La comparaison
Si nous avons deux classes, A et B, et que nous en coordonnions les termes un à un, il peut se présenter trois cas. Ou bien la classe A est épuisée quand il reste dans B des termes disponibles, ou bien B s'épuise par la coordination plus tôt que A, ou enfin les deux classes comportent une coordination réciproque de tous leurs termes. Dans le premier cas, la classe A est dite plus petite que B (en prenant le mot « petite > dans son sens le plus général) ; dans le second, la classe B est plus petite que A dans le troisième, on dit que les deux sont égales. Il faut regarder comme équivalentes les expressions : A est plus petit que B, et B est plus grand que A ; et réciproquement.
Il y a lieu de remarquer que les rapports exprimés à l'instant valent également, soit que l'on considère les termes comme différents et isolés les uns des autres, soit que l'on en néglige les différences pour les traiter comme semblables. Cela résulte de ce que Ton peut transposer tout ordre, déterminé dans une classe, en n'importe quel ordre possible : car on échange les termes par paires. Il s'ensuit
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que toujours ils se remplacent un à un, et ainsi il n'y a jamais de vide. C'est pourquoi la classe peut être coordonnée dans un nouvel ordre à une autre classe, avec le môme succès que dans l'ordre ancien. Du même coup, nous établissons que si l'on coordonne une classe à elle-même, sans tenir compte de l'ordre de ses termes, elle doit apparaître comme semblable à elle-même.
Lorsqu'on a réalisé des coordinations de classes, on se convainc de l'exactitude des propositions suivantes :
Si la classe A est et que celle-ci soit la classe A est
plus grande que
égale à plus petite que plus grande que
égale à plus petite que plus grande que
égale à plus petite que
la classe B, la classe C, la classe C.
Il résulte de là que si l'on a un ensemble arbitraire de classes finies, dont aucune n'est égale aux autres, on peut toujours les ordonner de façon que la série commence à la plus petite pour finir à la plus grande, et que toujours elles se suivent dans l'ordre d'une progression croissante. On ne peut ordonner ainsi qu'en un seul sens les classes données, c'est-à-dire qu'il n'y a qu'une série possible avec cette propriété. Comme nous allons le voir, le série des nombres naturels est le type le plus pur d'une série ainsi ordonnée.
Supposons maintenant que l'on collationne deux classes illimitées en les coordonnant, nous pouvons
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dire que jamais l'une des classes ne sera épuisc^c tant que l'autre renfermera encore des termes: aussi pourra-t-on dire de deux (et, si l'on veut, de plusieurs) classes illimitées et infinies, qu'elles sont comparables l'une à l'autre. Mais si, d'autre part, il est vrai que dans les deux classes les termes sont coordonnés un à un, cela n'a pourtant plus de sens déterminé, parce que ces termes sont en quantité illimitée. La définition de légalité est ainsi incomplètement réalisée^ et l'on ne peut appliquer aux classes infinies, sans nouveau travail, l'expression valable pour les classes finies. La réflexion que nous venons de faire, et à laquelle on peut, suivant les circonstances, donner des formes très différentes, explique les « paradoxes de l'infini >, c'est-à-dire les contradictions qui se dressent quand on applique des concepts d'un contenu déterminé aux cas où il nous est donné partiellement un autre contenu. Si l'on veut tenter quelque chose de ce genre, il faut chaque fois entreprendre une recherche spéciale, pour établir comment les relations se transforment par la transformation de chaque contenu de concept (ou de chaque hypothèse); — et l'on doit en général s'attendre à ne pas retrouver sans changement la valeur des relations antérieures.
Ces considérations nous apprennent comment s'emploie le procédé de la coordination pour acquérir quantité de propositions fondamentales, susceptibles d'applications multiples. Il ressort déjà de là la grande importance de cette méthode ; nous reconnaîtrons plus tard que la signification en va beaucoup plus loin encore. Toute la méthodologie de Vensemble des sciences repose sur l'emploi le plus complexe et le plus varié du procédé de la coordination, et nous aurons des occasions incessantes de
Tutiliser de plus en plus. En un mot, on en peut caractériser la portée en disant que c'est un moyen général d'établir des connexions dans l'ensemble de notre expérience.
