La mesure

A l'idée de compter répond celle de mesurer. Mais les choses étaient du premier point de vue considérées comme séparées, et la classe formée était ainsi un système composé d'éléments discontinus ; au contraire, mesurer, c'est justement coordonner des nombres aux choses continues, ce qui revient à leur appliquer un concept formé dans l'hypothèse de la discontinuité.

La difficulté, qu'il y a de façon ou d'autre à faire cette application, ressort de la nature même du problème. On s'en rend compte par ce fait caractéristique, que toute mesure apparaît comme une opération qui ne se termine ni ne peut se terminer. Il faut donc à bon droit voir dans l'application de la mesure le résultat d'un des plus importants progrès qu'ait réalisés la pensée humaine, et les difficultés théoriques deviennent ici pratiquement négligeables

Représentons-nous une opération quelconque de mesure : par exemple déterminer la longueur d'une bande de papier. On place sur la bande une mesure étalon divisée en millimètres (ou en d'autres unités) et l'on détermine la division à laquelle finit la bande. Il peut se faire que celle-ci ne corresponde pas exactement à une division, mais se termine entre deux raies voisines. Et quand l'étalon porterait des divisions dix et cent fois plus petites, cela n'empêcherait pas encore le fait de se produire. Au microscope, on ne voit pas en général l'extrémité d'une ligne correspondre à une division. Tout ce que l'on peut faire, c'est de limiter la proposition énoncée en disant que la longueur doit être comprise entre n et rk-{- \ unités; et même en énonçant un nombre déterminé, l'homme qui a une culture scientifique complète le nombre qu'il utilise par le signe ± e, où e représente Terreur possible, c'est-à-dire la limite à l'intérieur de laquelle peut varier l'erreur liée au nombre.

On reconnaît tout de suite que le concept caractéristique de seuil, qui a conduit à la notion du continu, est également valable pour le rapport du continu au nombre discontinu. On peut à volonté pousser l'adaptation de l'un à l'autre jusqu'au point et dans la mesure où l'on est capable d'abaisser le seuil, mais on ne peut en principe réduire celui-ci à néant.

La mesure a ainsi pour objet de rendre les opérations numériques applicables avec tous leurs avantages (cf. p. 85) aux choses continues, qui, comme telles, se refusent par nature à la réduction au nombre. On commence par poser artificiellement une discontinuité en appliquant l'unité de mesure et en divisant la chose en parties sembla-

Ï.OGIQUE ET MATIIliMATIQURS 107

bles à l'unité, ou en pensant cette division; puis on compte les parties. Quand on mesure une certaine quantité de liquide en l'épuisant avec un litre, on emploie [un procédé général de nature physique. Dans d'autres méthodes, moins directes, le procédé physique est remplacé par des moyens de môme valeur et plus faciles à réaliser. Ainsi dans l'exemple qui nous a servi plus haut, de la mesure d'une bande de papier, on renonce à découper la bande en morceaux d'un millimètre de long. Par contre on a à sa disposition dans les divisions de l'étalon le moyen d'établir par comparaison les longueurs, pour chaque quantité de millimètres à considérer; il suffit pour cela de lire à la graduation portée sur la mesure la somme de millimètres égale à la longueur du papier ; et c'est assez pour conclure que l'on pourrait diviser la bande en un nombre égal de parties longues d'un millimètre.

Quand on a de cette façon transformé le continu en une quantité qui se compte, on peut soumettre les nombres obtenus à toutes les opérations de calcul, dont le développement n'était d'abord possible que pour des choses discrètes, qu'on peut directement compter. Et si l'on veut penser que notre connaissance des choses nous en a toujours donné la plus grande partie comme conliniie, on se rendra compte de l'importance du progrès que la découverte de la mesure a fait faire à l'homme pour la domination intellectuelle de notre expérience.