RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS

( Analyse. ) Étant donnée une équation ^ réduite à sa forme la plus simple , dont

tous les coefficients sont des nombres entiers connus , positifs ou négatifs,

*jc« -4- ^x*— « -I- çr«^ -^ . . . . -»- Ix -h B =0 ;

il s*agit d*exposer les procédés qui donnent les valeurs de l'inconnue x, propres \ satisfaire à réquation. Nous distinguerons ici trois cas , selon que les racines sont rationnelles , incommensurables ou imaginaires ; seulement , comiue ces dernières ne sont presque jamais d'aucune utilité , nous ne nous en occuperons pas.

I. Racines eommensurahles. Représentons la proposée par Jir=r o ; soit a une racine entière 5 A" sera exactement divisible par jr— « ( voyez Équatiov ) ; si on multiplie fns—a le quotient

Ayt«»— « -f-p'x»"- • -f-^'x*— 5. ... H- l'x-f tt'

le produit devra redonner identiquement X , savoir :

X=Ax«-f-^'x«->-h^'x«*-«.... -♦-«'x — Aoji"»— « — ap'xm-^* , . ». — mt'x—au'

égalant donc les coefficients des méuMS puissances de X'de part et d'autre , nous anrons ces m équations

p=p' — ak^q^q'^^p'.,, f=w' — <it',tt=— «fc', d'où Ton tire w', «'.... eu ordre rétrpgradc:

, tt , /— tt' , s-r

-«' = -,-.'=—,-,'= -etc.,

Or, on sait d^ailleurs que si les coefficients de la proposée sont des nombres entim, ceux du quotient doivent être avssi entkn; d'où Ton voit que pour que le nombre entier a, pris à volonté, jouisse de la propriété Je satisfaire à l'équation Aoo, il faut qu'il (Kvise tt, « — m', s *—£',.... et qu'enfin le q«op ^^ pf , ,

tient ^ soit précisément le coefliaenl k

du premier terme en signe contraire.

Ainsi, on devra faire subir celte suite d*^ preuves à tout entier a qu'on suppose»

pouvoir être racine de A"=so. Il ne faudra donc essayer, comme racine entière a de »

proposée, que les diviseurs exacts du dernier terme «; on aura un quotient entier — a»

qui, ajouté à t, donnera t — u'. Cette différence devra pareillement élre divisible par*; de même s— j' devra être multiple de «, «te.

En6n, lorsqu'on aura successivement tron?é des quotients entiers , en dif isant par a 1* somme de chaque coefficient augmenté do quotient précédent , et qu'on sera arrivé â«

RÉSO (415) RÉSO

^teond^oofl&àent p, il faudra qoe le qno- 4...^. ......-♦- 3

tient soit — k. Tout diviseur de u qui s&tis- quotient.... — 1

fera à ces conditions, sera une racine en- Comme ± 1 divise tous les entiers, on ne licre de la proposée ; les nombres qui ne soumet pas ces râleurs de a aux épreuves rempliront pas Tune d'entre aies , ne ne- indiquées , parce que ce ne serait qu'au ront pas racine. terme des calculs qu'on serait assuré qu'elles

Observez que les quotients entiers suc- "« conviennent pas; on préfère substituer cessifs qu'on obtient, loi*sqû'orf essaie la -♦- 1 à ^ dans la proposée, ou la diviser racine u , sont précisément les coeffi- par a: ± 1.

^- , , ^, . f . . , X On prouve aisément que si le premier

cienU «,«...,;,, A, du quotient de^-;, terme A.t« a lunité pour coefficient, aucun pris en signes contraires; et que ce quo- "ombre fractionnaire ne peut être racine tient, égalé h zéro, a pour racines toutes les ^® '® proposée : s'il existe alors des racines autres racines de X = o. réelles , elles ne peuvent éJre qu'entières

Pour montrer, sur nu exemple , Tappli- o" Jnconiïnensurablcs , et on trouve les precation de ce théorème , prenons réquatiou '"'*^*'<^'^» ^^3"« 'ous les cas , par la méthode a:* — 4x» — iOx* — 12x— 54= o. Comme P^^^c^denle. Mais siAn'est pas = l,en pôle dernier terme 54 == 2. 3', ou troiive nu*» ». ^ 1 » r X 1 » , .. . - « ^ 1 ' umnccjiie gjuj af=--, la transformée en rna plu» les dmseurs sont 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 et 54: ^ ^ *

tels sont les nombres qui, pris en + et en pour ^^ que le coefficient 1, les autres

peuvent seuls être racines entières de la coefficients étant toujours entiers; donc proposée; ce sont donc 16 diviseurs qn'il *^*^*'® transformation rend entières les rafaut essayer tour à tour. Il est vrai que ""'^^ H"' étaient fractionnaires. On trouve parla théorie des limites des racines , on a»"*^"»<ï"*ïesp''<ï°îî^»'Ps»<î'oii l'on tire ensuite sait qnexesléompris^entre — 5etH-8*ce '^* autres : on sait donc toujours ttf'ouvicr qui diminue le nombre des essais. ^^^ racines, soit entières , soit fracfionnai-

- Prenons le diviseur H- 6; comme its , des équations.

54 If. Racines incommenswabUx. Div'erses

/. = — 9, ' méthodes ont été proposées pour trouver

ces racines par Newton , La Gnmge , Ber-

il faut ajouter ce quotient au coefficient — 12, nouUi , etc. ; mais il n'/ a que c^elle de La

ce qui donne — 21, non divisible par 6; Grange qu'on puisse considérer comme

donc 6 n'est point racine delà proposée. exaôte , et jamais en défaut Nous ne l'ex-

Essajons — 3. Voici la série àe% calcWs : poserons cependant pas ici , parce qu'il faut

__54 g avouer qu'elle n'est pas usuelle, attendu

— — «=-l-18,-*-18— 12=-f-6,— -=— 2^ quelle donne lîeu à des calculs si compli-

* 21 ^ *!*■** ' q« on peut les regarder comme absï>-

— 2 — 19= — 21,— - =^7,-f-7 — 4sa Jument impraticables. Cette méthode n'est

donc bonne qu'en théorie ; et lorsq u'on en -H 3 , ^ = — 1 coeffident de x en signe ^^"* ^*""' " trouver les racines numériques, 7~ ^ c'est toujours à celle de Newton qu'où a re-

contraire. court, parce que, si qette méthode est quel-

Donc — 3 est racine de la proposée ; et , floe^o" «° défaut , cela n'arrive que dans prenant les quotients successifs en signes ^^* ^"^ très-rares , et elle donne lieu à des contraires , le quotient de la proposée divi- <^'«"'* très-faciles. Voici en qi oi consiste la sée par 3r-i-3, est *»-7x»-^2x— 18=o. On ^^^^^^ de Newton.

a coutume de ranger les calculs comme on Reprenons réqnation proposée X=zo, et

le voit ici ; l'astérisque répond à un quotient *" pposon» q«e, par un procédé quelconque,

fractionnaire. ^^ *®'*' parvenu à connaître une partie >ap-

__ •> a o prochée d'une des racines ; pour pousser l'ap-

«-...— 2,— 3,-f-2,-f- 3,-4- 6 proximation plus loin , soit r la correction

quot,enU...+27,H-l8^27 -18,- 9 ^e i doit subir, en sorte qu'on ait x =i.^r\

l-^...4-l^ -*- 6,— 39 —30— 21 x% substitution donne une équation de celle

quotienU... • - 2 • -10, * f^,„e .

quotienU -h 7 , ♦ X-t-X'7:-+.X'"^-4-....-»-j^'»» = o;

Digiti2ed by

KÉSO

aéso

mais comme on supposej^ Irès-pellt, les puissances supérieures de j^ sont négligeables,

et l'on a, k fort peu près, y"=- — ^,i

Ai"» -4- f>i « - « -f-. . . . -4- a -4- a

T7n quotient détermine donc la correction 7* et la racine x=X-t-^. Il ne faudra .

même pas prendre cette fraction exactement, puisque le nombre^- n'est qu^approché. En appelant V le nouveau nombre voisin de la racine x^ ou obtiendra de môme une autre correction y' beaucoup plus petite que la première , et ainsi de suite Ces principes sont conformes à ceux qui ontétc développés au mot Appboxiuation.

Mais comment trouver la première valeur approchée A ? On se sert de ce théorème :

lorsaue deux nombres x =i -^ , x z= $ , pris à volonté , et substUués pour x dans le po' (jrnome X, conduisit à des nombres de, signes contraires , il j- a nécessairement un nombre impair de racines comprises entre 9 et 0, En effet, soient P les termes positifii , et N les négatifs de X, savoir X=: P — A'^; on admet , par exemple , que

X =^1; donne le signe H-, ou.P > N x=^$ donne le signe — , ou P <^ N , p. est faciliç de voir que si Ton passe par une suite de substitutions de nombres croissant insensiblement depuis ifjusqu'à ^, les ré'sultat^ varieront aussi par degrés aussi rappro* cbés qu'on voudra; et puisque/', qui était > iV , est devenu < N, il faut bien que quelque valeur intermédiaire de x ait donné i' r=s A", c'est-à-dire, soit racinetle réquatioU P — iV = o, ouX = b. L^eiislence d^une racine entre ij et ^ est donc prouvée.

Mais comme P pourrait éprouver des accroissements, tantùt'plus ^ tantôt moins rapides , par rapport à N, il se peut que , de 4 hS ^ P ail été plusieurs fois = N. Pour nous en assurer , supposons que x=za , eix^szb, soient deux racines intermédiaires. 11 a élé démontré, au mot Éçuàtion , qu'alors la proposée est divisU>k par x — a et par ar — ô; ainsi X =: (x — a) {x — i)Q, Q étant le pol jnome-quotient du degré m — 2. Mais en faisant x=z^et=z$,attb sont supposés intermédiaires , et les facteurs x — actx — b, sont tous deux positifs dans un cas, et négatifs dansTautre; leur produit a donc le signe -H. Et puisqu'on admet que A" change designé, il faut bien que Q en

change aussi. Q = o a donc au moins me racine entrer et $. Cela prouve que s'il y a plus d'une racine entre 9 et ^, il ne peut pu y en avoir deux seulement; il faut qu'il eo existe une troisième. On verra de même que, si Ton en admet quatre , il faut qu^iljen ait une cinquième. Ainsi, le nombre des racines entre ^ et ^ est toujours l, 3, 5...

D'après cela , on voit que, pour trouver h partie approchée > de Tune' des racines, il faut adopter un système de substitoliou successives assez rapprochées pour qu'entre deux nombres consécutifs il ne se troaTe qu'une seule racine au plus. Lorsque les résultats auront même signe , il n'y aura pas de racine comprise entre les nombres sabtitués; il n'y en aura qu'une seule quand les résultats seront désignes contraires. On peut donc non-seulement obtenir des premières approximations par cette voie , mais mèoie resserrer tant qu'on veut rintervallc, c'està-dire , approcher indéBniment des racines.

La méthode de Newton est un moyen facile de pousser cette approximation.

On remarquera que tout se réduit àmoir combiner les substitutions successives!, (1 de manière qu'il ne tombe qu'une racbcentre ces deux nombres. Or , c'est précisément ce qui constitue la diiBcultc de 1^ matière, difficulté à laquelle on pare d'une maoièie complète par l'usage de l'éçuationeucsni des différences. Mais , comme nous larons dit ,1a recherche de cette équatioo, q^U Gnmge a proposée le premier, conduit à d« calculs inexécutables. Ou se borne donc i des tâtonnements qui laissent le sujet dans une sorte de doute, parce qu'on n^t jamais certain s'il n'existe pas de racines imaginaires qui s'opposent à cfe qu*on rende les r^ sultats de signes contraires. Au reste, noos devons ajouter que la diflicuUc dont nous parlons ici n'existe que dans le cas où la proposée a des racines réelles très voisin»

l'une de l'autre , parce qu'il est alors embarrassant de les séparer par un nombre intermédiaire. ( f^oyez sur ce sujet mon Coon de mathématiques pures, l'algèbre de M. L*" croix, celle de M. Bourdon , etc., et principalement le traité de La Grange, intitnie Résolution numérique des équations. )

Quand l'équation X = o a des /««»«« égales y la méthode précédente ne peut être appliquée; mais il est toujours aisé de connaître ces racines avant tout. En effet , si ^^ quation peut être mise sous la forme X=(:c-fl)»(x--à)P (x— c)(x-«0- •=*'

RESP