Les nombres

Parmi les classes ordonnées en série linéaire, il en est une particulièrement importante, celle des nombres naturels. On l'établit de la manière suivante.

Dans les choses qui font partie d'une classe, on commence par faire abstraction de la diversité J: c'est-à-dire que Ton décide, quoiqu'elles soient différentes, de ne pas faire attention à leurs différences. On considère alors un terme de la classe, et l'on en forme une classe à part ; ici, il est indifférent de choisir celui-ci ou celui-là, puisqu'on les regarde tous comme semblables. On continue en ajoutant un nouveau terme et l'on donne encore le caractère d'un type spécial à la classe ainsi constituée. Puis on répète l'opération, on forme le type correspondant — et ainsi de suite. L'expérience enseigne que jamais il ne s'est présenté d'obstacle à la formation de types toujours nouveaux de ce genre, par l'addition continue des termes. Aussi peut-on considérer comme illimitée ou indéfinie l'opération par laquelle on forme cette sorte de classe.

Les types ainsi constitués ont reçu le nom de nombres naturels. Étant donné le procédé de formation que nous venons de décrire, il en résulte que tout nombre a deux nombres voisins de lui, l'un, de qui il a été formé par addition d'un terme, l'autre qui est formé de lui par une addition du même genre. Seulement, pour le nombre un, qui commence la série, cette propriété est donnée sous une forme spéciale, puisque la classe précédente est la classe zéro, c'est-à-dire une classe sans contenu. C'est de là que résultent les particularités de ce nombre;

mais nous ne pouvons nous étendre ici à ce sujet. Suivant une remarque faite plus haut (p. 64), quand on ordonne dos nombres, on n'établit pas seulement pour chacun un rapport déterminé avec leprécédent ; mais les multiples rapports que ce nombre a de son côté avec tous les nombres antérieurs ont leur action sur la relation nouvelle. Il résulte de là une extraordinaire complexité de relations et de lois entre les différents nombres, et la recherche en fait l'objet d'une science étendue.