un minimum dont la valeur eBtf=sb.

£n6n xï=fa, conduit àj^' =3— Jjx*, ^eur négative qui montre qvLef=rîfa*'hb est le maximum de la fonction proposée.

Il ne conviendrait pas d'étendre davantage les dévdoppements sur ce sujet, ni de multiplier les exemples. Nous devons donc renvoyer aux traités spéciaux du calcul différentiel. Cette théorie se nitteche à celle des Tome 15.

affections des lignes coutlies, dont les sinuosités sont séparées par des ordonnées ou plus grandes ou plus petites que celles qui en sont voisines.

Passons maintenant aux fonctions de deux variables s =5=y ( x , jr ). Pour que « soit un maximum ou un minimum, pour une valeur attribuée à x et une à^*, il faut que s surpasse toutes les valeurs vobines , ou en soit surpassé. Changeons x en x-^h^y en^+ifc, et développons, nous aurons, en prenant Taccroissement Â:=«e/k ,

Or, il faut que ce résultat soit toujours> % pour le minimum , et ^9 pour le maximum, quelque petits qu on prenne heik ; ainsi il faut , comme ci-devant , que le second terme soit nul , et puisque cela doit avoir lieu , quelque soit «, on doit avoir séparément

dz (i% 2i=o,^=o...(I).

On voit donc qu'il £iut égaler k zéro les différences partieUes relatives à x et à^. Ces deux ékpiations sont en x et^; l'élimination conduira à obtenir tous les systèmes de valeurs accouplées , qui seules conviennent au maximum ou au minimum ; et, en substituant ces racines dansy*(x,^}, on aura ces plus grandes ou moindres valeurs de la fonction.

Mais il faut en outre que le terme suivant de notre développement conserve constamment le même signe , quel que soit «, signe qui est -+• pour le cas du minimum , et ~ pour le maximum. Or , ce terme en A» est de la fonne A -4- 2«R4-C«% trinôme qui ne conserve son signe pour toutes les valeurs de «, qu'autant qu'en l'égalant à zéro ses racines se trouvent imaginaires , ce qui arrive quand on a la condition AC — B*^o ; ainsi il faut, pour le maximum ou le minimum , que les racines conjuguées qu'on a tirées des équations (I), étant substituées par couples dans l'expression

d^ dx*

Vz d'% r d*z \

donnent un résultat positif. Les deux premiers facteurs doivent être de même signe , qui est -celui que conserve le trinôme en A*,

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et ce signe est -t- oi»^ , lelon qaey( x^x ) e«( rendu up minimum ou «un maximum.

Cette tkéorie se iupporte eojL A^ectlqns des surfaces courbes.

Toyei le Ta/cM/ éiffiremtiel d'Euler , c«1al de M. -LmtoIx, les FoweMoiu amUxiiqu*tàm\% Orange, SBi iUçoM à téc0h Normmiê , moB Cmurt éê mm»

tkémmêi^es purms , eU. FiUlHCOBVB .

* MAXIBfB (Saiht) , évéoue de Turin dans le 5« siècle , se signala d abord par ses prédications dans la Lombardic, puis assista comme éyéque au concile de Milan en 45 1 , sou'scriYÎt après saint Hilaire à celui de Rome (465) , et mouTfit peu après son retour à Tarin. Il reste de lui un grand nombre d'homélies , dont quelques-unes ont été attribuées à saiiit Ambroise , à saint Augustin, à Eusèbe d*Emèse, et insérées sons leurs noms dans la BihUothèqùedes Pèrêi, D^abord publiées par portions dans les . recueils de dom Mabillon , de dom Martène , etc. , ses CHUTES ont été recueillies par ordre de Pie VI, Rome, 1784, în^fol. On trouye sa vie, par un anonjrme, dans les Bollandistes au 25 juin.

. * MAXIME de Constantiiiople (Saint) , se distingua dans le 7« siècle par son zèle contre les monotbélites , qui lui firent souffrir dVflreuses persécutions , et le laissèrent mourir dans les fers en 662. U reste dç lui phisieurs ourrages, entre autres un Com' ptentaire sur saint Denis l'Aréùpagite, publié par le Père Combéfis, grec -latin, Paris, 1675, 2 Tol. in-fol. — Foj-ez VAtèaB.

* MAXIME (Flavius Amaus Pbtrorius) , empereur d*Occident , était d'une des plus illustres fiimilles de Rome. Conseiller d'Honorins k dix-neuf ans, intendant des finaAces à Tingt-cinq , deux fob préfet dltalie , deux fois consul (433 et 443) et patrice en 445 , il Bravait que quelques pas ^ faire pour arriver àVempire. L^ootrage fait par Valentinien III à sa femme Vy décida. Il commença par rendre suspect à son maître le célèbre Aétius; et quand cet babile général, depuis longtemps le seul soutien de Tempire , eut été sacrifié à de vaines calomnies , il fit assassiner Valentinien* Le lendemain on le proclama empereur. Il ne montra dans cette place qu'une désespérante incapacité. Du reste il ne jouit pas long-temps de sa nouvelle dignité. Ajant épousé Eudoxie , veuve de son prédécesseur , il eut Hmprudence de lui révéler qu'il était Fauteur du meurtre de Valentinien. Celle-ci, pour se venger, appela

Genséric en Italie ; Maxime , bon d'état de se défandre , songeait à fuir quand il fut lapidé par le peuple , le 12 juin 455*,il anit régné quatre mois. Paliadius , son fili , qu'il avait déclaré césar, subit probablemenl le même sort. M. Drap-Ai^iaud a donné en 1824 Maxime^ ou Borne délivrée ^ tragédie en 5 actes , Paris , in^*".

'^ MAXIME , en latin Magnus Maximut, empereur ou tjran dans les Gaules pendtnt le règne de Valentinien II, était Espagnol d'origine , et servit d'abord soos le génénl Tbéodose , père de Tempereur de ce nom.

n se distin gua surtout en Bretagne (368-373) , et quelques années après il fut nommé goavemeur de cette (le. Il ne songea d'abord qu'à soiwnettré les Écossais et les Pictei; mais l'élévation de Tbéodose à l'empire irrita sa jalousie , et il seQi lui-même prodamer en 38 1. Deux ans après il fraDchit la mer suivi d'une armée formidable, ft marcha sur Paris, où résidait Gratien, m des deux empereurs d'Occident. Cclui-d s'enfuit vers Lyon \ mais Andragatbius , ^' néral de Maxime , le poursuivit de prèsj et, s'étant emparé de sa personne , il le fit mourir aussitôt, Maxime envoya alors une dépotation à Tbéodose , lui demandant de Vissocier k Vempire. Le prince de Constantino^ y consentit , et le nomma auguste ) ^ I^ condition toutefois qu'il laisserait à Valcotinien l'Italie , l'Illyrique et l'Afrique, et se contenterait dea Gaules avec la Bretagne au Nord , et TEspagne au Sud. Maxime fixa »

résidence à Trêves, et il eût sans doute joci en paix de soq empire s'il n'eûf cédé an conseils de l'ambition. Aspirant k la possession de tout l'Occident, il passe les Alpe», arrive à Milan , et soumet toute la partie septentrionale de l'Italie presque sans tirer Tépée. Mais Valentinien s'était enfoi i Tbessalonique, et de là implorait les lecoin de Tbéodojse. Celui-ci , feignant de craindre sur ten« les forces de son rivsl « b^ ^ prépitratifs d'une armée navale. Mixbm* dupe de ce stratagème, embarque la mvcore partie de ses troupes. Aussitôt Tkèû»H précipite sa marelle, atteint son riial)k bat près d'Emone, et le force à s'enfeiatf dans ^cfuilée. Ses soldats se tQiii9èifft contre lui et le livrèrent pieds et poip|« ^ k Tbéodose, qui, dit-on, «dlaitld dfl»»

la vie quand 1^ multitude lui fit trancberb tête, 26 août 388. Victor, son fils, f»'^ avait associé i^ l'empurei sii^it k **»»* ^ quelques jQ^rs après.

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* MAXIME , philosophe , né à Ephèse , «t surnommé le Cpiique , fut uU des maltréâ de Julien , à qui il inspira la haide dn christianisme , et qui , devenu empereur , le combla d'honneurs et de biens , sans toutefois réussir & le fixer à sa cour. Pourvu de la charge de grand-pontife de Lydie (361 )> Maiime y fit preuve de justide et de modération. Comme le philosophe cynique était aus^i célèbre par son habileté dans la magie que pdr ses autres connaissances, et qtie l'incrédule lulien partageait ses idées , il ▼int le consultef Tannée suivante (362) sur son eipédition contre les Parthes. Maiime prédit des triomphes éclatants , ce qui eut lieu eti çffet , mais ce qui n^empécha pas que le prince victorieux ne fût blessé à mort eti 363. Maxirtie perdit alors sa place de grandpontife , et peu après (366) ayant été accusé d*après redit de Vatentînien contre les magico-sophistes , il subit de crddles tortures et eut la tête trandhée. On n':^ plus rien des divers ouvrages qu*il avait composés sur la philosophie et là rhétofiqUe. — Màximb d'Epire^ autre tnaitre de Julien , composa un poème grec de 610 vers àur les influences de la lune et des astres, inséré dans la Èihlio^ thèqué de FabricittS ( édition de Harles ) .

* MAXiMÊ-PtJPIEN ( N. Clodius Pupbmui MAxiMt7s ) , empereur romain avec Bafhin , était né dans une conditiop obscure , et parvint, des derniers postes de la milice , aux grades les ptuà importants. Nommé suc cessivement général , préteur ^ Consul ( Tan 227 de Jésus-Christ) , préfet de Rotne, gouverneur de la Grèce , de la Bithynie , de la Narbonnaise , il fut enfin élevé à Pempire avec BalbiU par le sénat. Les vcedx de Tarmée forcèrent les deux empereurs k s^adjof ndre le jeune Cordlen , Connu sous le nom de Gordien III {voyez Gordib» I*', 11,111). Ils songèrent ensuite à Combattre Maximin , dont la tyrannie avait décidé le sénat 2k cette vnestLte audacieuse f la mort inattendue de ratfurpateuf, égorgé dans Aquitée parles propres soldats, rendit fnatiles toas leurs préparatifs. L'autorité àes trois princes fut aforâ unanimement reconnue. Maxime profita du loisir que lui laissait la paix publique poat déformer les abus et faire quelques bonnes lois. Il prit ensuite Itf réitolotion de combattre \tt Parthes j ef if allait se rendre en Orient quand les soldats le masacrèrent, ai^sique'Balbin, pour laister régner seul Gordien If I ( 239 }. Maxime n'avait régné mx6 qQit^ itaoiè.

* MAXIMB de rjrr, philoiophe platonicien qui acquit utte très-grande réputation dtfns le 2» siècle, parcourut TArabie, la Phrygie et la Grèce, et fit un Voyagea Rome siyus Commode. On H** du reste aucun dé^ tail sur sa vie. Il reste de lui 41 Dùconhé ou Dissertations sur de» sujets philosophiqneâ.

Le style en est clair etagréablé^ Aes l^tiitcipes tout très-sageé. Maxime de Tyrfte distingue de ffes cotitemporains en ee qu'il ne prodi*^ gue pas Comme euji les allégories et lei mé* taphores: Parmi les éditions de ion ouvrage, on distingue Téditlon printepi , par H; B»^ tienne , 1557 , in-6«, avec tersion laiirie de Pazzi; celle d'Heinsins , Leyde, 1607 ,in-8«, avec traduction latine ; Celle de Londres , l740,in4o^etcellede Reîske, Leipiig, 1774, 2 vol. in^. M. Cotnbes-Dounousena doMiè une bonne traduction française, Paris, 1802, 2 vol. in-8o. — Il ne faut point confondre Maxime de Tyr avec un autre Maxihb (Claw dius Maximuê)^ philoiophe stoifden j maître de Marc>Aurèle.

* MAXIME, dit h Oreày moine du Mont- Atfaos , étudia les bellei-lettres à Paris et à Flotelice , et fut appelé à Moscou du cour meneèmeilt du 16* siècle par le grand-duc Basile Ivanovitsch pour mettre en ordre et analiser la riche collection de manuscrite grecs que possédait ce souverain , ee qu'il exécuta à la grande satlafaction de celui-ci. Chargé de la traduction en russe d'un PsùU- Uêr grec avec des commentaires , il remplit cette tftche trèspromptement , et entreprit ensuite , par ordre dn grand-dUc , et contre son gré, la révision et la correction des livres sacrés russes. Ce travail Toccupait de^mis neuf ans iorsqu'injustemeut accusé (en 1525) d'hérésie et d'autres Crimes, il fut enfermé dans un couvent où ii resta jusqu'à sa mort^ en 1536. Majûme a laissé , entre autres manuscrits, des Considérationâ'éur tutiiiié de ia grammaire^ dé ia rhééôrique et de Ut phi* * tosophie^ insérées dans la QrUMmaire russe de MeietitM'Smotritziii {vûfèi ce nottk).

« MAXIMIÊN HERCULE (Ma«c«s At/aatnrs Viiifiaius MixtMiirvs) , empereur rorain, fils d'un pauvre laboureur des environs de Sirmhnn, fut d'abord le compagnon d*aiL mes de Diocléiien , qui se Tassoda en 296.

n apporta dans son gonvemement toute la rudesse et la dtircté ({ont iln*atait pu petàte l'habitude an mifteu descanrps , et seinontra ainsi l'instrument docilé des f engeances (h son adroit cioifègue. Lorsque celui-ci abdiqua le pouYOfr (305), son esiemplè fut suiri

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par Mazimien» qui neifoitta la retraite où il vivait y au fond de la Lucanie , qa*aprèt la proclamation subite de ton fils Maxence (306). Opendant son extrême exigence ^ amena des altercations entre son (ils et lui ; il fut même chassé de Rome par les soldats; et, après avoir sollicité vainement Diodétien de rependre les rênes de Tempire, il alla chercher un refuge à la cour de Constantin, son gendre , dont bientôt il corrompit 1er troupes dans la Gaule narbonnaise pour se faire proclamer empereur, liab Constantin s'étant mit ai marche contre lui à cette nouvelle , il s'enferma dans Marseille, où bientôt, livré par les soldats révoltés , il fut réduit à se donner la mort Tan 3 10. Maximien, qui fut Tun des plus ardents persécuteurs des chrétiens , est peint sous des couleurs peu favorables par les anciens historiens de cette crojance. — Voyez G^iiRB.

*MAXIMILI£N 1er, empereur d'AUemagne, archiduc d'Autriche, né en 1459 de "Frédéric III et d*£léonore de Portugal, fut nommé roi des Romains en 14B6 , se sij^nala tout d'abord contre les Français , et monta sur le trône impérial en 1493 après la mort de son père. Heureux et fier d'avoir arraché au roi de France la Franche-0>mté en pure souveraineté, T Artois, le CharolaisetNogent à condition d'hommage , il se ligua avec le pape et plusieurs autres princes poHr chasser Charles VIII du rojaume de Naples : mais les Français , au nombre de huit mille, bat^ tirent à Fomoue l'armée des alliés , forte de 40,000 hommes. Engagé ensuite dans une lutte contre les Suisses , il ne put s'opposer à l'invasion de Louis XII en Italie. La ligue de Cambrai s'étant formée en 1508. Maximilien se bAta d'j entrer , et ses troupes s'avancèrent dans le Frioul , s'emparèrent de Trieste , mais furent forcées de lever 1« siège de Padoue. Il s'unit ensuite avec la France contre Venise , puis avec l'Espagne et le pape contre la France. Il ménageait cependant le pontife romain pour être son coacQuteur au pontificat; et vojant que ses espérances étaient vaines , il prit la résolutif bizarre de se faire élire pape & sa place,et ne réussit pas mieux. Sa haine pour la France fut telle , qu'il consentit en 1515 à jervir comme volonlaire au siège de Térouane sous les ordres de Hemi VIII. Ses demîert efforts contre la nation qu'il détestait eurent pour but de s'emparer du Milanez.

Mais les 15,(XX) Suisses qu'il avait avec lui , et qull ne payait pas, se mutinèrent et le

forcèrent de s*enfuir pour n'être pu Uvié à ses ennemis. Il mourut peu de tempi spcis à Inspruck , en 1519, d'une Indigeftion. Ce prince , qui eut si peu de grandes qoalitèi, rendit toutefob un service important l X^ fhanité en abolissant ai 1512 la joridictMQ barbare et redoutable connue soos le noa latin de Judicium occultian fFittphaUa et sous celui de GthmM'Gerichttaûkmi^Vi a laissé quelques ;H>Àief et deAmisîotrtlso sa vie , dont il a d'ailleurs consigné lei événements remarquables dans nnromsB historique, sous le litre de Thetterdandifi^mm berg, l5l7,in-fbL, Augsbourg, I519,in-fi)lio. D.-H. Hegewisch a écrit eu allemand THûtôirê du règne deMaximiUen /•% Hamboiiig, 1782, deux parties in-8".

* MAXIMILIEN II , empereur d'Aflemgne, fib de l'empereur Ferdinand I*', ai à Vienne en 1527 , fut élu roi des Romaines 1558^ se fit élire roi de Hongrie et de Bohême 9 et succéda à l'empereur , so& pète.

en 1564. Il laissa prendre Zigeth parb Turks , se trouva en position de monter iir le trône de Pologne , vacant par la mort de Sigismond II , et fut asses négligent povse pas même se donner la peine d'en faiieli demande. Il mourut à Ratisbonne en 1576, après avoir régné douie ans avec une bootc et une douceur qui inspirèrent moins de rt connaissance que son administration faiUe et inconstante n'avait excité de mnrmnmd de railleries. La postérité néanmoint lo tiendra compte de n'avoir pas cm dereir réduire les protestants parlavoiedeiaine», et d'avoir «Ût cette parole mémorable poer le temps. « Que ce n'est point en rougiîsflt les autels du sang hérétique qu'on peutbo* norer le père commun des hommes. •

* BfAXIMILIEN JOS£Pfl,roideBiTim, né en 1756, mort en 1825, avait été ra»e>sivement, avant de succéder au prince CL- Théodore, son oncle, cpmme électesrtie Bavière , (1799) , colonel du régiment diisace au service de France, puis duc deDnn- PonU par la mort de son frèreCbaietlI (1795). Aarié deux fois , tt eut dn ptwer lit deux fils, Louis (né ai 1786 à Sfrv bourg) , aujourd'hui régnant , k }p»

Charies^ et deux filles, dont rahiée,liFOB' cesse Auguste, épousa le vice-roi dltife Eugène Beauhamais , etc. Du leooad fit Maxinoilien-Joseph eut cinq princeties,^ les deux aînées , jumelles, ont épowè, Foie le prince rojral de Prusse , l'autre le frm rojral de Saxe. Après s'être montiéipir

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