IU'ALISME

Mais l'usage le plus artificiel qu'on ail fait de la série numérique est peut-être le dualisme. Ce système consiste à retourner la série dos premiers nombres, après l'avoir limitée au sixième, et à les lire ou les interpréter alternativement dans les deux, sens : la progression ascendante, désignant les harmoniques supérieurs, engendre l'accord parfait majeur; la série inverse, qui est censée représenter des « harmoniques inférieurs », donne l'accord mineur. Il faut marquer la portée exacte de cette conception. Malgré les théoriciens récents, il ne s'agit pas là, de véritables harmoniques, mais bien plutôt d'un usage formel de la série numérique :

...fa, la'-,. uti /(ï. ut; ul^ ii/^ sol;; utr, lui r, sols

l'ne foule d'autres applicatiotis du même procédé de renversement sont d'ailleurs possibles, et chacune pourrait présenter des commodités spéciales (').

L'évolution du dualisme montre que telle est bien sa véritable signilicalion. Il n'a pas suivi en elTet un développement indépendant et autonome. 11 s'est au contraire constitué, dans les temps modernes, à chaque progrès de la théorie musicale doininante, par une série de réactions qui ont consisté à adopter d'abord celle-ci, pour la compléter ensuite de son point de vue nouveau.

C'est pourquoi, après la profonde mais tout abstraite doctrine de Glaréan, le dualisme, qui apparaît aussitôt pour en combler les lacunes, est encore purement numérique avec Zarlino ('). Après Rameau et sa théorie des harmoniques, Tartini interprète le dualisme par les sons résultants différentiels, sa découverte personnelle, auxquels il attribue la même nature qu'aux harmo-

', P. o>x. la jj:amme lïnf majeiu", lue de haul en bas, donne le.s intervalles de mi mineur sans sensibte : le dorien national des (jrecs anciens (propriété utilisée par les conlrapunclisles dans 1' « imitation régulière par mouvement contraire » et le « canon renversé » ;. — Les nombres de 8 à 16, interprétés comme « harmoniiiues inférieurs », donneraient à peu près la gamme d'ut mineur sans sensible, avec les mêmes inconvénients que nous avons reconnus dans la gamme majeure symétrique, mais avec l'avantage d'être du ton de son générateur et de pouvoir plus légitimement se passer de sensible que la forme majeure.

(^ G. Zarlino, hlilulioni hurmo)iiche, Venise, 1. I, chap. XV : " Des propriétés du nombre senaire et de ses parties, et comment on peut retrouver parmi elles la l'orme de toutes les consonances musicales ». — Peut-être cette idée lui fut-elle suggérée par quelque Levantin connaissant la théol-ie, très originale pour l'époque, et assez analogue, du messel arabe (Mahmoud Scliirasi, \i\^ siècle; v. H. Riemann, Sludien zur Geschichle der Nolenschrlfl, 187S. p. 77 et s.; GeschicfUe der Musiklheorie, 1898, p. 373).

56 LA MATHÉMATIOIE MUSICALE |

niques supérieurs ('). Après HelmhoUz, c'est dans la coïncidence de certains sons partiels supérieurs qu'on devait cliercher une démonstration du parallélisme, puisque ces harmoniques ont semblé dès lors la seule source possible de toute la musique : ce fut Tœuvre de von OEttingeii (^).

Enfin, après Slumpf, H. Riemann afiirme que toute la musique dérive du parallélisme de deux séries supérieure et inférieure d'harmoniques; mais il s'est décidé en même temps à démontrer, non sans quelques hésitations, que les harmoniques inférieurs ne peuvent pas e\\slei\ admelVdnl d'ailleurs avec Stumpf que les harmoniques de toute sorte demeurent sans action sur le phénomène de la consonance ('j. Mais alors il faudrait convenir qu'il ne reste plus, pour justifier le dualisme, que la vieille superstition des nombres simples.

Ce ne sont pas de vagues analogies avec certains faits plus ou moins « naturels » qui peuvent donner à la théorie un fondement plus « objectif » (*). La véritable raison d'être de cette doctrine, qui offre d'ailleurs des facilités appréciables pour l'analyse harmonique, c'est le besoin de justifier à tout prix le parallélisme des deux seuls modes actuels : le majeur et le mineur, homonymes

('; G. Tarlini, Tratlato di musica, 1754, p. 13, 66 el s. ; Deprincipii, 1767, début, p. 5, etc. La découverte du « troisième son » ou « son de Tartini » eut lieu presque simultanément en Allemagne (Sorge, Vorgemach, 1745-7), en France (Romieu. Mémoires, Soc. roy. Montpellier, 1751) el en Italie.

(') A. Von CEttingen, Harinoniesyslem in dualer Enluickelung, 1866 : « Tonicité » et « Phonicité », p. 40, 64, etc.

(') H. Riemann crut d'abord à une double e.xislence objective et subjective des harmoniques inférieurs (Musikalische Logik, 1873; Objective Exislen: der Untertône in der Schattwelle, 1875; Musikalische Syntaxis, 1877;. Il a, depuis, échappé à Tintluence d'Helmholtz (v. p. ex. : Dictionnaire de musique; Manuel de l'harmonie, tr. fr. G. Humbert, 19U2, p. 1-6; Eléments de l'esthétique musicale, p. 109, 112, 121).

l'/ Production directe des harmoniques inférieurs, quand on enlève les élouffoirs correspondants sur un piano [Musik. Synt., p. 6, 121) ; sur un angle solide, où sont tendues des cordes, ou alignés des roseaux .A. Guillemin, Génération de la voix el du timbre, 2e éd., p. 251); sur le monocorde même (V. d'Indy, Cours de composition musicale, 1. I, 1902, p. 98, n.). — Or, le premier lait est un cas banal de résonance généralisée, qui se produirait aussi pour d'autres noies; et les deux autres présupposent l'idée de produire les sons cherchés, c'est-à-dire sont artificiels; car les expériences prétendues ne réussissent que dans des conditions et avec des mesures très particulières ou des cordes ou du sonomètre. La production réelle de sons graves par l'influence d'un son plus aigu [son rauque transversal d'une verge; vibrations tremblées d'un chevalet; sons anormaux, produits par la torsion des cordes) est une curiosité des cabinets de physique, qui n"a rien à voir avec les <> harmoniques inférieurs » prétendus.

DUALISME o /

OU relalifs. Mais ce ii"esl pas une raison pour élever celle pratique moderne à l'absolu.

Le dualisme remplit-il du moins efficacement cette fonction? Avec les doubles harmoniques d'un son, il engendre bien « l'accord mineur abstrait »; mais non l'accord majeur engendré parallèlement : le même son ut produit les accords d'ul majeur et de fa mineur; or ils ne sont que 1res secondairement apparentés dans l'harmonie (' i.

C'est surtout le rôle identique attribué aux deux génératrices ou « primes » supérieure et inférieure, qui jure avec la prépondérance que la basse possède seule dans l'harmonie usuelle, aussi bien majeure que mineure (*); et, comme conséquence capitale, la place prépondérante prêtée à la cadence plagale en mineur, comme parallèle de la cadence parfaite en majeur ('). Là encore, l'explication théorique est inadéquate aux faits musicaux.

Il faut soigneusement faire dans le dualisme deux partis : le parallélisme, et la théorie de l'interprétation harmonique. La doctrine de l'interprétation a réalisé un progrès considérable et, croyons-nous, définitif, dans l'estliélique musicale moderne, en substituant l'idée de perception active à celle de sensation passive ; nous la retrouverons dans ce rôle. Mais le parallélisme est un artifice malheureux, et qui encombre fâcheusement la terminologie dualiste, excellente par ailleurs, de conventions et de formules parasites (*).

(') L. Boulroux, Tléflexions sur le système d'harmonie de M. Riemann, Rev. mus., 1903, p. 630. « C'est par une concepLion purement nialhémalii|ue que nous faisons intervenir les liarmoniques inférieurs » (p. 629^.

(') C'est en effet la quinte mi qui doit être le « centre harmonique » de l'accord mineur la do mi; mais elle est impliquée si fortement dans la basse (comme harmonique supérieur), que celle-ci peut " la remplacer complètement » i^H. Riemann, Manuel, p. 150 n. ; v. 25, 40 . Or ce « remplacement », qui ne devrait être qu'accidendel. est en fait universel et nécessaire. 11 est si arbitraire que certains dualistes l'attribuent à la tierce do (A. Guillemin, /. c, p. 268, 300).

('; H. Riemann, Manuel, p. 39; Y. d'Indy, /. c, p. 111. — La cadence parfaite (c'est-à-dire majeure) en mineur, est normale depuis le moyen âge; elle n'est dans le dualisme qu'un dérivé secondaire : un « enchaînement de la contre-harmonie à la tonique » (Manuel, p. 50).

(*) V. plus bas, part. III, chap. I. — V. tout le chiffrage, surtout celui des accords mineurs [mi " = la do mi, etc.'» ; et p. ex. : « l'accord inférieur de quarte et sixte » [do mi la], « inconnu de l'ancienne théorie » [Manuel, p. 43, n.); la parenté directe de '< contre harmonie » avec ut majeur, attribué à fa mineur, tandis que celle de fa majeur avec ut n'est qu'une « marche de contre-quinte » (p. 52) ; « l'élève aura déjà (!) remarqué que cette formation est pourtant la plus simple et la plus naturelle » p. 56(; l'accord ré fa la si substitué en mineur à la septième de dominante mi sol : si ré (p. 149i; l'autorisation de redoubler certaines tierces d'accords mi-

58 LA MATHÉMATIOLE MUSICALE

Le système ajoule donc rembarras d'une délerminalion arbitraire aux autres difficultés soulevées déjà par loules les théories qui donnent, malgré l'histoire, une valeur absolue aux modes et à leur « expression » ; et en particulier par celles qui spéculent sur les propriétés abstraites des nombres (').