Arithmétique, algèbre et théorie des nombres

Grâce au système régulier que représente la série des nombres, on peut arriver à établir par des recherches convenables quantité de propriétés particulières. Ce travail se poursuit avec un caractère purement scientifique, c'est-à-dire sans but technique spécial; il a pourtant une extraordinaire importance pratique, parce qu'il pose une fois pour toutes, et permet d'appliquer immédiatement toutes les possibilités qui se rapportent à la mise en séries et à la division des choses susceptibles d'être comptées; et ainsi l'on peut, dans chaque cas particulier, s'en rendre maître sans nouveau travail. C'est précisément en cela — on Ta déjà montré dans une autre circonstance — que réside l'importance de fait des sciences théoriques : aussi doit-on les pousser, pour cette raison pratique, jusqu'au plus haut degré possible de généralité.

La science dont nous venons de parler est Yarilhmé tique.

Une importante généralisation la conduit à faire

abstraction, dans le calcul, des nombres particuliers qui avaient servi à mener le calcul môme; on y substitue des signes abslrails sur lesquels on travaille, et qui gardent leur valeur pour tout nombre que ion veiil. A première vue, cela paraît assez superflu, puisque dans tout calcul réel, il faut tout de même réintroduire les nombres. Mais voici ce que l'on y gagne : dans les calculs analogues, chaque pas qu'il faudra faire se trouvera formellement réalisé une fois pour toutes, si bien que l'introduction des valeurs numériques ne sera requise qu'au moment de trouver le résultat final; on n'aura pas besoin d'y recourir à chaque degré. D'ailleurs les lois générales des combinaisons numériques apparaissent bien plus clairement : car, parce que l'on conserve les signes, on fait immédiatement ressortir comment les conclusions se construisent avec les éléments qui y entrent. C'est ainsi que sous le nom d'algèbre, le calcul des grandeurs abstraites ou générales s'est développé pour constituer un domaine étendu et important dans l'ensemble des mathématiques.

Sous le nom de théorie des nombres on comprend enfin la partie la plus générale de l'arithmétique ; elle a pour objet les propriétés du « corps de nombres » régulièrement formé.