De l'équation
OU, comme on peut l'écrire,
Mrfv -h Mt
nous pouvonis déduire la formule (5) du § 174 en introduisant de nouveau la première loi. Cette équation, en effet, nous montre que la quantité sous le signe d'intégration est la différentielle exacte d'une fonction de deux variables indépendantes, de sorte qu'on a l'équation
qui donne
ou
dv dt t ^ ctt dt dv t
De ces dernières équations on déduit
dv'^lLdty dt) dtji
dt'*
485. D'après le § 174, il est évident que N est la chaleur spécifique à, volume constant* Pour arriver à une relation entre les deux chaleurs spécifiques, soit K la chaleur spécifique à pression constante, alors
la relation entre t; et / devant être telle que la pression soit constante ; cette condition nous donne Téquation
av ai
Éliminant les différentielles dv et dt^ nous avons
dp /dp \ '
dv dv
186. Dans le cas d'un gaz parfait nous avons par la loi de Charles combinée avec celle de Boyle
pv
d'où
Ion tire
iP = — £
dv V
et
dp p ; Pour des substances de cette nature, nous avons
donc
t t^ pv " J p^ "" Jr "
valeur absolument constante; Camot, dans son volume primitif, était arrivé à cette propriété des gaz permanents. On déduit aussi du § 184
187. Passons maintenant à quelques applications plus générales, quo Thomson a faites de la théorie dynamique aux effets de la compression et de la déformation des corps, en ce qui concerne la chaleur développée (§ 57). Nous devons, pour cela, exprimer la compressibilité , etc., au moyen des variations de volume et des forces qui les produisent.
188. Si une substance occupant le volume v sous la pression p est comprimée par un accroissement de pression ^p^ de manière que le volume devienne v + ^i?, la température étant maintenue constante, la compressibilité est
De là, si k représente la réciproque de la compressibilité, qu'on peut appeler élasticité de volume ou élasticité cubique
189. Et si e est le coefficient de dilatation cubique par la chaleur,
Ainsi
se^^
dv "dt
dp
1 dt V dp'~ dv
1 dp k dt'
190. Substituant ces quantités pour les valeurs des coefficients différentiels de /?, les équations générales des §§ 1 84
et 185 prennent cette forme plus facile à saisir
(17) JM-«(fte).
La première de ces équations met en évidence une curieuse relation entre la loi que suivent les variations de la chaleur spécifique à volume constant, lorsque le volume vient à changer^ la température restant constante, et la loi que suivent les variations de la pression à volume constant, lorsque la températnre vient à changer. La troisième nous fait connaître la quantité de chaleur développée par la compression, la température étant maintenue constante. Mais on peut l'appliquer utilement, en la combinant avec la seconde, à la détermination du changement de température produit par la compression lorsque la substance est enfermée dans un récipient non conducteur. En effet, si et est la variation de température due à la compression ^Vy nous aurons
mt = M8u,
ou S^ = lN-S«>
que Ton peut aussi écrire
^. t,kt
JK — i.fce.Ce
De Tune quelconque de ces expressions, nous concluons que, dans une substance qui se contracte en même temps que sa température s'élève, comme cela a lieu, par exemple, pour Teau, entre son point de congélation et le point du maximum de densité, une compression subite produit un
abaissement de température ; alors, en effet, $ est négatif. Une autre formule utile, donnée aussi par Thomson (*), et qu'on peut déduire immédiatement des précédentes, est celle-ci :
191. Considérons maintenant le cas où la matière sur laquelle nous opérons consiste en un mélange d'une masse 1 — a? d'un corps dans un certain état moléculaire et d'une masse x du même corps dans un autre état, à la même température, mais contenant plus de chaleur latente. Ce sera, par exemple, de l'eau et de la vapeur saturée ou de la glace et de l'eau.
Soient V et Vi les volumes de l'unité de masse du corps dans ces deux états et c et Ci leurs chaleurs spécifiques, L la chaleur latente de l'unité de masse dans le second état, et p la pression commune qui dépend seulement de la température et de la nature du corps.
Si V est le volume total, on a
(19) V(l-a;) + V,»=tJ,
et aussi, M et N ayant la même signification qu'au § 174,
et
dx
dv
^ d'Oc Mt = c (1 — op) (î< -H CiXdt -h L -^ d^'
{*) Proc. R. S. 1857, ou Phil. Mag, 1858, p. 541. Voyez aussi les Comptes rendus, oct. 1864, pour un antre procédé élémentaire.
— ^53 — Mais, par la dififérentiation de l'équation (19), nous avons
dx i
do"" V, — V
En combinant ces dernières équations avec les précé^ dentés, nous aurons
(22) Mi=: -
et
Vj — V
Mais, (§174),
dt \ at dv j' équation qui, par suite de (22) et de (23), devient
dt j di'
relation d'où x a disparu.
Nous avons aussi, en vertu de l'expression qyi représente la fonction de Carnot, c'est-à-dire
(25) JC = ^ÏlZLY ^
L dt'
ou d'après (§ 170), .
(26) \ i^XiHYî^
f^ L dt'
Substituant dans l'équation (24), nous obtenons enfin
492. Entre autres résultats intéressants, ces équations nous donnent le moyen de déterminer Tinfluence de la pression sur le point d'ébullition ou de fusion d'une substance donnée.
On a^ en effet, /
de sorte qu^, par un accroissement de pression^ le point de fusion ou d'ébullition s'élève si'Vi est plus grand que V [comme pour l'eau et la vapeur]^ et s'abaisse si Yt [comme pour la glace et l'eau] est moindre que V (§ 55).
En partant d'une équation identique à l'équation (24) , Clausius est arrivé à ce résultat que la chaleur îatente de Teau est diminuée par la pression.
Les expériences de Regnault ont aussi montré que-— , pour
dL
la vapeur, est plus grand que -r + c, de sorte que l'équa-
tion (27), en nous donnant pour Ct une valeur négative, nous ramène immédiatement au résultat remarquable de Rankine et Clausius, relativement à la vapeur surchauffée.
Pour d'autres applications curieuses des formules fondamentales aux solutions des sels et des gaz dans Teau, etc., nous renvoyons le lecteur à un mémoire important de Kirchhoff (*).
