L. La progression triple { Pithagoriciens

La doctrine pythagoricienne de la musique, que nous prendrons sous sa forme moderne et complète, est une hypothèse arilhmélique, qui consisle à supposer que tous les intervalles musicaux possibles sont mesurables par la « progression triple », ou, en d'autres Lermes, par le rapport 3/2, représentant la quinte, combiné indéfiniment avec lui-même :

0) ENV OMR MOD MC INC NOEIE

11e, la} mi b sil a do sol ré ose

Ramenée à l'intérieur d'une oclave, la série indéfinie des puissances de 3/2 représente une « échelle-type » qui se développe sans fin selon le même principe et dont loule combinaison musicale possible est nécessairement un fragment, découpé par limitalions ou soustractions dans la série, jamais par allérations dans les termes.

Le principe est donc extrêmement simple. Les applications en sont extrêmement abondantes. Passant par-dessus les théories élémentaires dans lesquelles s'embarrassent les autres systèmes, comme celle de la consonance ('), la doctrine va droit aux con-

{t) « La musique pythagoricienne élail surloul une arithmétique : elle imposail des lois aux instruments et aux voix el rejelail comme indigne d'elle d'en recevoir

séquences plus compliquées et plus concrètes, comme les échelles, les modes ou les genres d'intervalles.

Toutes ces applications présentent trois caractères dont le rapprochement est par lui-même une conclusion. Elles sont à la fois exactes, irréelles et indéterminées.

Dans la mesure des tierces, de l'octave el de l'attraction de sensible, elles sont d'une exactitude vraiment paradoxale, et que seule la psychologie expérimentale la plus moderne à pu vérifier. L'intervalle de douze quintes fa-miz, qui doit logiquement tenir lieu de l'octave dans le système, est légèrement plus grand que l'intervalle 2/1. Or les recherches ont confirmé expérimentalement que cet excès tout théorique représente en fait une exigence universelle de l'oreille (*). La tierce majeure mesurée par-cinq quintes dépasse d’un comma l'intervalle dit « pur » (?). Or c'est justement cette altération par augmentation que le musicien trouve beaucoup plus satisfaisante que l'intervalle prétendu « juste », surlout quand l'intonation des deux: notes est successive. On a même pu dire que si la théorie des nombres simples ou des harmoniques donne la mesure des intervalles simultanés, c'est la théorie pythagoricienne qui donne seule la vraie mesure des intervalles successifs où mélodiques. En sens inverse, la tierce mineure pythagoricienne est plus petile que la tierce « naturelle ». Mais justement cette diminution est une réalité que tout expérimentateur peut constater. Enfin un fait bien connu, l'attraction de la sensible vers la tonique, est fort mal exprimé par la théorie dite « naturelle », pour laquelle le demi-ton diatonique attractif, si-do, est plus grand que le demi-lon chromatique non attraclif, do-doz. Au contraire la mesure pythagori-

de l'expérience » (A.-E. Chaignet, Pythagore, 2e éd., 1874, IT, p. 135). — D'après la mesure de l’oclave, de la quinte et de la quarte sur le monocorde, les Pylthagoriciens paraissent avoir admis d’abord que la consonance est un rapport superparliel (de Ja forme (x + 1) /n, où donnant le son différentiel 1, comme dirait un disciple d’'Helmhollz). Après la découverle du rapport de lon 9/8, superparliel et dissonant (Philolaos ?), ils crurent que fout intervalle musical devait pouvoir s'exprimer par un rapport superparliel (Archylas, Eralosthène, Didyme, Plolémée). Dès lors, ils durent trouver un autre caractère spécifique de la consonanee : la fusion, qui n'a rien de numérique el n'a rien à voir avec les principes intelleclualistes, bien qu'elle figure loujours à côté d'eux chez les Pylhagoriciens postérieurs (v. L. Laloy, Arisloxène, 1905, p. 49 et s.).

() IL est donc maladroil « d'excuser » cel excès minime (comma pylhagoricien, 3/2 = 531441/524288) par la « lolérance » (qui est en réalité une « exigence ») de l'oreille, (A. Barbereau, Etudes sur l'origine du système musical, 1852, p. 12).

THÉORIE PYTHAGORICIENNE ù A

cienne, qui rapproche ces deux notes à peu près autant que la pratique l'exige, est par là plus conforme aux faits ('}.

Exacte, sur cerlains points, jusqu'au détail le plus minutieux et même le plus paradoxal, la doctrine est en revanche extrêmement indéterminée; c'est-à-dire qu'elle donne à la fois le vrai et le faux, et sans fournir le moindre moyen de choisir parmi ces conséquences, toutes également valables en principe, et pourtant dépourvues pour la plupart de toute réalisation connue dans l’art.

Tout d'abord, le rapport 3/2 n'est pas le plus simple de tous : pourquoi la forme 2/1, dont les combinaisons sont en fait infécondes, ne peut-elle ou ne doit-elle pas être choisie? L'intervalle de quinte serait-il le seul accessible à la mesure directe ? Ce postulat psychologique serait grossier. Mais une Lelle méconnaissance des faits les plus élémentaires ne peut surprendre chez des théori- ‘ciens pour qui l'idée de son « générateur » dans une série de quintes ne coïncide nullement avec celle du son « fondamental » dans un accord; la doctrine dissocie fâcheusement ces deux nolions (?): ou plutôtelle ignore leur sens concret : la génération d'un son quelconque se perd dans l'infini de la série des quintes, qui, illimitée en dimensions, est encore indéterminée en direction. Et cette double impuissance dans l'application fait soupçonner justement un artifice dans le principe.

La théorie des modes devrait fournir du moins un principe d'arrêt ou de repos stable dans la progression des quintes. Mais un pythagoricien conséquent ne peut même pas savoir pourquoi la gamme d'un mode n'a jamais que huit termes au plus (?). Si l'on passe outre, fixera-t-on comme note de repos le point de

() V. plus loin, part. II, chap. Il. — Fragment de la gamme pytlhagoricienne (NV. des listes plus complètes : H. Riemann, Kalechisimus der Akuslik, Leipzig, 1891/p.5 ets):

SE mi = sol ! fa 2 mi 22 la b! SOLE 1 919 /'312 35 /98 11/37 930/319 310 /916 93/3? cs / La ! 21 CRt L La 11 221 1 ÿ 1,000 0,987 0,949 0,936 0,923 0,901 0,888

Ainsi le fa 2, allraclil vers le haut, est plus élevé que le so/t,, alliré vers le bas. C'est par ce fait que L. E. Naumann (Verschiedene Beslimmungen der Tonverhältnisse, Leipzig, 1858) el Félis juslifiaient leur préférence pour ce système.

(?) G. Paiïllard-Fernel, Des sources nalurelles de la musique, 1903, p. 17, 139.

(3) En effet, à quelque lerme que l'on s'arrête dans la série génératrice, la tranche suivante sera loujours identique à la précédente : le système ne peut être clos que par une convenlion arbitraire (L. Boutlroux, Généralion de la gamme dialonique, Rev. scientifique, mars 1900; tir. à part, p. 49), ou tirée en fait d'une combinaison de la série des quintes avec L’ « inlervalle-limite » d'octave (J. Dechevrens, Etudes de science musicale, EL, I, 1898, p. 40).

49 d LA MATHÉMATIQUE MUSICALE

départ normal de loute série, le son 1? Mais on obtient une gamme d'ul avec faz, pratiquée en effet à certains moments de l'histoire, mais rejetée par l'harmonie moderne, et surtout par le pythagorisme lui-même, parce qu'elle n'a pas de quinte juste audessous de la tonique (*).

La théorie modale est elle-même indéterminable. Il devrait y avoir à la rigueur autant de modes possibles que de notes de la gamme, ce qui n'a jamais satisfait personne, si ce n'est les pythagoriciens eux-mêmes (?). Si l'on sort de cette indétermination, ce n'est que par l'arbitraire. Par un artifice, on justifie un dualisme des deux gammes, l'une ascendante, l'autre descendante, du mode majeur moderne d'ut et du mode dorien antique de m? mineur sans sensible (*). Par un artifice un peu différent, en fondant les accords sur le principe des quintes — et non inversement — on obtient même le dualisme moderne des modes majeurs et mineurs homonymes, ou encore des modes relatifs d'uf et de la (*). Avec un peu d'ingéniosité, on trouverait encore bien d’autres solutions. En réalité, le pythagorisme ne s'adapte qu'après coup aux faits historiques les plus saillants, qu'il choisit arbitrairement parmi toutes les déductions possibles de son principe.

La théorie des genres d'intervalles est dans le mème cas. La doctrine engendre avec une remarquable facilité des gammes pentatoniques sans demi-tons, diatoniques, chromatiques et enbarmoniques. Car, ramenés à l'intérieur d'une octave, les intervalles vont diminuant à mesure qu'on s’avance dans la série des quintes. Le pis est qu'elle engendre un nombre infini de genres sans pouvoir se borner. Elle ne produit pas toutes les échelles pentatoniques ou chromaliques usitées, tant s'en faut; pas même le mineur moderne sous sa forme composite, ou le chromatisme

(*) La plupart des théoriciens masquent la difficulté en posant 1 = wf. Mais alors le /a ne se trouve pas dans la série conséculive des quinles, mais seulement le fa 3, élranger à la gamme « naturelle » d'u.

() Les anciens présentaient ainsi leurs « divisions de l'octave » en « systèmes » : lélracordes, pentacordes, lons disjonclifs; mais ce n'élaient pas là, semble-{-il, des « modes » praliqués.

(#) A. Dechevrens, Lellre inédite, 1902. I suffil de réduire aux limites de l'oclave les notes « nalurelles » où sans accidents engendrées par les quintes : la nole la plus grave de leur série ascendante sera do, et de leur série descendante, mi.

(*) Paillard-Fernel, /, e., p. 64. Mais de ce dualisme il résulte des sensibles arlificielles, comme « l'attraction descendante » du deuxième degré (ib., p. 43, 95), qui est pourtant en fail « en quelque sorte neulre, ni lonal, ni modal; donc, le moins important où le moins caraclérislique de lous » (A. Lavignac, La musique el les musiciens, 1898, p. 247),