I. La progression triple fj^ijtlunjoriciensj

La doclrine pythagoricienne de la musique, que nous prendrons sous sa forme moderne et complète, est une hypothèse arithmétique, qui consiste à supposer que tous les intervalles musicaux possibles sont mesurables par la « progression triple », ou, en d'autres termes, par le rapport 3/2, représentant la quinte, comljiné indéfiniment avec lui-même :

... r2,3/. r2,3j^ i2/3)=. r2/3)'. 1. i3/2/. (3/2)^ (3/2)'. (3/2)'... ... ré 7 la '■, mi !, si \ fa do sol ré la ...

Ramenée à l'intérieur d'une octave, la série indéfinie des puissances de 3/2 représente une « échelle-lype » qui se développe sans fin selon le méiue principe et dont toute combinaison musicale possible est nécessairement un fragment, découpé par limitations ou soustractions dans la série, jamais par altérations dans les termes.

Le principe est donc extrêmement simple. Les applications en sont extrêmement abondantes. Passant par-dessus les lliéories élémentuires dans lesquelles s'embarrassent les autres systèmes, comme celle de la consonance ('), la doclrine va droit aux con-

(') '< La musique pythagoricienne était surtout une aritlimélique : elle imposait des lois aux instiumenls et aux voix et rejetait comme indigne d'elle d'en recevoir

séquences plus compliquées et plus concrètes, comme les échelles, les modes ou les genres d'inlervalies.

Toutes ces applications présentent trois caractères dont le rapprochement est par lui-même une conclusion. Elles sont à la fois exactes, irréelles et indéterminées.

Dans la mesure des tierces, de l'octave et de l'attraction de sensible, elles sont d'une exactitude vraiment paradoxale, et que seule la psychologie expérimentale la plus moderne a pu vérifier. L'intervalle de douze quintes fa-mi ~, qui doit logiquement tenir lieu de l'octave dans le système, est légèrement plus grand que l'intervalle 2/1. Or les recherches ont confirmé expérimentalement que cet excès tout théorique représente en fait une exigence universelle de l'oreille ('\ La tierce majeure mesurée par cinq quintes dépasse d'un comma l'intervalle dit a pur » ('j. Or c'est justement cette altération par augmentation que le musicien trouve beaucoup plus satisfaisante que l'intervalle prétendu « juste », surtout quand l'intonation des deux notes est successive. On a même pu diie que si la théorie des nombres simples ou des harmoniques donne la mesure des intervalles simultanés, c'est la théorie pythagoricienne qui donne seule la vraie mesure des intervalles successifs ou mélodiques. En sens inverse, la tierce mineure pythagoricienne est plus petite que la tierce « naturelle >>. Mais justement cette diminution est une réalité que tout expérimentateur peut constater. Enfin un fait bien connu, l'attraction de la sensible vers la tonique, est fort mal exprimé par la théorie dite « naturelle », pour laquelle le demi-ton diatonique attractif, si-do, est plus grand que le demi-ton chromatique non attractif, do-doz. Au contraire la mesure pythagori-

de rexpérierice » (A.-E. Chaignet, Pijlhar/ore, 2» éd., 1874, II, p.* 135). — D'après la mesure de l'octave, de la quinte et de la quarte sur le monocorde, les Pythagoriciens paraissent avoir admis d'abord que la consonance est un rapport superpartiel ^de la forme {n 4- 1) /«• ou donnant le son différentiel 1, comme dirait un disciple d'Helmholtz;. Après la découverte du rapport de ton 9/8, superparliel et dissonant (Philolaos?), ils crurent que tout intervalle musical devait pouvoii' s'exprimer par un rapport superparliel : Arcliytas, Eratosthène, Didyme, Ptolémée). Dès lors, ils durent trouver un autre caractère spécilique de la consonance : la fusion, qui n'a rien de numérique et n'a rien à voir avec les principes intellectualistes, bien qu'elle figure toujours à côté d'eux chez les Pythagoriciens postérieurs (v. L. Laloy, Aristoxène, 1905, p. 49 et s.).

(') Il est donc maladroit « d'excuser » cet excès minime [comma pythagoricien, 3''72' = 531441/524288; par la << tolérance » (qui est en réalité une « exigence ») de l'oreille. (A. Barbereau, Etudes sur l'origine du système musical, 1852, p. 12).

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cienne, qui rapproclie ces deux noies à peu près autant que la pratique l'exige, est par là plus conforme aux faits (').

Exacte, sur certains points, jusqu'au détail le plus minutieux et même le plus paradoxal, la doctrine est en revanche extrêmement indéterminée; c'est-à-dire qu'elle donne à la fois le vrai et le faux, et sans fournir le moindre moyen de choisir parmi ces conséquences, toutes également valables en principe, et pourtant dépourvues pour la plupart de toute réalisation connue dans l'arl.

Tout d'abord, le rapport 3/2 n'est pas le plus simple de tous : pourquoi la forme 2/1, dont les combinaisons sont en fait infécondes, ne peut-elle ou ne doit-elle pas être choisie? L'intervalle de quinte serait-il le seul accessible à la mesure directe ? Ce postulat psychologique serait grossier. Mais une telle méconnaissance des faits les plus élémentaires ne peut surprendre chez des théoriciens pour qui l'idée de son « générateur » dai>s une série do quintes ne coïncide nullement avec celle du son « fondamental >> dans un accord; la doctrine dissocie fâcheusement ces deux notions (*): ou plutôt elle ignore leur sens concret : la génération d'un son quelconque se perd dans l'infini de la série des quintes, qui, illimitée en dimensions, est encore indéterminée en direction. Et cette double impuissance dans l'application fait soupçonner justement un artifice dans le principe.

La théorie des modes devrait fournir du moins un principe d'arrêt ou de repos stable dans la progression des quintes. Mais un pythagoricien conséquent ne peut même pas savoir pourquoi la gamme d'un mode n'a jamais que huit termes au plus ('). Si l'on passe outre, hxera-t-on comme note de repos le point de

(') V. plus loin, part. III, chap. II. — l'ragmenl de la gamme pyLliagoriciemic (V. des listes plus complètes : II. Kiemann, katechismus der Akuslik, Leipzig, 1891, p. Set s.) :

... fa tni i- sol ', fa s mi ss la '-,'•> sol ...

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Ainsi le fa s, allraclil' vers le haut, est plus élevé que le sol'-,, attiré vers le bas. C'est par ce lait que L. E. Xaumann {Verschiedene Bestimmungen dev Toiiverhàltnisse, Leipzig, 1858) et Fétis justifiaient leur préférence pour ce système.

(^) G. Paillard-Fernel, Des sources nalurelles de la musique, 1903, p. 17, 139.

(') En eiïet, à quelque terme que l'on s'arrête dans la série génératrice, la tranche suivante sera toujours identique à la précédente : le système ne peut être clos que par une convention arbitraire (L. Boutroux, Généraliou de la gamme diatonique, Rev. scientifique, mars 1900; tir. à part, p. 49 , ou tirée en fait d'une combinaison de la série des quintes avec I' « intervalle-limite » d'octave .1. Declievrens, Etudes de science musicale, Et. I, 1898, p. 40).

i-J LA MATHEMATIQUE MUSICALE

départ normal de loule série, le son i ? Mais on obtient une gamme d'ul avec faz, pratiquée en efTet à certains moments de l'histoire, mais rejelée par l'harmonie moderne, et surtout par le pylhagorisme lui-même, parce qu'elle n'a pas de quinte juste audessous de la tonique ('j.

La théorie modale est elle-même indéterminable. Il devrait y avoir à la rigueur autant de modes possibles que de notes de la gamme, ce qui n'a jamais satisfait personne, si ce n'est les pythagoriciens eux-mêmes (*i. Si l'on sort de cette indétermination, ce n'est que par l'arbitraire. Par un artifice, on justifie un dualisme des deux gammes, l'une ascendante, l'autre descendante, du mode majeur moderne d'ut et du mode dorien antique de mi mineur sans sensible (''). Par un artifice un peu différent, en fondant les accords sur le principe des quintes — et non inversement — on obtient même le dualisme moderne des modes majeurs et mineurs homonymes, ou encore des modes relatifs d'ul et de la (*). Avec un peu d'ingéniosité, on trouverait encore bien d'autres solutions. En réalité, le pythagorismo ne s'adapte qu'après coup aux faits historiques les plus saillants, qu'il choisit arbitrairement parmi toutes les déductions possibles de son principe.

La théorie des genres .d'intervalles est dans le même cas. La doctrine engendre avec une remarquable facilité des gammes penlatoniques sans demi- tons, diatoniques, chromatiques et enharmoniques. Car, ramenés à l'intérieur d'une octave, les intervalles vont diminuant à mesure qu'on s'avance dans la série des quintes. Le pis est qu'elle engendre un nombre infini de genres sans pouvoir se borner. Elle ne produit pas toutes les échelles pentatoniques ou chromatiques usitées, tant s'en faut; pas même le mineur moderne sous sa forme composite, ou le chromatisme

,' La plupart des Uiéoricien? majquent la diflicullé en posant 1 = u(. Mais alors le fa ne se trouve pas dans la série consécutive des (juintes, mais seulement le fa =, étranger à la gamme « naturelle » d'ul.

;"•') Les anciens présentaient ainsi leurs » divisions de Toctave » en « systèmes » : létracordes, pentacordes, tons disjonctifs: mais ce n'étaient pas là, semble-t-il, des « modes » pratiqués.

(') A. Dechevrens, Lettre inédite, l'M2. Il suffit de réduire aux limites de foclave les notes « naturelles » ou sans accidents engendrées par les quintes : la note la plus grave de leur série ascendante sera do, et de leur série descendante, mi.

(V Paillard-Fernel, l. c, p. 64. Mais de ce dualisme il résulte des sensibles artificielles, comme « rallraction descendante » du deuxième degré ib., p. 43, 95), qui est pourtant en fait « en quelque sorte neutre, ni tonal, ni modal; donc, le moins important ou le moins caractéristique de tous » (A. Lavignac, Lu musique et les musiciens, 1S?8, p. 247).

TOÉORIE PVTIlAi.OHICIENNE 43

oriental; elle les condamne même à l'occasion. En revanche, elle fait naîtie des monstres chromatiques ou enharmoniques dont on est fort embarrassé : car ils ne correspondent à aucune pratique connue, et théoriquement ils valent pourtant beaucoup mieux que ceux qui ont été elï'ectivement pratiqués. Le pythagorisme arrive à condamner ce que lart sanctionne et à justifier ce que l'art ne pratique pas. Bref, la doctrine nous donne toujours ou plus ou moins que le vrai, sans jamais satisfaire exactement à l'usage d'aucun temps ni d'aucun pays (•).

Enfin la série des quintes n'est pas une réalité représentée, serait-ce aussi inconsciemment qu'on le voudra. Sans quoi avec elle des battements insupportables seraient représentés aussi. On ne peut soutenir un instant qu'elle est le moyen psychologique réel de la mesure des sons, et elle ne supplée nullement à une théorie de la fusion ou de la consonance directe. Logiquement, la théorie devrait admettre que la seconde majeure, mesurée par trois quartes, consonne plus que la tierce majeure, mesurée par cinq quintes; ce qui est une hérésie. La mesure des tierces comporte en fait à peu près autant de sûreté que celle de la quinte. Or si celle-là était réellement mesurée par une série de celles-ci, les menues déviations exigées par les quintes étant en fait toujours dans le même sens, celui de l'augmentation, elles devraient nécessairement s'additionner, et rendre toutes les tierces très fausses. Non seulement il semble impossible que plusieurs quintes soient toutes représentées à la fois entre deux sons successifs, et à plus forte raison, simultanés; mais la représentation mentale d'une seule quinte, telle que la théorie de la basse fondamentale la suppose dans l'intonation de la seconde majeure, semble irréelle; car la mesure de cet intervalle ne correspond pas en fait au résultat qu'amènerait cette supposition (').

Ainsi c'est par des moyens absolument irréels et arbitraires que les Pythagoriciens parviennent à cette exactitude parfois surprenante. Il est vrai qu'elle est contrebalancée par une indétermination indéfinie.

Laissons le dogmatisme mathématique s'enorgueillir de l'illusion vaine que cette indétermination est une fécondité (^). Exac-

C' V. surloul Declievreiii, Etudes, I, p. i:i4, 142 et s. ; 87 et s., 99, 105, 2.30.

'^) Delezenne l'avait déjà éprouvé; el il est lacile de le vérifier expérimentalement, p. ex. sur le monocorde : la mesure de l'intervalle de Ion, entonné isolément, est plus proclie de 10/9 que de 9/8. — V. plus loin, part. III, chap. II, § :'>. Ces deux mesures du ton avaient déjà été proposées avant Plolémée.

Cj « Cette progression ^ies quintes] est le canon génélique de la musique, em-

titude dans la mesure, irréalité dans les faits, indétermination dans les conséquences : voilà bien le triple caractère de la déduction abstraite. La doctrine pytliagoricienne est un des exemples les plus parfaits d'une formule mathématique prodigieusement féconde, mais développée selon ses lois propres, non selon celles des faits auxquels on veut l'appliquer, ^'ous sommes en présence d'une hypothèse qu'on peut dire heureuse, puisqu'elle réussit souvent; d'une explication qu'on peut dire vraie, si elle ne veut pas dépasser sa portée légitime : si elle se reconnaît comme abstraite et formelle, c'est-à-dire comme un des moyens possibles, mais de forme et de nombre indéfinis, pour exprimer simplement une réalité qui est en elle-même tout autre chose que Tune quelconque de ses expressions numériques.