THÉORIE PYTHAGORICIENNE

oriental; elle les condamne même à l'occasion. En revanche, elle fait naître des monstres chromatiques ou enharmoniques dont on est fort embarrassé : car ils ne correspondent à aucune pratique connue, el théoriquement ils valent pourtant beaucoup mieux que ceux qui ont été effectivement pratiqués. Le pythagorisme arrive à condamner ce que l'art sanclionne et à justifier ce que l'art ne pratique pas. Bref, la doctrine nous donne toujours où plus ou moins que le vrai, sans jamais salisfaire exactement à l'usage d'aucun temps ni d'aucun pays ().

Entin la série des quintes n'est pas une réalilé représentée, serait-ce aussi inconsciemment qu'on le voudra. Sans quoi avec elle des baitements insupportables seraient représentés aussi. On ne peut soutenir un instant qu'elle est le moyen psychologique réel de la mesure des sons, et elle ne supplée nullement à une théorie de la fusion ou de la consonance directe. Logiquement, la théorie devrait admettre que la seconde majeure, mesurée par trois quartes, consonne plus que la tierce majeure, mesurée par cinq quintes; ce qui est une hérésie. La mesure des tierces comporte en fait à peu près autant de sürelé que celle de la quinte. Or si celle-là était réellement mesurée par une série de celles-ci, les menues déviations exigées par les quintes étant en fait toujours dans le même sens, celui de l'augmentation, elles devraient nécessairement s'additionner, et rendre toutes les tierces très fausses. Non seulement il semble impossible que plusieurs quintes soient toutes représentées à la fois entre deux sons successifs, et à plus forte raison, simultanés; mais la représentalion mentale d'une seule quinte, telle que la théorie de la basse fondamentale la suppose dans l'intonation de la seconde majeure, semble irréelle; car la mesure de cet intervalle ne correspond pas en fait au résultat qu'amènerait cette supposition (?).

Ainsi c'est par des moyens absolument irréels et arbitraires que les Pythagoriciens parviennent à cette exactitude parfois surprenante. Ilest vrai qu’elle est contrebalancée par une indétermination indéfinie.

Laissons le dogmatisme mathématique s'enorgueillir de l'illusion vaine que cette indétermination est une fécondité (°). Exac-

() V. surlout Dechevrens, Etudes, I, p. 154, 12 ebs.; 87et s., 99, 105, 230.

(2 Delezenne l'avait déjà éprouvé; el il est facile de le vérifier expérimentalement, p. ex. sur le monocorde : la mesure de l'intervalle de ton, entonné isolément, est plus proche de 10/9 que de 9/8. — V. plus loin, part. IL, chap. IT, $ 3. Ces deux mesures du lon avaient déjà élé proposées avant Plolémée.

(8) « Cette progression [des quintes] est le canon génélique de la musique, em-

tilude dans la mesure, irréalité dans les faits, indétermination dans les conséquences : voilà bien le triple caractère de la déduction abstraite. La doctrine pythagoricienne est un des exemples les plus parfails d'une formule mathématique prodigieusement féconde, mais développée selon ses lois propres, non selon celles des faits auxquels on veut l'appliquer. Nous sommes en présence d'une hypothèse qu'on peut dire heureuse, puisqu'elle réussit souvent; d'une explication qu'on peut dire vraie, si elle ne veut pas dépasser sa porlée légitime : si elle se reconnait comme abstraite et formelle, c’est-à-dire comme un des moyens possibles, mais de forme et de nombre indéfinis, pour exprimer simplement une réalilé qui est en elle-même tout autre chose Abe l'une quelconque de ses expressions numériques,

Il. Les rapports simples (Euler).

Selon Ja théorie pythagoricienne, la nature ne compte que jusqu’ à trois. Pour d’autres elle compte jusqu'à cinq, et même bien au delà, sans autres limites plus précises que les degrés de simplicité des nombres ou des rapports numériques représentant les intervalles sonores (*).

C'est Euler qui a donné à cette dcelrine sa forme classique. Empruntant à Leibniz les principes de sa philosophie, il a construit à côté et au-dessus de la physique des sons toute une « métaphysique » des nombres simples (?).

Sa méthode est toute déductive. Le point de départ, c'est ce principe que la beauté naît de l'agrément, qui est un sentiment confus de la perfection ou de l'ordre : telle est cette curieuse jux-

brassant dans sa généralilé le passé el l'avenir de cet ar{-science, dont l’objel est de corporifier l'intelligence dans Les sons, selon la profonde définilion qu'en a donnée le philosophe slave Hoëné Wronski » (CG. Durulle, Résumé de la lechnie, p. 17, n.; 829, elc.). Le mérile principal de la théorie est de « relier en un seul f'aisceau non seulement lous les accords connus, mais encore lous les accords possibles » (!) (A. Prost, Notice sur le comte C. Durutle, Metz, 1884, p. XX). Mêmes naïvelés un peu parloul ; V. Paillard-Fernel, £. e., p. 183, etc.

() « Tres esse dumlaxal numeros sonores 2, 3 el 5» (Descartes, Compendium musicæ, 1618, chap. De oclava). Mersenne à pensé pourtant déjà que l'habilude pourrail amener plus lard l'usage des rapports seplenaires (Harmonie universelle, 1636, 1. I, p. 58).

() L. Euleri, Tenlamen novæ lheoriæ musicæ ex cerlissimis harmoniæ prineipis, Sainl-Pélersbourg, 1739, préf., p. 11, ele. D'Alembert remonte de même, pour expliquer Un nouveau syslème de musique, celui de Sauveur, à la « mélaphisique des agrémens » (Hisloire acad, sciences, Paris, 1701, 2e édil., 1719, p. 121).

taposition du sensualisme et de l'intellectualisme, qui caractérise l'esthélique des Cartésiens. Si nous eoncevons que l'ordre peut toujours avoir une expression numérique, nous aurons de quoi construire sur ces principes très simples une conception générale de l'art, dont la théorie de la musique ne sera qu'un des cas particuliers. Il suffit de savoir que dans le domaine sonore, l'ordre est perçu, et non apercu, c'est-à-dire, selon le langage de Leibniz, qu'il y est inconscient ou subconscient, alors qu'il est conscient par exemple dans le rythme des danses. D'ailleurs entre ces diverses formes, comme entre tous les arts, comme en toutes choses, il ne peut y avoir que des différences de degrés : « La palure ne fait pas de sauts » (!).

Euler adople une convention initiale d'où découlent tous les degrés d'agrément qui sont en musique les degrés de la consonance. On prend le plus petit commun mulliple de tous les nombres de vibrations des sons considérés : c'est « l’'exposant de la consonance »,; on fait la somme de ses facteurs premiers; on en retranche autant d'unités qu'il ÿ a de facteurs premiers moins un. Le résultat est le degré de simplicité, d'agrément ou de consonance que l'on cherche (?).

Cetle convention est à première vue fort arbitraire. Le choix d'Euler à été heureux sans doute, car Helmhollz reconnaît dans ses déductions « une foule de propriétés surprenantes parfaitement exactes ». Il en tire en effet une table des consonances relativement satisfaisante, une théorie des modes, des genres d’intervalles, des modulalions, et même un moyen d'en multiplier ralionnellement le nombre (*). Certaines de ses déductions sont d'une vérité surprenante, et plus même que ne le croit Helmholtz : le calcul d'Euler montre immédiatement par exemple que l'accord parfait mineur consonne au même degré que le majeur; ce

(‘) Ces principes relèvent en propre soit de la métaphysique (Euler, . c., préf., p. 12), soit de l’observalion de soi-même (chap. Il, $ 7; 13). Le rythme conscient ne comple que jusqu'à 3 : voilà la différence essentielle (préf., p. 15; chap. II,

sil ets.) (2) Chap. IT, $ 21 ets. — P.ex., le rang de l'accord parfail majeur 4/5/6 (facteurs premiers 2?, 3, 5), est 9 (2 et 2, ou 2? + 2— 1 —3;3el3, ou3 +3 —1—5;

5 et 5, ou 5 + 5 — 1 —-9). L'accord mineur 10/12/15, comprenant les mêmes facteurs premiers 2?, 3, 5, est du même rang — 9.

(&) Chap. IV, 8 31; V, 21-8; — Prél., p. 11; chap. IV-VI, IX, XI-XIV. Helmbhollz, £. c., p. 298. Remarquons que, depuis Zarlino, la même idée du progrès avait amené Mersenne et Rameau à conclure à la réduction du nombre des modes à 2 (malgré la tradition et la pratique de l’oclocorde ou du dodécacorde), et point du tout à leur mulliplication progressive.

qu'une simple inspection des nombres ou la considération des harmoniques et battements à fait méconnaitre, par Helmholtz notamment, malgré le témoignage de la pratique moderne.

Mais cette applicalion n'est exacle, d'ailleurs en partie seulement, qu'à la condition d'être très indéterminée. Il n’y a d'abord aucune raison pour qu'elle soit particulière à la musique : nous avons là un tableau de la faculté mème de percevoir, utile à «tous les arts et toutes les disciplines qui ont pour objet la beauté » ('). Cependant les rapports simples des vibrations des couleurs, par exemple, ne sont nullement agréables selon les mêmes lois que ceux des sons, et l’on ne voit pas bien que le rùle des cinq premiers nombres soit privilégié dans l'architecture comme dans la musique. La loi des nombres simples régit-elle la chimie et même toute la nature, comme le font remarquer certains modernes ? Mais alors elle n’a plus rien de spécifique à l'art!

L'application de celle convention est-elle du moins déterminée dans le domaine musical? Mais la logique abstraite des mathématiques produit des déductions dangereusement erronées. Les plus importantes de ces erreurs portent sur les degrés de la consonance, et en particulier sur les extrêmes : le plus haut, et les plus bas.

Les calculs d’Euler fournissent en effel une table des consonancesrelalivement exacte. Mais il faut savoir ou vouloir l'extraire. Car, de par la puissance des exposants, un nombre rigoureusement indéfini de degrés sont déclarés égaux, qui ne peuvent l'être en fait. De facon générale, c'est une énormilé de comparer le degré de la consonance d'accords dont l'un peut n'avoir que deux sons et l'autre trois, quatre, où un nombre indéfini : car physiquement et psychologiquement, il ÿ a entre eux une différence qualitative irréductible. Ces conséquences mathématiques sont des erreurs musicales, ou plutôt elles n’ont aucun sens musical (?).

D'autre part, les degrés de la simplicité numérique sont évidemment indéfinis. Mais ceux de la consonance ne le sont pas : il y à opposilion entre elle et la dissonance. Or, le caleul d'Euler met dans la mème classe, avec la première dissonance caractéri-

() Chap. I, K 35. « Les règles que nous avons données sur la facilité de la perceplion ont une lrès vaste portée el ne souffrent aucune exception » (chap. V, $ 7).

(°) P. ex. sont du même rang : la douzième 1/3 el la triple octave 1/2/4; les quinles et lierces espacées 1/5, 1/3/9, el la quadruple oclave 1/2/4/8/16. L'intervalle 1/7, tenu d'ordinaire pour non-musical, consonne au 7e degré comme la sixle 3/5, la lierce 4/5, ou l'accord dissonant 1/3/5/15! — Cpr. chap. IV, $ 11 et 31.

risée, le ton, les rapports consonants de tierce et de sixte mineures : à l'agrément il n'y a point pour lui de limite assignable (‘).

Enfin il est sans doute vrai que l'exposant 6, par exemple, se « conçoit » plus facilement dans l'ensemble des rapports « complets » 1/2/3/6 que dans l'expression abrégée 1/6 : ne pas omettre d'intermédiaires dans une série de rapports liés par une inluition indivisible où une déduclion essentiellement continue, n'est-ce pas une des principales règles de la méthode de Descartes? Mais, dans le concret, c'est la consonance la plus complète qui est « perçue » le moins dislinetement, parce que, si elle fusionne au même degré que les autres, la dispersion de l'attention fait qu'elle s'analyse moins bien. Mais comment un système selon lequel l'addition d'une oclave doit produire le même effet que celle de deux quintes, donnerait-il une juste idée du rôle tout spécial de la première des consonances (?)?

Quand la pratique l'oblige à choisir parmi des conséquences toutes également valables, Euler, tout comme les Pythagoriciens, ne décide qu'en vertu de raisons arbitraires et nullement déducüves ou mathématiques.

Ce n'est point quelque considération mathématique, mais les « convenances de la pralique moderne », qui lui font préférer, parmi lant d'autres, le genre « diatonique-chromatique ». C'est « l'obligation de considérer aussi l'ensemble de la théorie de la composition », c'est-à-dire sans doute les fonctions tonales concrèles, qui explique le caractère ambigu de la quarte. Il y a une grave différence entre la perception des rapports simullanés et successifs : ceux-ci peuvent et même doivent supporter une plus, grande complexité; les basses ont un rôle privilégié dans l'harmonie : leurs rapports doivent s'ajouler à ceux des consonances dans la détermination des successions sonores, Outre leur rapport, le nombre absolu des vibralions entre nécessairement en considéralion, puisqu'au delà de cerlaines limites empiriques,

(:) Huitième degré : 8/9, 5/6, 5/8, etc. (chap. IV, $ 14). La dissonance de seconde apparaît même, si l'on néglige les oclaves (conformément à la pratique, et aux « lois de la fusion » de Slumpf}, dès le cinquième degré : 1/9, avec 1/5, 3/4, 1/16 (!)

(2) V. Descartes, Regulæ ad direclionem ingenii, Reg. VI-VIT. — La pratique excluant justement, en fait, les formes « complètes » des accords, Euler l'en excuse par la difficulté d'accorder Lous les instruments et l'impossibilité de percevoir les sons extrêmes (chap. IV, $ 32). Quant à l'oclave, elle doit parcourir, en se redoublant, lous les dégrés de la consonance el de la dissonance ! Plolémée, le premier, a consacré définitivement la règle contraire : aussi Euler lui reproche-t-il celte vérité! (chap. IV, S 18).

elles ne sont plus perçues comme sons. Voilà autant d'emprunts cachés à l'expérience, et de dérogations aux mathématiques ().

Indéterminée dans ses résultats, la théorie des nombres simples n'est pas, ne peut pas être exacte dans ses applications. En effet la simplicité absolue n'est jamais réalisée dans la nature, ni même dans l'art; toujours une légère déviation vient altérer les applications du calcul. Or ce sont les altérations physiques les plus minimes qui créent les rapports arithmétiques les plus compliqués. Si la relation d'octave 200/100 est très simple, le rapport 200/101 est très complexe. La différence ne sera pourtant pas remarquée : infiniment moins à coup sûr que le passage à la relation beaucoup plus simple 300/100. Ce n'est donc pas la simplicité mathématique du rapport qui définissait sa consonance.

Cependant celte critique, devenue banale, reste toute négative. Les Leibniziens auraient beau jeu à répondre que précisément la confusion enveloppe et même implique la contradiction; et qu'un rapport, pour être musical et même en général pour être esthétique, doit être perçu confusément et non aperçu clairement. Il est donc de son essence de pouvoir contenir des dévialions inaperçues. Mais sous une forme plus moderne et plus posilive, l'objection est sans réplique. En fait le rapport « faussé » par une augmentation légère : 201/100, n'est pas seulement toléré, il est toujours préféré, ou même exigé par l'oreille. Ces dévialions régulières supposent une cause régulière, c'est-à-dire l'intervention de facteurs plus complexes, sans doute physiologiques ou psychalogiques, et que la théorie abstraite ne veut pas, ne peut pas connaitre.

Tandis que ce qui frappe dans la théorie pythagoricienne, c'est l'exactitude de certaines applications, iei c’est l'inexactitude. Or, elle n’effleure pas seulement quelques détails superficiels : l'étude du tempérament et des rapports de l'harmonie avec la mélodie montrera qu'elle atteint le principe même de la doctrine. « Ce n'est pas l'idée de la musique qui entre en conflit avec la pratique artistique ; c'est au contraire la divergence de la pratique par rapport à la théorie mathématique et physique, qui est un élément constitutif, une partie intégrante et nécessaire de l’idée de la musique » (?).

Ce mélange confus de vérilés et d'erreurs dans la doctrine

() Préf., p. 195 chap. IX, XT; IV, S45;V, $3 et s., S 9: IT, 8 20, (1 P. Moos, L. c. (à propos de l'éclectique G. Engel), p. 264. V. plus bas, part. IV, chap. [. ‘

d'Euler résulte enfin du caractère tout conventionnel de sa formule mathématique : comme toute hypothèse trop abstraite, elle donne indifféremment le vrai et le faux; et c'est à l'expérience de faire le départ. Le prestige de celte méthode, en apparence toute mathémalique, fait illusion sur sa véritable valeur : Euler est en réalité comme philosophe dans le même embarras que Spinoza, qui de l'idée de Dieu prétend déduire le monde, et plus spécialement notre monde. Comme savant, il est dans la situation de tous les physiciens, qui ne déduisent pas, mais construisent leur science sur des propositions mathématiques, d'après les suggestions de l'expérience, Le prétendu développement mathématique et déductif de leurs principes n'en peut être que l'analyse; et c'est, à chaque pas en avant, l'admission de nouvelles conventions nécessairement expérimentales qui fait la synthèse, c'est-àdire qui produit tous les progrès de la pensée (!).

Effectivement, l'établissement de la formule d'Euler n'est rien moins que déductif malgré l'apparence. À l'examiner de près on s'aperçoit qu'il ne suppose pas moins de huit conventions successives, qui sont autant de solutions de continuité dans la série des déductions, autant de pas en avant faits dans le domaine de l'expérience ou de la convention. Ce sont d'abord des évidences, qui sont gratuites et que leur simplicité seule suggère (?). Ce sont ensuite des conventions ou définitions, qui sont arbitraires et que d'autres pourraient fort bien remplacer (*). Quelques-unes sont même directement contraires aux conventions reçues dans la mathématique abstraite : par exemple la définition fondamentale du plus petit commun multiple (*). Ce sont enfin des analogies; elles sont tantôt d'ordre mathématique : entre les propriétés d’une progression donnée et celles d’une progression de base différente,

(1) V. p.ex. H. Poincaré, La science et l'hypothèse, 1902; P.Duhem, La lhéorie physique, 1906, etc.

(2) « Non est dubium », chap. Il, $ 21; « manifestum est », $ 24.

(3) « Facimus », chap. II, $ 22, 23; « licebit, licet », $ 24, 25. — Ainsi celle convention générale qu'on peut dégager : quand les rapports sont en proportion géométrique, les degrés sont en proportion arithmétique. Ou celle qui fait de l'unisson 1/1 la première « consonance », c'est-à-dire de la puissance 0, l’unilé de la progression de base 1/2.

(#) «Il y a plusieurs manières de le trouver; et celle-ci est celle qui présentera la plus grande utilité pour notre but » (chap. IT, $ 32). P. ex., sip, q, r, s, désignent des nombres premiers représentant des vibrations, l'accord 1/pr/qgr/ps a pour degré celui depqrs, el non celui de p? r? gs, que semblent indiquer les règles recues en arithmétique (chap. IT, $ 29).

LaLo

ce qui est un scandale pour le mathématicien ("), en mème temps qu'une proposition contestable pour le psycho-physicien (?); tantôt d'ordre psychologique : à savoir des appels à l'induction ou à une expérience d'ailleurs grossière, comme la comparaison des consonances avec des figures tracées (?).

Ainsi le vice capital de la doctrine et qui semble avoir entrainé tous les autres, c'est l'indétermination, c’est-à-dire l’abstraction qui s’ignore comme lelle et veut s'appliquer directement aux faits concrets d'un ordre supérieur et spécifique.

Il fallait bien que de toutes les conventions numériques possibles, l'une fût plus près de la réalité que les autres. Euler a choisi celle qui lui a paru la plus exacte (*). Et ils'est accommodé d'elle, de facon à la faire réussir à tout prix : avec les mathématiques et au besoin contre elles. Aurait-il mieux réussi avec une autre ? car une infinité en sont possibles. Mais cette impuissance des systèmes abstraits dépend non des systèmes, mais de leur abstraction. Elle est donc définitive,

Une méthode en apparence toute différente, puisqu'elle se présente comme purement expérimentale, a conduit de nos jours à des résultats assez voisins, ce qui ferait volontiers soupconner que la même superstition des nombres simples a dû persister à la base des expériences elles-mêmes.

Max Meyer croit remarquer qu'en fait la conclusion d'une mélodie doit obéir à deux conditions pour être jugée satisfaisante.

La première est psychologique : c'est « l'effet de l’inflexion des-

(*) Chap. IT, $ 25 : le degré m de 1/pq surpasse le degré de 1/p de la même quantité que le degré de 1/p surpasse celui de 1/1; donc mm — p = q — 1 et m — p +qg—1;v.S26-7-8; chap. IV, $ 65.

(2) « J'ai adopté par préférence celle distribution des degrés, d'autant mieux qu'ils présentent un progrès égal dans la facilité de la perceplion.. Mais, entre eux, je n’admetls pas l'interposilion de degrés intermédiaires, où x serait un nombre fractionnaire, parce que, dans ce cas, le rapport est irralionnel, el, par suite, non perceptible » (chap. IT, $ 23; v. 24, elc.). Sur la question de l'égalité et de l'addition des élats de conscience, v. p. ex. H. Bergson, Données immédiates de la conscience, part. 1; M. Foucault, La psychophysique, 1901, p. 267 ets.

(#) « Licebil statuere aliquid ex induclione » (chap. [T, $ 24). On sait que pour Euler il ÿ a un minimum d'expérience à la base des mathématiques pures ellesmêmes, Voici quelques-unes des figures invoquées (chap. IT, $ 22) : 4/L (...… ), 2/1

(‘) Descartes à été moins heureux en définissant, sans doule sous l'empire de suggestions historiques, l'agrément par la proportion arithmétique (comme ?, 3, 4), à l'exclusion des rapports géométriques el incommensurables (comme 2, V8, 4). (Compendium, 8 2; v. E. Mercadier, Les théories musicales de Descartes, Rev. d'hist. et de crit. mus., 1901, p. 136; A. Pirro, Descartes et la musique, 1907).

cendante », agissant comme une rémission de l'attention ou de l'activité mentale, que le mouvement ascendant exalle au contraire. Le cours d'une mélodie est ainsi une alternative d’excitations et de relàchements de l’attention; et, sauf exceptions intenlionnelles, ilne peut finir normalement que par un repos.

La deuxième loi, celle de « l'effet de tonique », est « d'ordre acoustique ». Elle décrèle que ce mouvement et ce repos se réalisent par le passage d'un son qui n'est pas représentable par 2 ou 2", au son 2 ou à l'une de ses puissances, qui seuls sont des notes de repos, ou « toniques » (!).

Toutes les autres explications proposées, par exemple le passage d'un son harmonique au fondamental, ne sont que des cas particuliers et superficiels de ces deux lois essentielles (?).

En fait, « l'échelle musicale complète est représentée par les séries infinies de tous les composés des puissances de 2, 3, 5 et 7 ». On peut constater que toutes les puissances de 2 sont usilées; celles de 3, jusqu'à la sixième seulement ; les trois pre-

mières de 5 et la première de 7 sont seules en usage (*). Les

(!) Ch. Meerens avait déjà présenté, sur la valeur tonique du nombre 2, des considérations voisines (Hommage à la mémoire de M. Delezsenne, Société des sciences de Lille, 1869).

(2) M. Meyer, Conlribulions Lo a psychological theory of music, Universily of Missouri studies, I, I, p. 80 et s.; Experimental sludies in lhe psychology of music, American journal of psychology, XIV, 1903, p. 456-8. — Une troisième loi serait la réduction des octaves, qui facilite la formation de touts psychologiques. On peut isoler expérimentalement ces trois éléments : si l’on produit successivement les trois sons sans tonique 3, 5, 7 (ou leurs oclaves), c’est le plus grave que 57 0/0 des sujets observés préfèrent comme conclusion. Si l'on introduit le son 2 (ou ses puissances) dans la série 2, 3, 9, au grave ilobtient 86 0/0 des préférences; au médium, 70 0/0; à l’aigu, 7 0/0 seulement, sans doute parce que le troisième facteur est venu dissocier la représentation totale en deux touts indépendants : 3-2 el 9-3 (Exper. studies, p. 459-61).

(#) Meyer, Elements of psychological lheory of melody, Psychological review, VII, 1900, p. 250, 252. Voici le tableau résumé de « l'échelle musicale complète » (?) ainsi obtenue, én sous-entendant le facteur 2, et tenant 1 pour 20 (EL. c., p. 251. — V. des analyses de mélodies complexes, p. 252-271).

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