II. Les rapports simples fEuler

Selon la théorie pythagoricienne, la nature ne compte que jusqu'à trois. Pour d'autres elle compte jusqu'à cinq, et même bien au delà, sans autres limites plus précises que les degrés de simplicité des nombres ou des rapports numériques représentant les intervalles sonores ('j.

C'est Euler qui a donné à cette doctrine sa forme classique. Empruntant à Leibniz'les principes de sa philosophie, il a construit à côté et au-dessus de la physique des sons toute une « métaphysique » des nombres simples (').

Sa méthode est toute déductive. Le point de départ, c'est ce principe que la beauté naît de l'agrément, qui est un sentiment confus de la perfection ou de l'ordre : telle est cette curieuse jux-

Ijrassanl dans sa géiiéralilé le passé el l'avenir de cel arl-science, donl l'oljjcl esl de corporifier l'inlellir/ence dans les sons, selon la profonde définilion qu'en a donnée le plnlosoplie slave Hoëné ^^'ronski » (G. Durulle, Résumé de la technie, p. 17, n. ; 329, etc.). Le niérile principal de la théorie esl de « relier en un seul faisceau non seulement tous les accords connus, mais encore tous les accords possibles » (!) [A. Prost, Notice sin- le coinle C. Durulle, Metz, 1884, p. XX). Mêmes naïvetés un peu partout ; V. Paillard-Fernel, l. c, p. 183, etc.

(') « Très esse dumtaxat numéros sonores 2, 3 et 5 » (Descartes, Conipemlium musicœ, 1618, chap. De octava). Mersenne a pensé pourtant déjà que l'habitude pourrait amener plus tard l'usasse des rapports septénaires [Harmonie universelle. 1636, 1. I, p. 58j.

(') L. Euleri, Tenlamen novae théorise musicœ ex cerlissimis hannoniae principiis, Saint-Pétersbourg, 1739, préf., p. 11, etc. D'Alemberl remonte de même, pour expliquer Un nouveau sijslè me de musique, celui de Sauveur, à la « métaphisique des agrémens » [Histoire acud. sciences, Paris, 1701, 2'" édit., 1719,

THEORIE DE^ RAPPORTS SIMPLES 4o

laposilion du sensualisme et de rintellectualisme, qui caraclérise reslhélique des Cartésiens. Si nous concevons que Tordre peut toujours avoir une expression numérique, nous aurons de quoi construire sur ces principes très simples une conception générale de l'art, dont la théorie de la musique ne sera qu'un des cas particuliers, il sulTit de savoir que dans le domaine sonore, l'ordre est perçu, et non aperçu, c'est-à-dire, selon le langage de Leibniz, qu'il y est inconscient ou subconscieni, alors qu'il est conscient par exemple dans le ryllime des danses. D'ailleurs entre ces diverses formes, comme entre tous les arts, comme en toutes choses, il ne peul y avoir que des différences de degrés : « La nature ne lait pas de sauts » (' ).

Euler adopte une convention initiale d'où découlent tous les degrés d'agrément qui sont en musique les degrés de la consonance. On prend le plus petit commun mulliple de tous les nombres de vibrations des sons considérés : c'est « l'exposant de la consonance » ; on fait la somme de ses facteurs premiers; on en retranche autant d'unités qu'il y a de facteurs premiers moins un. Le résultat est le degré de simplicité, d'agrément ou de consonance que l'on cherche (-).

Celte convention est à première vue fort arbitraire. Le choix d'Euler a été heureux sans doute, car IlelmhoUz reconnaît dans ses déductions « une foule de propriétés surprenantes parfaitement exactes ». Il en lire en effet une table des consonances relativement satisfaisante, une théorie des modes, des genres d'intervalles, des modulations, et même un moyen d'en multiplier lationnellement le nombre ('). Certaines de ses déductions sont d'une vérité surprenante, et plus même que ne le croit Helmholtz : le calcul d'Euler montre immédiatement par exemple que l'accord parfait mineur consonne au même degré que le majeur; ce

(') Ces principes relcvent en propre soit île la métaphysique Euler, /. c, pré!"., p. 12), soit (le l'observation de soi-même (chap. Il, § 7; 13). Le rythme conscient ne compte que jusqu'à 3 : voilà la ditTérence essentielle fpréf., p. 15: chap. 111, S 11 et s.].

^^) Chap. Il, § 21 et s. — P. ex., le rang de l'accord parfait majeur 4/5/6 (l'acleurs premiers 2S 3, 5), est 9 (2 et 2, ou 2 -f 2 — 1 = 3; 3 et 3, ou 3 + 3 — 1 = 5; 5 et 5, ou 5 -f 5 — 1 =^=9). L'accord mineur 10/12/15, comprenant les mêmes facteurs premiers 2', 3, 5, est du même rang- = 0.

n Chap. IV, § 31; V, 27-8: — Préf., p. 17; chap. IV-YI, IX, XI-XIV. Helmholtz, /. c, p. 298. Remarquons que, depuis Zarlino, la même idée du progrès avait amené Mersenne et Rameau à conclure à la réduction du nombre des modes à 2 (malgré la tradition et la pratique de l'octocorde ou du dodécacorde), et point du tout à leur multiplication progressive.

46 LA MATIIÉMATIQUK MUSICALE

qu'une simple inspeclion des nombres ou la considéralion des harmoniques et battements a fait méconnaître, par Helmholtz notamment, malgré le témoignage de la pratique moderne.

Mais cette application n'est exacte, d'ailleurs en partie seulement, qu'à la condition d'être très indéterminée. Il n'y a d'abord aucune raison pour qu'elle soit particulière à la musique : nous avons là un tableau de la faculté même de percevoir^ utile à ^> tous les arts et toutes les disciplines qui ont pour objet la beauté » ('). Cependant les rapports simples des vibrations des couleurs, par exemple, ne sont nullement agréables selon les mêmes lois que ceux des sons, et Ton ne voit pas bien que le rôle des cinq premiers nombres soit privilégié dans l'architecture comme dans la musique. La loi des nombres simples régit-elle la chimie et même toute la nature, comme le font remarquer certains modernes? Mais alors elle n"a plus rien de spécifique à l'art !

L'application de celle convention est elle du moins déterminée dans le domaine musical ? Mais la logique abstraite des mathématiques produit des déductions dangereusement erronées. Les plus importantes de ces erreurs portent sur les degrés de la consonance, et en particulier sur les extrêmes : le plus haut, et les plus bas.

Les calculs d'Euler fournissent en effet une table des consonances relativement exacte. Mais il faut savoir ou vouloir l'extraire. Car. de par la puissance des exposants, un nombre rigoureusement indéfini de degrés sont déclarés égaux, qui ne peuvent l'être en fait. De façon générale, c'est une énormité de comparer le degré de la consonance d'accords dont l'un peut n'avoir que deux sons et l'autre trois, quatre, ou un nombre indéfini : car physiquement et psychologiquement, il y a entre eux une différence qualitative irréductible. Ces conséquences mathématiques sont des erreurs musicales, ou plutôt elles n'ont aucun sens musical i*).

D'autre part, les degrés de la simplicité numérique sont évidemment indéfinis. Mais ceux de la consonance ne le sont pas : il y a opposition entre elle et la dissonance. Or, le calcul d'Euler met dans la même classe, avec la première dissonance caractéri-

(') Chap. Il, ,§ 35. " Les règles que nous avons données sur la facilité de la perception ont^une très vaste portée et ne souffrent aucune exception » !chap. V, § 7).

(-) P. ex. sont du même rang : la douzième 13 et la triple octave 1/2/4; les quintes et tierces espacées 1/5,1/3/9, et la quadruple octave 1/2/4/8/16. L'intervalle 1/7, tenu d'ordinaire pour non-musical, consonne au 7« degré comme la sixte 3/5. la tierce 4/5, ou l'accord dissonant 1/3/5/15! — Cpr. cliap. IV, § 11 et 31.

risée, le I(Mi, les rapporls consoiiaiils de tierce et de sixte mineures : à ragrénient il n'y a point pour lui de limite assignable i ').

Kntln il est sans doute vrai que l'exposant 0, par exemple, se « conçoit » plus facilement dans l'ensemble des rapporls » complets » 1/2 .'ro que dans l'expression abrégée l/G : ne pas omettre d'intermédiaires dans une série de rapports liés par une intuition indivisible ou une déduction essentiellement continue, n'est-ce pas une des principales règles de la méthode de Descartes? Mais, dans le concret, c'est la consonance la plus coQiplète qui est « perçue » le moins distinctement, parce que, si elle fusionne au même degré que les autres, la dispersion de l'attention fait qu'elle sanalyse moins bien. Mais comment un système selon lequel l'addition d'une octave doit produire le même effet que celle de deux quintes, donnerait-il une just(î idée du rôle tout spécial de la première des consonances (*i?

Quand la pratique l'oblige à choisir parmi des conséquences toutes également valai)Ies, Eiiler, tout comme les Pythagoriciens, ne décide qu'en vertu de raisons arbitraires et nullement déduclives ou mathématiques.

Ce n'est point quelque considération mathématique, mais les « convenances de la pratique moderne », qui lui font préférer, parmi tant d'autres, le genre « diatonique-chromatique ». C'est « l'obligation de considérer aussi l'ensemble de la théorie de la composition », c'est-à-dire sans doute les fonctions tonales concrètes, qui explique le caractère ambigu de la quarte. Il y a une grave différence entre la perception des rapports simultanés et successifs : ceux-ci peuvent et même doivent supporter une plus grande complexité; les basses ont un rôle privilégié dans l'harmonie : leurs rapports doivent s'ajouter à ceux des consonances dans la détermination des successions sonores. Outre leur rapport, le nombre absolu des vibrations entre nécessairement en considération, puisqu'au delà de certaines limites empiriques,

(') Huitième degré : 8/9, 5/6, 5/8, etc. (ctiap. IV, S 14). La dissonance de seconde apparaît même, si l'on néglige les octaves (conformément à la pratique, et aux « lois de la fusion » de Stumpf), dès le cinquième degré : 1/9, avec 1/5, 3/4, 1/16 (!)

(-) V. Descaries, Regidœ ad direclionem ingenii, Heg. Vl-VIf. — La pratiquo excluant jusleinent, en fait, les formes « complètes <> des accords, Euler l'en excuse par la difficulté d'accorder lous les inslrumenls et l'impossibilité de percevoir les sons extrêmes (chap. IV, §32). Quant à l'octave, elle doit parcourir, en se redoublant, lous les degrés de la consonance et de la dissonance ! Ptolémée, le premier, a consacré définitivement la règle contraire : aussi Euler lui reproche-l-il cette vérité! (chap. IV. § 18).

48 LA MATHÉMATIOLE MUSICALE

elles ne sont pins perçues comme sons. Voilà autant d'emprunts cachés à l'expérience, et de dérogations aux nialhématiques (').

Indéterminée dans ses résultats, la théorie des nombres simples n'est pas, ne peut pas être exacte dans ses applications. En effet la simplicité absolue n'est jamais réalisée dans la nature, ni même dans l'art; toujours une légère déviation vient altérer les applications du calcul. ()r ce sont les altérations physiques les plus minimes qui créent les rapports arithmétiques les plus compliqués. Si la relation d'octave 200 100 est très simple, le rapport :200/101 est très complexe. La différence ne sera pourtant pas remarquée : infiniment moins à coup sur que le passage à la relation beaucoup plus simple 300 100. Ce n'est donc pas la simplicité mathématique du rapport qui délinissait sa consonance.

Cependant cette critique, devenue banale, reste toute négative. Les Leibniziens auraient beau jeu à répondre que précisément la confusion enveloppe et même implique la contradiction; et qu'un rapport, pour être musical et même en général pour être esthétique, doit être perçu confusément et non aperçu clairement. Il est donc de son essence de pouvoir contenir des déviations inaperçues. Mais sous une forme plus moderne et plus positive, l'objection est sans réplique. En fait le rapport « faussé » par une augmentation légère : 201/100, n'est pas seulement toléré, il est toujours préféré, ou même exi(jé par l'oreille. Ces déviations régulières supposent une cause régulière, c'est-à-dire l'intervention de facteurs plus complexes, sans doute physiologiques ou psychologiques, et que la théorie abstraite ne veut pas, ne peut pas connaître.

Tandis que ce qui frappe dans la théorie pythagoricienne, c'est l'exactitude de certaines applications, ici c'est l'inexactitude. Or, elle n'effleure pas seulement quelques détails superficiels : l'étude du tempérament et des rapports de l'harmonie avec la mélodie montrera qu'elle atteint le principe même de la doctrine. <* Ce n'est pas l'idée de la musique qui entre en conflit avec la pratique artistique ; c'est au contraire la divergence de la pratique par rapport à la théorie mathématique et physique, qui est un élément constitutif, une partie intégrante et nécessaire de l'idée de la musique » i *).

Ce mélange confus de vérités et d'erreurs dans la doctrine

(') Préf., p. 19: cliap. IX, XI; iV, § 15; V, § 3 et s., § 9; II, § 20. {^^ P. Moos, /. c. (à propos de l'éclectique G. Engel\ p. 264. V. plus bas, pari. IV, chap. I.

(1 Euler résulte entin du caractère tout conventionnel de sa for- •nule mathématique : comme toute hypothèse trop abstraite, elle donne indifféremment le vrai et le faux ; et c'est à l'expérience ,di> laire le départ. Le prestige de cette méthode, en apparence toute mathématique, fait illusion sur sa véritable valeur : Euler est en réalité comme philosophe dans le même embarras que Spinoza, qui de l'idée de Dieu prétend déduire le monde, et plus spécialement notre monde. Comme savant, il est dans la situation de tous les physiciens, qui ne déduisent pas, mais construisent leur science sur des propositions mathématiques, d'après les suggestions de l'expérience. Le prétendu développement mathématique et déductif de leurs principes n'en peut être que Vanalijsr; et c'est, à chaque pas en avant, l'admission de nouvelles conventions nécessairement expérimentales qui fait la synthèse, c'est-àdire qui produit tous les progrès de la pensée (').

ElTectivement, l'établissement de la formule d'Euler nest rien moins que déductif malgré l'apparence. A l'examiner de près on s'aperçoit qu'il ne suppose pas moins de huit conventions successives, qui sont autant de solutions de continuité dans la série des déductions, autant de pas en avant faits dans le domaine de l'expérience ou de la convention. Ce sont d'abord des évidences, qui sont gratuites et que leur simplicité seule suggère ('). Ce sont ensuite des conventions ou délinilions, qui sont arbitraires et que d'autres pourraient fort bien remplacer {"j. Quelques-unes sont même directement contraires aux conventions reçues dans la malhématique abstraite : par exemple la définition fondamentale du plus petit counnun multiple ('). Ce sont enfin des analogies; elles sont tantôt d'ordre mathématique : entre les propriétés d'une progression donnée et celles d'une progression de base différente,

' V. p. ex. H. Poincaré, La science et V hypothèse, 19(32; P.Duheni, La l/iéorie p/iysique, 1906, etc.

(-) « Non est dubium », chap. Il, § 21; " manifeslum est », § 24.

[") " Facimus .., chap. II, § 22, 2.3; « licebit, licet », § 24, 25. — Ainsi celte convention générale qu'on peut dégager : quand les rapports sont en proportion géométrique, les degrés sont en proportion arithmétique. Ou celle qui fait de l'unisson 1/1 la première « consonance », c'est-à-dire de la puissance 0, l'unité de la progression de base 1/2.

'*] " Il y a plusieurs manières de le trouver ; et celle-ci est celle qui présentera la plus grande utilité pour notre but » (chap. II, § 32). P. e\., si p, q, r, s, désignent des nombres premiers représentant des vibrations, l'accord ilpi'/qrjps a pour degré celui de p q 7' s, et non celui de p' r^ q s, que semblent indiquer les règles reçues en arithmétique (chap. II, § 29).

Lalo 4

oO LA MATHÉMATIQUE MUSICALE ,

ce qui est un scandale pour le malhématicien ('), en même temps ( qu'une proposition contestable pour le psycho-physicien [^) ; tantôt d'ordre psychologique : à savoir des appels ii l'induction ou à une expérience d'ailleurs grossière, comme la comparaison des consonances avec des figures tracées >").

Ainsi le vice capital de la doctrine et qui semble avoir entraîné tous les autres, c'est l'indétermination, c'est-à-dire l'abstraction qui s'ignore comme telle et veut s'appliquer directement aux faits concrets d'un ordre supérieur et spécifique.

Il fallait bien que de toutes les conventions numériques possibles, l'une fût plus près de la réalité que les autres. Euler a choisi celle qui lui a paru la plus exacte (*). Et il s'est accommodé d'elle, de façon à la faire réussir à tout prix : avec les mathématiques et au besoin contre elles. Aurait-il mieux réussi avec une autre? car une infinité en sont possibles. Mais cette impuissance des systèmes abstraits dépend non des systèmes, mais de leur abstraction. Elle est donc définitive.

Vnt méthode en apparence toute différente, puisqu'elle se présente comme purement expérimentale, a conduit de nos jours à des résultats assez voisins, ce qui ferait volontiers soupçonner que la même superstition des nombres simples a du persister à la base des expériences elles-mêmes.

Max Meyer croit remarquer qu'en fait la conclusion d'une, mélodie doit obéir à deux conditions pour être jugée satisfaisante.

La première est psychologique : c'est « l'effet de l'inflexion des-

(') Cliap. II, § 25 : le degré m de ijpq surpasse le degré de i/p de la même quantité que le degré de [/p surpasse celui de 1/1 ; donc m — p = 5 — l ei m = /) -f g — 1 : V. § 26-7-8: chap. IV, § 65.

(-) « J'ai adopté par préférence celte distribution des degrés, d'autant mieux qu'ils présentent un progrès égal dans la facilité de la perception... Mais, entre eux, je n'admets pas l'interposition de degrés intermédiaires, où n serait un nombre fractionnaire, parce que, dans ce cas, le rapport est irrationnel, et, par suite, non perceptible » (chap. II, § 23; v. 24, etc.). Sur la question de légalité et de l'addition des états de conscience, v. p. ex. H. Bergson, Données immédiates de la conscience, part. I; M. Foucault, La psychopliysique, 1901, p. 267 et s.

(') « Licebit statuere aliquid ex inductione » (chap. II. S 24'. Un sait que pour Euler il y a un minimum d'expérience à la base des mathématiques pures ellesmêmes. Voici quelques-unes des figures invoquées (chap. II, § 22) : 1/1 ( ), 2/1

,:.:.:.), 3/1 (:..:..:), 4/1 (:...:...:..), etc.

(') Descartes a été moins heureux en définissant, sans doute sous l'empire de suggestions historiques, l'agrément par la proportion arithmétique comme 2, 3,, 4;, à l'exclusion des rapports géométriques et incommensurables (comme 2, \/~^^ 4). (Compendium, § 2; v. E. Mercadier, Les théories inusicales de Descaries, Rev. d'hist. et de crit. mus., 1901, p. 135; A. Pirro, Descartes et la 7nusique. 1907 '.

ol

cendanle », agissant comme une rémission de l'allenlion ou de l'activilé mentale, que le mouvement ascendant exalte au contraire. Le cours d'une mélodie est ainsi une alternative d'excitations et de relâchements de l'attention; et, sauf exceptions intentionnelles, il ne peut (inir normalement que par un repos.

La deuxième loi, celle de « l'effet de tonique », est « d'ordre acoustique ». Elle décrète que ce mouvement et ce repos se réalisent par le passage d'un son qui n'est pas représentable par 2 ou 2", au son 2 ou à l'une de ses puissances, qui seuls sont des notes de repos, ou « toniques » (').

Toutes les autres explications proposées, par exemple le passage d'un son harmonique au fondamental, ne sont que des cas particuliers et superficiels de ces deux lois essentielles (^).

En fait, « l'échelle musicale complète est représentée par les séries infinies de tous les composés des puissances de 2, 3, o et 7 ». On peut constater que toutes les puissances de 2 sont usitées; celles de 3, jusqu'à la sixième seulement ; les trois premières de o et la première de 7 sont seules en usage (*). Les

,' Ch. Meerens avait déjà pré-enté, sur la valeur tonique du nombre 2, des considérations voisines [Hommage à la mémoire de M. Delezenne, Société des sciences de Lille, 1869).

(■■') M. Meyer, Conlribulions lo a psychological llteory of music, University ol' Missouri studies, I, I, p. 80 et s.; Expérimental sludies in llie psyc/iology of iniisic, American journal of psycliology, XIV, 1903, p. 456-8. — Une troisième loi serait la réduction des octaves, qui facilite la formation de louts psychologiques. On peut isoler expérimentalement ces trois éléments : si l'on produit successivement les trois sons sans Ionique 3, 5, 7 (ou leurs octaves), c'est le plus grave que 57 0/0 des sujets observés préfèrent comme conclusion. Si l'on introduit le son 2 (ou ses puissances) dans la série 2, 3, 9, au grave il obtient 86 0/0 des préférences; au médium-, 70 0/0; à l'aigu, 7 0/0 seulement, sans doute parce que le troisième facteur est venu dissocier la l'eprésentation totale en deux louts indépendants : 3-2 et 9-3 [Exper. sludies, p. 459-61).

(^) Meyer, Eléments of psychological llieory of melody, Psychological review, VII. 1900, p. 250, 252. Voici le tableau résumé de « l'échelle musicale,complète »("?) ainsi obtenue, en sous-entendant le facteur 2, et tenant 1 pour 2° [L. c, p. 251. — V. des analyses de mélodies complexes, p. 252-271).

Ut =

ré

re =

mi

fa

Vibration s , . .

Fadeurs utilisables