La fonction

Le concept de continuité permet de former un concept dérivé, d'une grande généralité, où l'on

doit voir une extension du concept de cause. (cf. p. 32). Celui-ci nous est apparu à son tour comme une expression de l'expérience : si A est, B est. Mais on y comprenait, sous l'idée de A, une chose déterminée, pensée comme invariable. Il peut se faire à l'inverse que A soit variable, et représente un concept caractérisé par des attributs perpétuel* lement changeants. Alors B sera, en général, d'une nature analogue, et à chaque valeur particulière ou à chaque étal de A correspondra une valeur particulière ou un étal de B.

Nous avons ainsi, au lieu du rapport réciproque de deux choses déterminées, le rapport également réciproque de deux classes plus ou moins étendues de choses semblables. Si ces choses sont continues, comme on l'a supposé ici (et c'est ce qui se présente souvent), les deux classes ou séries renferment, quoique limitées, un nombre indéfini de cas particuliers. Ce rapport de deux variables s'appelle une fonction. Si ce concept est utilisé tout spécialement pour les rapports réciproques de choses continues, rien n'empêche pourtant de l'appliquer au discontinu, et Ton distingue en conséquence des fonctions continues et des fonctions discontinues.

On réalise un très important progrès intellectuel, quand on comprend les rapports réciproques des séi'ies ou classes dans leur ensemble, au lieu de se représenter seulement les relations des choses une à une : on trouve là une caractéristique très expressive de la pensée scientifique moderne, comparée à la pensée ancienne. Là où le géomètre antique ne connaissait à peu près que les triangles acutangles, rectangles et obtusangles, et en traitait isolément, le géomètre moderne se représente les côtés du triangle en partant de l'angle nul pour parcourir

tout le cliamp des angles possibles. En conséquence il ne s'cnquieit pas, comme son collègue antique, des propositions particulières qui correspondent aux cas particuliers, mais il demande quelle relation continue il y a entre les côtés et l'angle, et ses recherches ont pour résultat que les cas particuliers se développent d'eux-mêmes. Il arrive par là à une vue beaucoup plus profonde et de portée bien plus large sur l'ensemble de la relation donnée.

C'est tout spécialement en mathématiques que l'introduction du concept de continu et de celui de fonction, qui s'appuie sur le premier, a exercé une influence extraordinairement profonde. Le premier résultat de ce progrès fondamental a été ce qu'on appelle Vanalyse supérieure ou analyse de l'infini ; la théorie des fonctions, au sens le plus général, en est sortie plus tard. Et voici d'où vient ce progrès : au lieu de considérer les grandeurs qui entrent dans les formules mathématiques comme des valeurs déterminées, ou à déterminer d'une façon relativement arbitraire, on y voit des variables^ c'est-à-dire des valeurs qui peuvent parcourir toutes les quantités possibles. Représentons le rapport entre deux choses par la formule symbolique B = f (A), qui se traduit : B est fonction de A; d'après les idées antiques, on se figurait A et B comme des choses isolées ; suivant les idées modernes, ce sont des séries inépuisables de possibilités, contenant tous les cas particuliers que l'on peut penser, et qui sont liés à des cas correspondants.

Voilà l'acquisition essentielle que nous vaut le concept de continu. Sans doute, on introduit en même temps dans le calcul les contradictions signalées, que l'on remet sans cesse en question par les discussions toujours reprises sur la signification de

rinfiiiiment grand et de l'infiniment petit. Mais certains auteurs, et en particulier, Leibnitz ont introduit une forme de calcul qui utilise les différenlielles, c'est-à-dire des grandeurs infiniment petites qui gardent dans la plupart des conditions le caractère des grandeurs finies d'où on les suppose dérivées : nous savons que ce procédé a été fécond en résultats réels, quelque difficulté qu'il y ait pour la pensée à l'interpréter et à s'en rendre maître. Nous comprendrons aussi bien que possible cette différentielle en y trouvant une expression de la loi du seuil : car c'est cette loi qui nous a permis de poser le rapport du continu au discontinu, ou Ta rendu possible.