La première méihode de Thomson (§ 26) consistait

à appeler différences égales de températures celles de la source et du réfrigérant dans une machine réversible, lorsque la proportion pour cent du travail produit par une quantité de chaleur donnée reste la même. Mais cette définition a Tinconvénient de fournir une échelle qui dififère beaucoup de celle des thermomètres à mercure ou à air, et des autres thermomètres ; les degrés ainsi définis correspondent sur le thermomètre à air à des intervalles de plus en plus grands à mesure que le température s'élève. En outre, sur cette échelle la température d'un corps entièrement privé de chaleur serait représentée par l'infini négatif.

170. L'observation de Joule (§ 47, note, 64) sur la forme probable de la fonction de Garnot, lorsque la température y est exprimée en degrés du thermomètre à air, devint plus tard la bascde la définition suivante de la température absolue.

La fonction de Carnot est inversement proportionnelle à la température comptée du zéro absolu.

171. Thomson a énoncé ce théorème sous une autre forme, en apparence différente ; mais nous verrons plus loin (§ i75) que c'est en réalité la même proposition. Il dit: a Les températures de deux corps sont proportionnelles aux quantités de chaleur reçue d'une source à la première température et versée dans une autre source à la seconde température , par un système matériel soumis à un cycle complet d'opérations thermodynamiques exactement réversibles, et ne pouvant ni recevoir ni céder de chaleur à toute autre température » : ou a les valeurs de deux températures sont entre elles comme la chaleur reçue est à la chaleur cédée à une .machine thermodynamique parfaite, animée par une source et un réfrigérant maintenus respectivement à la plus haute et à la plus basse des températures mises en jeu (1).

(1) Trans. R, S. £. Mai 1854.

— lafe —

J72. Ainsi définie, l'échelle absolue de température est d'une importance immense. Elle est indépendante de la substance sur laquelle on opère, nos recherches théoriques sont alors extrêmement simplifiées, et la nouvelle échelle, comme Joule et Thomson l'ont démontré expérimentalement, ne diffère que légèrement de celle du thermomètre à air ordinaire.

173. Si l'ûiî v.^^oduit les données du § 7H dans la figure du § 166, la définition du § 171 donne

d'où T,-T.=T. '

Bp'

• Bs' ' ■• — •• BP'*

Mais si T est la température de la vapeur saturée sous la pression de 760 millimètres de mercure à la latitude de 45®, et To celle de la glace fondante, nous aurons, par définition,

T, — T. «100, d'où

Des expériences faites sur une substance quelconque permettront de déterminer T,. Sa valeur est probablement plus près de 274 que de tout autre nombre entier.

174. Si simples que soient ces procédés géométriques, la méthode analytique suivante est en réalité plus simple encore. Admettons que dq^ la quantité de chaleur nécessaire pour produire les variations infiniment petites dv et dt du volume V et de la'température t du corps en expérience, soit donnée par l'équation

(1) dg = Mdv-hNd^

Alors le travail extérieur total développé par la substance, moins l'équivalent dynamique de la chaleur fournie, est

(2) pdv — J(Mdv4-Nd<),

p étant la pression (1) à laquelle est soumise la substance agissante.

Il en résulte que le travail total produit pendant une série quelconque de variations est donné par Texpréssion :

/[(p — JM)dv-JNdq,

dans laquelle, pour qu'elle puisse représenter un cycle défini, t devra être exprimé en termes de v ou réciproquement. De plus, la première loi de la thermodynamique nous montre que dans tout cycle complet quelconque le travail

(1) On peut démontrer comme il suit que pdv est le travail produit pendant que le volume passe àe vkv-^-dv^ sous la pression p. Soit n la dilatation normale infiniment petite en un point quelconque de la snrfaoe qui limite le corps, alors racoroissement total du volume est:

dv=zj j ndS,

dS étant un élément de la surface limite. Mais puisque la pression est la mSme partout, nous tirons de cette équation :

pdv=: p I I ndS= / / npdS.

L'expression du second membre représente le travail total développé par la force extérieure pdS sur chaque élément de la surface agissant le long de l'espace n, qui est le déplacement de l'élément dans la direc* tiondelaforoe.

extérieur développé est égal à la chaleur qui a disparu : de sorte que l'intégrale précédente (3) doit s'évanouir pour un cycle complet, quelle que soit la relation entre v et t. Il en résulte que la quantité sous le signe d'intégration doit être la différentielle exacte d'une fonction des deux variables indépendantes t; et /; ce qui donne de suite la condition :

ou ' «

^*^ dt \dt dvj'

c'est l'expression analytique complète de la première loi.

Nous voyons, § 162, que la seconde loi peut être mise sous la forme :

dv m

en adoptant la définition de la température du § 170.

Les équations (4) et (5) contiennent la théorie tout entière.

175. Nous allons maintenant chercher la quantité de chaleur nécessaire pour produire une quantité donnée de travail dans les diverses conditions de température qui peuvent être assignées.

Considérons qu'une machine, dont l'échelle de température est comprise entre des limites finies, soit formée d'un nombre infini de machines opérant entre des limites infiniment rapprochées, et mkni q-^dq et q les quantités de chaleur reçue et cédée par celle de ces machines composantes dans laquelle la substance en action est à la température t.

D'après la première loi, le travail développé est

idq;

— 13» — d'après la seconde loi, ce même travail (§161) est

JCqdty ou, d'après le § 170,

iqdL

On aura donc, en égalant ces valeurs d'une même quantité fournies séparément par les deux lois,

dq dt

q est donc proportionnel à ^, c'est-à-dire que l'on a

A étant une certaine constante.

Ainsi, dans une machine réversible opérant entre des limites finies de température, avec ç^o unités de chaleur reçues à la température t et ^unités cédées à fit température plus basse ^, nous avons (comme dans le § 17i) :

Le travail est évidemment :

expression que l'équation (6) nous permet de mettre sous cette forme

— rto —

et nous voyons, comme dans le § 54, que pour obtenir le rapport de la chaleur convertie en travail utile à la chaleur prise à la source, il faut diviser la différence des températures extrêmes par la température absolue la plus élevée. Ce rapport, purement numérique, est quelquefois appelé le rendement de la machine ; mais le plus habituellement les ingénieurs estiment la puissance effective d'une machine par le nombre de kilogrammètres obtenus pour chaque kilogramme de charbon brûlé, ce qui devient une quantité bien plus complexe.

i76. L'importante équation (6) a reçu de celui qui la découvrit (1 ) l'extension suivante. Si un système matériel est mis en action d'une manière continue et réversible, ou soumis à un cycle complet d'opérations exactement réversibles, les quantités de chaleur qu'il absorbe à différentes températures doivent satisfaire à une équation linéaire homogène dont les coefficients sont les réciproques de ces températures. En désignant par Çn la chaleur absorbée à la température tn [qui sera considérée comme négative si la chaleur est cédée], ce théorème est exprimé par la formule.

It *a *3 ftn

Pour le démontrer, concevons maintenant en outre du système donné une machine cédant une quantité q^ de chaleur à la température t^ et absorbant la quantité correspondante

(1) Trans. R. S. E. (mai) 1854. Voir aussi Proc. R. S. E.,àéQ, 1861, ou PhiL Mag,f 1862; Meohanical Théory of Thermo-electrio Gurrents, Eq. (b).

-^ 9^, à la température /, ; puis une seconde machine cédant la quantité -^qi+Çi à la température /„ et absorbant la quantité correspondante t^ [^4.&] à la température tt\ puis une troisième cédant ti {2i -f-^J H- g, à ^„ et absorbant la quantité correspondante t^ \t"^t"^t)^ '*' ®*

ainsi de suite. Ces n — 2 machines constituent un système matériel qui par des opérations réversibles peut produire une cession de chaleur 7, à la température ti, qt à tty çn^t à /n-2 ; et une absorption

à la température tn^u Cela posé^ ce système constitue avec le premier un système complexe qui ne peut, en définitive, absorber ou émettre de chaleur ni aux températures ^„ ^3, etc., ni à toutes autres températures que tn^i, ^«; mais donnant naissance à /n-i à une absorption ou à une cession égale à

et à /n à une cession ou à une absorption égale k±:qntn' Ce système complet satisfait au critérium de réversibilité ; et comme il n'a que deux températures aux lieux où la chaleur est absorbée ou cédée^ il est assujetti à la seconde loi exprimée par la formule (6); de sorte que nous devons

avoir

équation qu'on peut considérer comme Texpressioii générale de la seconde loi de la thermodynamique. L'expression correspondante de la première loi est

dans laquelle W représente la quantité totale du travail dépensé dans la production des opérations.

Pour pouvoir les citer plus facilement, nous mettons ces formules sous la forme concise suivante :

(8) W-*-Jsg = 0,

Si la machine ouïe système n'est pas réversible, cette derrnière équation n'a plus lieu. Dans ce cas, le second membre est évidemment positifs si l'on considère la chaleur absorbée comme positive, et si l'on admet que la machine soit de celles où le travail est produit par la chaleur.

177. Si nous supposons que les températures des différentes parties du corps qui travaille varient par degrés insensibles pendant les opérations, il est évident que nous devons écrire la formule (7) sous la forme :

en supposant que les cycles soient réversibles.

Cette intégrale est d'une iuipprtance remarquable dans la théorie de la chaleur. Mais avant d'en entreprendre l'étude, il sera bon d'envisager avec Thomson le sujet sous un point de vue quelque peu différent.

178. La valeur dynamique réelle d'une quantité dq de chaleur est Jrfy, quelle que soit la température du corps. Mais la valeur pratique est seulement (§§ 54 et 175) :

dqy

t étant la température du corps chaud, et t^ la température la plus basse à laquelle il puisse descendre. Cette valeur peut s'écrire sous cette forme :

Idq — J^ ^^

Donc, dans un cycle quelconque, si q\ désigne la chaleur totale absorbée et q^ la chaleur totale cédée, la valeur effective est

Hq^-q^)-}uf^"

Cela posé, si le cycle est réversible, la valeur effective est

J [qx — g.) ,

d'après la première loi ; de sorte que dans ce cas particulier

(*) Nous nous sommes servis de la notation dq pour désigner un élément de chaleur, quoique q lui-même ne soit pas exactement défini, parce qu*an cbangement^ans la notaiion, adoptée daos les sections précédentes^ pourrait embarrasser le lecteur. Il serait peut-être mieux d'écrire qdx^ au lieu de d^, t représentant le temps; ou bien de prendre dans Tinté-

Mais, en général, cette intégrale a une valeur finie positive, parce que dans les cycles non réversibles la valeur ef* fcctive de la chaleur est toujours moindre que

J toi — g.)-

II en résulte que la quantité de chaleur perdue sans nécessitéy c'est-à-dire qui n*est absorbée ni par le réfrigérant ni par la production de travail est

Telle est l'expression de Thomson {i) pour la quantité de chaleur dissipée pendant le cycle. Elle est évidemment une conséquence immédiate de l'importante formule par laquelle il exprime le travail d'une machine parfaite (§ 175).

Il est vraiment à désirer que nous ayons un mot pour exprimer taptitude [availability] à être convertie en travail de la chaleur emmagasinée dans une substance donnée, c'est-à-dire un mot exprimant la possession de la chaleur dont la perte est s.fçe\ée dissipation. Malheureusement, l'excellent terme entropie, Introduit dans ce but par Clausius, a été pris par lui dans une acception qui est la négation de l'idée qu'il s'agit d'exprimer. D'un autre côté, ce serait porter la confusion dans l'esprit de l'étudiant que de chercher à créer un autre mot, et cependant la nécessité d'une expression de ce genre est rendue évidente par les belles application que nous allons en faire ; nous prenons donc la liberté d'employer le mot entropie^ dans le sens opposé de celui de Oausius.

grale la température f eUe-même pour variable indépendante, comme on l'a fait dans la section suivaiite.

(l) Phil. Mag* etProc, R, S, B., 1852. On a Univerial Tendency in Roture to Dissipation of Energy.

179. Si un corps irrégulièrement échauffé est renfermé dans une enveloppe non-conductrice, il y aura dissipation par conduction thermique, ' puisque toutes les parties du corps arrivent graduellement à une température commune. Thomson, en 1833 (*), chercha quelle quantité de travail on pouvait obtenir d'un semblable corps par Tintervention de machines thermodynamiques parfaites employées à ramener toutes ses parties à la même température. Nous pouvons, sans les altérer matériellement, 'donner à ses formules une forme beaucoup plus simple.

Soit dm un élément de la masse du corps irrégulièrement chauffé, t la température de cet élément et c sa chaleur spécifique. Soit T la température à laquelle tout le corps peut être amené par une machine parfaite, de sorte que toute la chaleur perdue soit convertie en travail. Alors, nous ne devons avoir en définitive aucune chaleur transmise à un corps auxiliaire de température T que nous supposons servir à la machine, soit de source de chaleur, soit de condenseur, suivant que nous avons affaire à une partie du corps qui est au-dessous ou au-dessus de la température T. Cette condition nous donne de suite l'équation :

dans laquelle la seconde intégrale s'étend à toute la masse du corps. Cette équation nous permet de déterminer T. De mènae, le travail obtenu est

W=.J Cdm C cî-^di = J Çdm Ç cdt, d'après l'équation précédente.

(*) On tbe Restoratîoii of Mechanical Energy from an nnequally heated Space. — Phil, Mag,, feb. 1853.

180. Ces formules se simplifient beaucoup si nous admettons que la chaleiu* spécifique soit indépendante de la température, car nous avons alors :

cdm log TjT

S cdm log t

W = J rcdm(t— T).

i81. Nous pouvons simplifier plus encore ces équations en admettant que le corps soit homogène, ou que c soit le même pour chaque élément, et, comme précédemment, indépendant de la température. Alors, si mi désigne un élément de masse du corps à la température ^, etc., nous aurons

s (m log 1

W=Jc[£(mO — T2m].

Lorsqu'il n'y a que deux masses égales aux températures t et t\ ces valeurs sont

T = y/ïF,

Ces derniers résultats peuvent s'obtenir aisément par un procédé beaucoup plus rapide que la méthode générale que nous venons d'exposer.

182. Nous pouvons aborder maintenant l'entropie d'un corps unique inégalement échauffé, comme aussi l'entropie mutuelle des parties d'un système. On démontre sans peine les théorèmes suivants :

L*entropie d'un système est la somme des entropies de ses parties, en y comprenant leur entropie mutuelle, lorsque leur entropie individuelle a été épuisée.

L'entropie mutuelle d'un nombre quelconque de masses égales, dont les chaleurs spécifiques ne varient point avec la température, est proportionnelle à. l'excès de la moyenne arittimétique sur la moyenne géométrique de leurs températures absolues.

L'entropie de l'univers tend continuellement vers zéro.

183. Clausius [*) qui publia, à une époque un peu postérieure, 'des résultats équivalents à ceux du § 176, appelle

une expression telle que | valeur équivalente ou équivalence

deda transformation de la quantité q de chaleur en travail, ou du travail en chaleur^à la température /• L'équation (6) devient alors le théorème de l'équivalence des transforma^ tions que Clausius formule en ces termes : Si l'on appelle équivalentes deux transformations qui, sans nécessiter aucun autre changement permanent, peuvent se remplacer mutuellement, alors la production au moyen du travail de la quantité q de chaleur à la température t a pour valeur équivalente

et le passage de la quantité de chaleur q de la température tx à la température t^ a pour valeur équivalente

Au lieu des températures absolues définies, comme plus haut (§ 170), Clausius introduit une fonction.inconnue T, de

(*} Pogg. Àmakn (Décembre) 1834.

la tenipérature, et à la fia de son mémoire il énumère {§ 48) les raisons qui lui font admettre comme probable que T est simplement la température absolue.