LES CONDITIONS GÉOMÉTRIQUES DE L*ATOMISME

Le propre de la science, on en a vu les motifs dans les pages qui précèdent, est de tout ramener dans Tunivers aux conditions dernières du mouvement et de la position : géométrie et mécanique deviennent les sciences souveraines. Tune parce qu'elle est la science des positions et des figures dans rétendue; l'autre parce qu'elle est celle des changements, à travers la durée, dans la situation et dans la position. En dernière analyse, Fétendue et la durée sont donc, pour la science, la matière qu'elle retrouve au terme de toutes ses réductions et de toutes ses recherches physiques, ou, pour mieux dire, la substance idéale dont elle prétend refaire les phénomènes en y introduisant les déterminations convenables. Et, de la sorte, s'il était vrai, comme l'enseigne Kant dans VEsthétiqiie iransceTidantale, que l'Espace et le Temps, n'étant ni des choses réelles, ni des rapports des choses, sont simplement les formes pures de notre intuition, il en résulterait que la science se propose de cons-

truiro le réel, en le taillant en quelque sorte dans l'intuition pure à l'aide d'un 'concept, qui ne peut être que le nombre.

La mécanique n'est rien, en un sens, qu'une géométrie de l'étendue mobile ; mais la géométrie à son tour ne serait rien sans le calcul, sans le nombre et sans l'unité. Dès lors, si la géométrie doit transporter dans toutes les autres sciences, en passant par la mécanique, les. déterminations qu'elle ne doit qu'au nombre et en définitive à l'unité, n'est-il point nécessaire qu'elle y transporte, du môme coup, cette dernière, et qu'elle la laisse se fixer et se réaliser, en môme temps que se fixent et que se réalisent, dans la physique, les éléments de ses figures? Or, donner ainsi à ^élément géométrique une réalité, donner un corps à l'unité, cette raison dernière de l'élément géométrique, n'est-ce point évoquer l'atome et lier sa destinée, d'une manière indissoluble, à celle de la physique mathématique?

La géométrie se trouve donc appelée à trancher la question de la continuité de la matière; et il faut reconnaître qu'elle a paru jusqu'à présent founir plus de raisons pour ruiner l'atomisme que pour le fonder. Pour qui voit, en effet, dans l'étendue, sinon Tessence, au moins la qualité première de la matière, comment ne point conclure avec Descartes que la divisibilité à l'infini en exclut tout élément indivi^ble, toute dernière partie, toute unité composante et, d'un seul mot, l'atome?

Mais, dirons-nous, poser ainsi le problème, c'est, en toute hypothèse, substituer au réel la forme pure et simple de notre intuition. Je n'en ai point le droit, lors môme que le réel étendu dans l'Espace, matière ou corps, ne serait que la suite des déterminations imposées à la forme de l'intuition pure par ma propre pensée ; car c'est précisément une question de savoir lequel décidément l'emporte dans l'objet du continu de la forme ou de la discontinuité des déterminations qu'y produit l'entendement. A plus forte raison n'en aurais-je pas le droit, s'il fallait prendre au sens d'une

chose réelle ou (l*une chose en soi l'Univers matériel ou rensemblc des corps; car y mettre à la fois»la discontinuité et la continuité, c'est y projeter deux termes peut-être conciliables quand il s'agit de l'œuvre progressive de l'esprit, poussant toujours plus loin ses déterminations dans le pur continu, mais rigoureusement contradictoires dès qu'on les supposerait réalisés ensemble dans l'absolu d'une réelle substance.

Ce qui est vrai, c'est que ni l'Espace ni le Temps, ni les ligures dans l'étendue ou les mouvements dans la durée, ne sont des choses ni des rapports de choses; autrement il faudrait que la mécanique et la géométrie, la mathématique en un mot dérivât son objet de l'expérience et renonçât du même coup à sa certilude propre, qui est apodiclique. En sorte que ne pouvant introduire dans la masse, la vitesse ou la force, pas plus que dans la figure, des caractères qu'elle eût d'abord, par abtraction ou induction, tirés des phénomènes ou érigés en lois, il reste qu'elle les ait construites, qu'elle les ait en quelque sorte forgées comme des instruments pour mesurer le monde; et c'est d'un effort continu qu'elle les ajuste aux phénomènes pour y retrouver les concepts et y ressaisir les lois de la pensée.

La géométrie est, à ce titre, qui le contesterait"? la première de nos créations; et on peut ajouter qu'elle est, entre les mains de la science moderne, le fonds commun où nous allons puiser les théorèmes de la mécanique générale et moléculaire, et partant toutes les lois mathématiques des phénomènes physiques et naturels. Comment douter dès lors qu'elle transporte partout à sa suite les caractères de ses figures? Et s'il existe en la figure, découpée dans l'Espace inintelligible, un principe qui la limite, qui la définit, et qui en la définissant la rend intelligible, comment ce principe n'irait-il point aussi partout où la figure apporte les déterminations et la clarté qui ne viennent que de lui?

Or ce principe c'est le nombre, sans lequel notre esprit ne

connaît rien de Tétendue : avant Tacle qui compare les figures aux figures, qui en définit les proportions et les rapports, et qui à la fin les exprime d une manière adéquate en des formules algébriques, on ne saurait parler de connaissance géométrique, mais tout au plus de représentation et d'intuition : connaître l'étendue, c'est donc résoudre Tordre de ses parties en des combinaisons numériques ; c est mettre à la place de ses volumes, de ses surfaces ou de ses lignes, des quantités complexes, qui toujours, quoi qu'on fasse, enveloppent Tunité ; et c'est, à l'aide du discret, faire naître idéalement au sein du continu l'unité qui le brise et le fragmente en éléments distincts et séparés.

Et d'ailleurs il ne s'ensuit point que l'espace soit peuplé, comme le croyait Cavalieri, d'indivisibles ; l'œuvre géométrique du nombre, répétons-le, est idéale; et la fixité qu'elle communique à l'élément essentiellement arbitraire et mobile, est idéale aussi et relative. Mais supposez maintenant que la méthode du géomètre, appliquée à la solution des problèmes physiques, emporte la figure et l'élément dans un domaine où ils doivent revêtir des caractères déterminés et fixes; alors l'indivisibilité relative de l'infiniment petit va devenir absolue, et engendrer l'atome.

L'atomisme physique n'est donc point imposé à la science par la réalité, mais par notre méthode et par la nature môme de notre connaissance; on aurait tort do croire qu'il implique nécessairement la discontinuité réelle de la matière ; il implique seulement que nous la faisons telle pour la comprendre, et que notre mathématique y introduit la discontinuité en s'efforcant de la construire. Il a, en un mot, son origine dans l'usage universel du nombre, qui marque de son empreinte tout ce qu'il touche; en sorte que si l'emploi du nombre est autre chose pour la géométrie qu'un procédé commode, s'il en est la méthode essentielle, indispensable, et si vraiment le nombre est le concept d'où procèdent toutes nos connaissances géométriques, il ne faut

point chercher ailleurs le principe de Tatomisme, ni la raison de sa prédominance dans la science moderne.

LA GÉOMÉTRIE PURE PRÉSENCE VIRTUELLE DU NOMBRE DANS LA FIGURE GÉOMÉTRIQUE

Or, k elle seule, la géométrie pure, celle qu'un savant contemporain * prétendait, au prix d'un remarquable effort, dégager entièrement de l'analyse et du calcul, suffirait à fournir la preuve dont nous avons besoin.

On sait Tidée maîtresse de Chastes'^ : frappé de la beauté des solutions géométriques, il aspirait à rendre à la méthode synthétique la place qu'elle avait eue chez les anciens, et dont elle avait été dépossédée par les méthodes analytiques de Viète et de Descartes.

Sans doute, jamais ressources si grandes n'avaient été avant Tavènement de l'algèbre mises au service de la géométrie ; jamais méthode si uniforme n'avait conduit avec cette sûreté à la solution de problèmes que jusqu'alors on n'avait pu résoudre. Seulement ce que la géométrie gagnait en succès et en résultats, elle le perdait, aux yeux de Chaslos, en originalité et en perfection : devenue science de la mesure, elle oubliait de plus en plus qu'elle est aussi et avant tout, selon le mot de Descartes, science de ] ordre : ordre des points, des lignes et des surfaces, d'où découlent rigoureusement, quand on sait les construire, toutes les propriétés des figures. Définir ces dernières en les construisant, ou, ce qui revient au môme, en les créant et en les engendrant, per generationem^ comme déjà le disait Hobbes en propres termes, n'est-ce pas mettre virtuellement dans la position des lignes et des points, que

(1) Michel Cbasies.

(2) Voy. Chaslea. Aperçu historique sur Vorif/îne et le développement des mélhodes en fféomélne.

ESSAI SL'H LIIVPOTIIÈSE IlES ATOMES lit, puisqu'on )u di^lcrminc, toutes les propriétiJs de qui n'eu est que l'ensemble et que Je rtîsullat? rois droites sur un plan de tellu sorte qu'elles se eux à deux, ou construire un triangle, c'est du môme i Irc i?galo à deux droits la somme de ses trois angles, t l'u'il le plus oxerciî ne le voit pas d'une première | ; il y faut le secours d'un moyen terme, d une posi- ■

L'Ile, d'une ligne tirde à propos par un des sommets :le parallèlement au côté opposé, d'une invention : disons te mot : d'une divination. Le géomètre, ,

créer sans cesse, en des ligures nouvelles et pour ; roblème, de nouveaux moyens termes, est obligé 1 ! aussi de deviner et d'inventer : œuvre merveilleuse i n pleine lumière, dans la démonstration, les vrais des choses; mais œuvre difficile entre toutes, c exige à chaque pas de nouveaux efforts, toujours lieux et qui bientôt dépassent les forces humaines. s à Cbasies cet hommage qu'il sut faire aboutir, en s essentiels, le projet qu'il avait conçu. Ce qui ; la géométrie pure, on vient d'en dire les raisons, ; méthode générale : il sut la lui donner, ou montrer noins dans quelle voie il fallait la chercher. Les lans l'étude des sections coniques, avaient fait appel odes de la perspective et des transversales, prélude j partie de la géométrie, qui ne considère que les les situations des ligures, cl se sert seulement d'ins de lignes ou de surfaces, et de rapports ou distances s ». C'est là que doivent revenir les modernes ; et, ant que le succès de l'analyse lui vint surtout des lations sans lin de l'équation, ils auront à trouver géométrie nouvelle l'art de transformer les formes les. Mais, en ce sens, si les anciens ont eu la persous possédons une méthode infmiment plus riche et ! qu'ils n'ont point connue : la descriptive de Monge. projections, ce moyen si commode pour multiplier

« les intorsections de lignes et de surfaces », et, dès lors, avec des distances rectilignes et leurs rapports très simples, la géométrie de la situation peut se constituer et ôtro m(^nie assez féconde pour aborder bientôt, selon Tespérance de Ghasles, tout un ordre de questions « pour lesquelles Tanalyse, au moins sous sa forme actuelle, paraît insuffisante * ».

Jamais, sans doute, si remarquable qu*ait été la tentative de Ghasles, les géomètres n'abandonneront la proie pour l'ombre, ni l'analyse pour la synthèse pure : et Ton pourrait remarquer que si le partisan des méthodes projectivos résout avec bonheur, par la géométrie pure, les problèmes dont la solution n'était venue, jusqu'alors, que de l'analyse, encore est-ce à cette dernière qu'il doit souvent et les questions elles-mêmes et le sens général des solutions qu'elles comportent.

Mais, sans aller jusque-là et sans nier le moins du monde a priori la possibilité d'une « Géométrie des formes », croiton qu'une pareille géométrie serait exclusivement la science de la grandeur, et que rejetant de parti pris toute équation et toute algèbre, elle serait de la sorte affranchie de tout élément étranger' ? Ge serait se faire une étrange illusion ; et nous croyons, pour notre part, que sans uij élément précisément analogue, ou, pour mieux dire, identique à celui qu'on exclut, la géométrie ne pourrait faire un pas, et ne pourrait pas même se constituer. Seulement l'algèbre était visible parce qu'elle était une méthode et que l'intérêt du problème portait sur ses opérations; au contraire, l'élément J

numérique, dans la géométrie de position, est invisible parce qu'il y devient l'objet môme du problème, inaperçu,

(1) Ghasles, op, cit. y p. 289. Cf. p. 255, § 5.

(2) Telle n'est point du tout, d'ailleurs, la pensée de Ghasles, qui repousse l'algèbre, mais non la considération des relations métriques, ainsi (pfcn fait foi le passage suivant : « La géométrie pure est exempte de calculs algébriques, quoiqu'elle fasse un aussi heureux usage des relations métriques des figures que de leurs relations de situation ou descriptives ; mais elle ne considère que des rapports de distances rectilignes d'un certain genre, qui n'exigent ni les symboles ni les opérations de l'algèbre. » Op. cil., p. 117.

ESSAI SLR LilYPOTlIKSE DES ATOMES î «ouvcnt, jusqu'à la fin, comme l'est elle-même Itt et parce qu'il est, dans la définition des lignes t't ;es, le concept caché d'où naissent les limites cl simule sous l'intuition qu'il détermine, bre est, en effet, si essentiel à là géométrie qu'il elle jusqu'aux définitions ; et s'il est vrai, comme Auguste Comte, que la géométrie repose tout ir le concept de la ligne droite, montrer que la îst Tunique principe qui nous permette de définir lîére, ne serait-ce point établir comment, dès sa Ime, la science de la grandeur est tributaire do la

Or, répéter avec Archimédc et avec la plupart is géomètres que la ligne droite est le plus court 'un point à un autre, c'est évidemment, selon la

de Kant, qui refuse pour cette raison mfime de voir ; définition un jugement analytique, ajouter à la

qui est qualité, le concept du j>lus court, qui csl . Volontiers mCme nous critiquerions Kant, dans ; dont il s'agit, d'appeler le droit un concept, au re que le plus court ; bien plutùl dirions-nous de Iroite qu'elle est l'objet d'une intuition, vague et mt que notre entendement n'y a point introduit si ses déterminations, précise et rigoureuse dès icept s'y applique et la pénètre tuut entière : l'iniune les formes, la quantité les définit et produit ils.

explique, ce nous semble, que toutes les définila droite soient vicieuses tani qu'on n'a pas fait 'idée du plus court ; en vain Platon dit-il, ou, du it-on dire à Platon qu'elle est la ligne dont tous les

Crit. lie la Raison pure. Introduction, Irad, Barni, I, p, 60 : iropoEition synthétique que celle-ci ; entre deux points, la ligne plus courte. En elTct, mon concept de droit ne contient rien qui à la quantité ; il n'cxpriuac qu'une qualité. Le concept du plus le une véritable addition, et il n'y a p»s d'analyse qui puitse le In concept de la ligne droite. "

points intermédiaires servent d'écran à l'un des points extrêmes par rapport à Tautre : la définition suppose connu le défini ; en vain tout aussi bien demande-t-on au mouvement autre chose qu'un moyen de décrire la droite : elle est^ dit-on, la trace d'un point qui se meut sans déviation ; mais, ici encore, le vice est apparent, et la déviation suppose une direction qu'il s'agissait précisément de définir ^ On a dit du mouvement, en un sens plus général, qu'il était le principe de nos définitions et, par suite, de notre géométrie ; cela est vrai en partie ; et le mouvement qui crée les figures, qui décrit, par exemple, le cercle selon des conditions déterminées, nous livre d'avance toutes les propriétés que nous voudrons connaître ; mais est-ce simplement au mouvement qu'on le doit? Est-il vraiment le médiateur intelligible entre le cercle inconnu et notre esprit qui cherche à le connaître? et ne faut-il compter pour rien la règle du mouvement, les conditions auxquelles, dans chaque cas particulier, il est assujetti, la droite qui décrit le cercle et qui, d'avance, mesure toutes les distances du centre à la circonférence? N'est-il pas, en définitive, évident que notre esprit ne s'astreint à engendrer les figures que pour ôtre sûr des distances et sûr, par leur intermédiaire, de ses mesures et de la quantité ?

Le mouvement, qui autrement serait aussi obscur que les ligures décrites, ne remplit donc, en géométrie, qu'une fonction : celle de transporter partout la droite et, grâce à elle, de produire les distances, et de nous mettre à même de les mesurer et de les comparer.

Il est remarquable, en premier lieu, que nous mesurons sur elle comme sur un étalon nécessaire, toutes les figures de la géométrie : lignes et surfaces ne trouvent qu'en elle le

(1) Une critique analogue peut être faite de la définition bien connue d'Euclidc : La droite est la ligne qui est identiquement placée par rapport à ses points : r^ziz âf Tdou loI; ïo lauTT^; ar^\Lziol^ xsiTai. Voy. à ce sujet RenouvicT, La philosophie de la rèf/le et du compas, dans V Année philosophique de 1891, 2* année, pp. 7, sqq.

ESSAI SL:R LHYPOTHKSE DES ATOMES (le leur détermination, parce ([u'ellc est la iiiesun' direclion et de toute distance. Qu'esf-cc qu'un inon le degré d'inclinaison d'une droite sur une •gré qu'on définit encore avec la droite, en le dé(i- ; l'aide d'un arc de cercle? Qu'est-ce ensuite qu'une culairc, sinon la droite qui, en rencontrant une étermine d'un mt>mc côté de celle-ci doux anjçles 5 égaux? Que l'on applique à présent la pcrpeiidii la mesure des distances, et l'angle à la détinition lions ; que l'on rectifie les courbes ou que l'on quarrc , quoi que l'on entreprenne, la ligne droite, parce ist la plus courte, reste en gilométric la mesure de loses, et la mesure mi^me de la prétendue courbure ;ce, qu'on invoque contre elle, mais dont, sans elle, ait point l'idée ! Rien, en un mot, sans la droite et tribut essentiel qui la caractérise, ne demeurerait lans la géométrie, ni, chose plus étrange, dans hi mêtrie elle-mômc, qui prétend la détruire et s'yn

ce privilège qu'elle a en géométrie lie tout régler et définir, la droite le doit à ce qu'elle est, entre deux la plus courte de toutes les lignes : autrement, cotnrait-on sur qu'entre deux points donnés toutes les coïncident, ou qu'entre ces deux points on n'en peut |u'une ' ? Kt comment, d'autre part, jugerait-on de la

iléQnir ta ligne (iruite, les géoaiètrcs contemporaine préfèrent, en U propriété qu'elle a d'élrc la jilus courte, cette autre qu'elle a aussi ) qu'entre deux points on n'en peut mener qu'une . Mf uie, qiie1r{iiese eux sont allés jusqu'il soutenir, en se rédaniani d'Eucllde et d'Arqu'on peut et dés lors qu'on doU dèniontref la première, reniarque pour empêcher d'y voir une déGnilion. Et. en efTel. dès qu'il seroil entre deux pi linta donnés, il ne passe qu'une droite ou. ce qui revient

qu'entre deux points donnés toutes les droites coïncident, ondédulpeine des propriétés du triangle isocèle, ainsi i|ue l'ont montré . de Cotnberousite {Traité de Giomélrie, p. 20j que, dans un triangle, i[ toujours plus petit que la somme des deux autres, puis, propres-

que la droite qui joint les extrémilés d'une ligne brisée, d'une ligne e ou d'une courbe quelconque est plus petite que celle ligne brisée, e polygonale ou cette courbe, et qu'en délinilive. elle est, entre deux

plus courte de toutes les lignes. — Mais u'est-il point trop clair

1/ATOMlSME ET LA GEOMETIUE 33

longueur des courbes et du degré de leur courbure ? Sans le rayon du cercle, terme fixe auquel on compare la longueur de la circonférence, sans les axes des coniques ou les coordonnées des courbes en général, que saurai f-on des lignes dont la direction, continuellement changeante, échappe aux prises de la pensée et nous enlève du même coup tout point de repère bien défini pour nos mesures ?

Reste à savoir si le concept du plus coui^t est vraiment, comme le croyait Kant, un concept de quantité. Mais si, en l'absence d'une unité absolue de mesure, un scepticisme exagéré nous opposait Timpossibilité de mesurer, en fait, le plus court, un examen des développements de la géométrie montrerait bientôt qu'entre toutes les lignes, aussi bien qu'entre toutes les surfaces ou tous les volumes, nous ne

que la démonstration ne tire sa valeur que de la définition, et qu'il faut, avant tout, justifier cette dernière? Or, une définition ne se justifie point par cela seul qu'on la pose ; car, à ce prix, ce n'est pas de la droite seulement, mais d'une courbe quelconque, qu'on eût pu tout d'abord convenir qu'entre deux points il n'en passerait qu'une : d'où vient qu'on a choisi la droite? — Qu'on veuille bien y réfléchir un instant : dans tous les autres cas, dans le cas. par exemple, des arcs de grand cercle réunissant deux points sur une surface sphérique. leur superposition ou leur co'incidence est rendue nécessaire par un ensemble de conditions préalablement posées, par celle-ci, notamment, que tout grand cercle de la sphère est déterminé par un plan qui passe par le centre, en sorte que le grand cercle, passant à la fois par le centre et par deux points de la sphère, ne peut qu'ôtre unique comme le plan lui-m«"'rae (sauf le cas particulier où les deux points sont diamétralement opposes). Mais dans le cas de la droite, où est la condition qui m'oblige à admettre la co'incidence de toutes les droites (jui passent par deux points donnés? C'est, à coup sûr, qu'il n'en passe qu'une; mais ce que je demande et ce que j'ai le droit de demander, puisqu'une convention ici ne saurait suffire, c'est pourquoi il n'en passe qu'une. Or, de cela, il n'y a et il ne peut y avoir qu'une seule raison, c'est que la droite soit définie, entre deux points donnés dans Tespace homogène, la plus courte de toutes les lignes. Si elle est la plus courte, elle est aussi la seule, en vertu du principe qui, de tout minimum ou de tout maximum et, en général, de toute limite, nous dispense de demander s'il est un ou plusieurs, alors que cependant l'impossibilité de fixer parfois, en un nombre défini, la valeur de la limite (par exemple, d'un nombre irrationnel ou d'une grandeur incommensurable) semblerait devoir laisser indécise Tunité de cette valeur. — L'unité de la droite, et conséquemment la co'incidence de toutes les droites entre deux points donnés, vient donc, à notre avis, et ne «aurait venir que de ce qu'elle est un minimum ou de ce qu'elle est la plus courte, et c'est à cette définition qui est, comme l'a dit Kant, synthétique, ou ffui enveloppe, en d'autres termes, comme l'a dit M. Renouvier (Année philosophique Ae 1891, p. Il), le postulat de la droite comme dis/ance, qu'il en faut revenir, comme à la définition première de la droite, ou comme à sa propriété vraiment indémontrable, sous peine de pétition de principe.

Uanxeolin. '^

ESSAI sril I.llYI'OTIlfcSE IIEH ATOMES OQS que des rapports de quantité, et que toujoui's n'Die de comparaison nous prenons une droite entre 3oints déterminiis. En conséquence, si toutes nos 3hes, si toutes nos solutions vont à mettre en reliot (• des figures, leurs proportions ou leurs rapports, ■dire, en un mot, des relations de quanlité, comment

un seul instant que la mesure commune entre ces ns, la droite, était elle-même quantité aux yeux de idement ' ?

tel est bien, en somme, l'objet constant de la géoniéit Cliaslcs, qui voulait en bannir l'algèbre, et qui eût iei's, à la suite de BoÈce, rayé jusqu'au nom de mesure a définition de lu géométrie ', avouait lui-môme qu'on aurait exclure la considération des relations métri- , ni en d'autres termes, la quantité aritlimétique ou ibre. Parfois, il est vrai, la quantité n'est point numénonl exprimée, et l'on se contente d'écrire les propor- (les lignes : on dira, par exemple, que dans un le ABC, la bissectrice d'un angle extérieur BAC

le cùté opposé en un point U dont les distances aux dites de ce côté sont proportionnelles aux côtés adja- ; c est-a-dire qu on a ■ ■ o ^ ^ . .. ■ Mais qui ne voit ■s lignes ici se comportent comme des nombres et que is n'apercevions en elles, avec la quantité, la virtualité mbre, la proportion trouvée ni la démonstration qui la ; n'auraient plus aucun sens? Mais d'autres fois aussi, résoudre un problème, ce n'est plus simplement des

JUS reviendrons, au rliupitre m du livre U, sur celte imporlnnle {(iics-

}ici textuellement ce i|ue dit Cliasles, o/i. cit,, p. 2S9 : n Les Latins, int été que de bicu Faibles K^ouii>lrcs, avaient néanmoins senti If de la dfliiiitidD ancienne do la (féoiuétric {aiesuit de ta terre »u itr le), et lui avaient substitué la suivante, que l'on trouve doDS la géomê- Suëcc : s (ieomelria e^l ilUciplina mar/niludiHÎs immobilii, foroiariiutqiif lio conlemplaltva, per quant iiniiiscujiiKque rei lermiiii declnrari

>y. note 2, p. 29.

symboles de larithmétique ot de ses opérations que nous avons besoin, c'est du nombre lui-même, qui se révèle ainsi comme résidant au cœur de lajéométrie. Qui, par exemple, sans le nombre irrationnel ^2 connaîtrait rigoureusement,' dans un carré, le rapport de la diagonale au côté ? Qui tien^ drait pour démontré que le rapport de la circonférence au diamètre est un nombre irrationnel? Et quelle autre notion, enfin, que cette

notion même du nombre ^ b"

irrationnel, nous eût appris Texistence, en géométrie, des j^randcurs incommensurables ?

Concluons donc que, pour être connues, nos figures comportent des relations de quantité ; et retenons que, de leur essence, nous ne comprenons rien que ce qui peut entrer en des rapports de proportion ou d'égalité, que ce qui se compte et se mesure; quoi d'étonnant dès lors si toute étendue connue, et tout ce que nous connaîtrons dans l'étendue, à la lumière de la géométrie, nous paraît envelopper le nombre, et ce sans quoi il n'y aurait point de nombre, ou l'unité?

LA GÉOMÉTRIE ANALTfTIQUE ET l'aNALYSE DIFFÉRENTIELLE \ TEN- DANCE DE L ANALYSE A SUBSTITUER A LA FIGURE SON EXPRESSION ANALYTIQUE ET, EN SOUMETTANT AU CALCUL LES ÉLÉMENTS VARIABLES DES FIGURES QUELCONQUES, A POSTULER EN CEUX-CI UNE VAUiUR FINIE, Qu'eLLE s'aBSTIENT SEULEMENT DE DÉFINIR.

Tandis que la géométrie pure se borne à nous faire sentir, en général, dans ses principes et dans ses solutions, la présence du nombre, la géométrie analytique nous le montre, pour ainsi dire, dans le détail, et nous amène à le

KSSAf SIK L'HYPOTHKSE DES ATOMES jusque dans les dernières parties de nos figures. En aaine, comme en tous les autres, ia synthèse s'attache [Semblés, à l'ordre des parties, à l'harmonie du tout ; ■ductions, qui portent sur les formes, ne nous ennt rien des éléments multiples qui les constituent. yse, au contraire, demande à la connaissance précise émcnts et des relations élémentaires, l'explication de [■nce et de l'harmonie de l'enscmldc; alors seulement t connaît le tout, qu'il a pu saisir, dans la figure uite, les parties assemblées, avec la loi qui les bic. De nos jours, en géométrie, comme en psychola décomposition l'emporte, ici sur la description, là déduction continue des formes ; et l'instrument unide l'analyse géométrique, qui est l'algèbre, ne tend moins, semble-t-il, qu'à marquer de plus en plus )gie profonde de la figure analysée et du concept qui, manière si parfaite, réussit à la fois à en dissocier les nts et à en exprimer la loi génératrice, peut dire de la géométrie analytique, considérée en time, qu'elle réalise déjà la décomposifon des ligures, [u'cUc suppose la possibilité de les résoudre en leurs nts, plutôt qu'elle n'atteint en effet ces derniers et ; no les détermine. Sans doute, lorsqu'on mesure dans itème de coordonnées rcctiligncs, la dislance de tous ints d'une courbe à ces dernières, l'analyse de Dosimpliqué la variation continue de la courbe, et e à l'aide des variations simultanées de l'ordonnée et [jscisse ; mais elle ne soumet jamais au calcul, en !, les variations de la courbe, ni même les variations mnées des distances de chacun de ses points aux cctilignes ; fout ce qu'elle sait faircî, c'est d'exprimer ition constante, pour tous les points de la courbe, ■données et des abscisses, la loi qui ressort de toutes variations, sans qu'on sache rien d'ailleurs de ces res, la loi qui règle, en un mot, la génération de

la courbe, et qui en donne la formule dans une équation. La géométrie analytique, chose étrange, découvre donc la loi génératrice des courbes, et, d'une manière générale, des lignes et des surfaces sans atteindre jamais les variations qui les engendrent, ni les éléments à l'assemblage desquels la loi préside et qu'elle coordonne.

La spéculation mathématique ne pouvait s'arrêter à ce point ; et des problèmes spéciaux allaient obliger les géomètres, bientôt après Descaries, à prendre l'équation des lignes pour ce qu'elle est en effet, pour l'expression encore trop synthétique des figures toutes faites, et a en chercher l'origine dans le devenir des figures qui se font, dans l'accroissement infiniment petit des lignes, des surfaces ou des volumes, à la lumière des équations de la géométrie analytique. Mais aussi, en pénétrant si avant dans Tintimc essence des figures, l'analyse allait y retrouver ou, pour mieux dire, y porter à sa suite les déterminations du concept, (jui est le principe de toute analyse, le nombre avec ses valeurs finies, la quantité discrète avec la notion qu'elle implique d'une unité composante et d'un indivisible. Ainsi d'ailleurs allait s'expliquer qu'une équation pût être l'expression adéquate de la figure complète ; et ainsi Newton ni Leibniz allaient reprendre et porter h la perfection la conception analytique de Roberval et de Cavalieri.

L'analyse infinitésimale nous paraît, en effet, conduire nécessairement l'esprit à postuler, dans tout objet géométrique, des éléments indivisibles. Non peait-ètre qu'il en existe de tels : et comment d'ailleurs, à moins de prêter à l'intuition géométrique une valeur objective, à l'Espace une réalité qu'ils ne sauraient avoir, pourrait-on supposer rexistence d'unités absolues dont seraient faites les figures? Comment, en un objet tout idéal, enlièrement fait d'images et de concepts, prétendrait-on qu'on va saisir les conditions essentielles de l'être, un être véritable, un absolu? Mais précisément s'il est idéal, y postuler l'indivisible, c'est

38 ESSAI SIJH LÏIYPOÏIIÈSE DES ATOMES

moins, pour rentendcment, exiger qu'on Ty rencontre, au terme de l'analyse, comme une chose préexistante, que ce n'est, par la voie même de l'analyse, Ty introduire et Ty constituer. Dans l'infini ou dans Tindéfini, notre esprit n'est à môme de comprendre que des valeurs finies ; et c'est pourquoi, quand il a prise sur l'objet, il y fait naître ces dernières, pour que l'objet devienne intelligible.

Tel est, selon nous, le sens le plus profond de la méthode infinitésimale, soit que, dans sa démarche analytique, fidèle aux enseignements de Leibniz, elle ait recours, dans l'étude des grandeurs, à la dilTérentiation, soit que, par un procédé plutôt constructif et synthétique, connu déjà d'Archimède et de Cavalieri, elle intègre des sommes d'infiniment petits pour rectifier les courbes, quarrer les aires et mesurer les volumes.

Rien peut-être ne saurait, mieux que la différentiation, mettre en lumière la nécessité où est notre entendement de poursuivre, dans l'étendue, la détermination d'un élément dernier. Différentier une quantité, c'est, rappelons-le, chercher la limite du rapport de l'accroissement infiniment petit de cette quantité, supposée variable, à celui d'une variable indépendante, aux variations de laquelle les siennes précisément sont liées par une loi régulière et constante : c'est chercher, en un mot, la limite du rapport de deux infiniment petits. On voit, pour le dire en passant, que le calcul différentiel ne pouvait apparaître qu'après l'invention d(i la géométrie analytique ; les anciens pouvaient, à la rigueur, intégrer ou sommer les incréments ou décréments d'une quantité unique, que l'on constituait ou que l'on épuisait sous des conditions déterminées d'avance ; mais il n'avaient jamais pensé, avant Viote et Descartes, à remplacer l'étude des variations d'une grandeur unique, d'une courbe, par exemple, par celle des variations simultanées des distances de ses points à deux droites coordonnées. Et l'accroissement d'une quantité unique restait obscur et indéfinissable, tandis

I/AÏOMÏSME Kï LA CKOMÉTRIE. 39

que ceux de deux quantités étroitement liées h la première allaient, en vertu de leur comparaison même, se définir nettement et définir, du môme coup, les accroissements de la quantité primitive.

Supposons, pcar exemple, qu'on ait sous les yeux une courbe dont Téquation soit ?/ = ax^\ c'est Téquation d'une parabole, dont l'axe se confond avec l'axe des ordonnées ; pour qui tenterait d'étudier à part les accroissements ou, comme disait Newton, la fluxion de la courbe, la recherche est stérile, faule d'une quantité sur quoi Ton puisse la mesurer. Au contraire, la comparaison des accroissements connexes de l'ordonnée et de l'abscisse devait conduire Newton et Leibniz à un résultat merveilleusement précis et fécond ; à savoir que le rapport des accroissements de y et de X tend toujours, lorsque la fonction est continue, vers une limite fixe, qu'on appelle la dérivée de la fonction * : ainsi,

dans l'exemple choisi, à mesure que x décroît, -r^ tend

vers 2 aXy si bien qu'on peut écrire : lim. -7-^ =2 aa: el,

d li d'une manière générale, —7^ -— F' (j:\

° dx ^ '

Or, l'existence de la dérivée, en toute fonction continue, nous paraît entraîner nécessairement l'existence, ou, pour mieux dire, la détermination par l'entendement d'une valeur finie d'un élément de x et de y, et, en conséquence, d'un élément de la courbe elle-même.

Pour le démontrer, rappelons brièvement les conditions et la définition de la différentielle.

Lorsqu'on donne la formule générale de la différentiation

A 7/ lim. -7-^^= ^' {^)i il saute aux yeux que, quelle que soit la

ilécjroissance de x et de y, on n'a jamais le droit d'écrire

•^ = F*' (.r), et que le rapport —^ n'atteint jamais sa

mM X «A 1.4/

(l) M. Wcierstrass a pourtant fait connaître dans le Journal (h C relie (1874. t. LXXIX, pp. 29-31) une fonction continue ([ul n'a point de dérivée. C'est la première exception connue à la rèf<le frénérale que nous venons de rappeler.

limite F' {x], mais en diffère toujoui's d'une quantité a,

qui s'annulerait daillcurs en mt>me temps que Ay. Si

A y donc l'on écrit -~- = F' {x) -{- cl, et qu'on en tire Téqua-

kA il,

tion Ay = F' (x) \x -{- a.lx, on remarque aussitôt, dit Duhamel*, que « l'accroissement infiniment petit d'une fcmction quelconque A y peut être considéré comme composé de deux parties, dont l'une aAx est infiniment petite par rapport à l'autre % qui est F' {x) A a:. Or, nous savons que les limites des sommes ou des rapports d'infiniment petits ne sont pas altérées lorsqu'on remplace ces infiniment petits par d'autres, qui en diffèrent de quantités infiniment petites par rapport à eux. Donc, toutes les fois que Ay entrera dans un calcul comme terme d'un rapport ou d'une somme dont on cherchera la limite, on pourra le remplacer par F' [x) Ax, c'est-à-dire par le produit de la dérivée de y par l'accroissement infiniment petit de la variable indépendante x ». Donc encore, au lieu de la différence Ay qui égale F' (x) Ix -f- aA.r, on a le droit de considérer une quantité F' [x) Aor qui en ditt'ère infiniment peu, qu'on désigne par dy, et qu'on appelle la différentielle.

Ceci posé, que fait exactement le mathématicien lorsqu'il

différentie une fonction et qu'il écrit : --^= F' (a:)? Tout

^ dx • '

le monde en convient : il suppose en premier lieu que Taecroissement Ajc de .r, d'abord quelconque, décroît indéfiniment et tend vers la limite zéro; en mérae temps, par la vertu même de la continuité de la fonction, la différence Ay tend aussi vers un minimum, qui est zéro.

Mais alors, au lieu de considérer directement l'équation

— ^= F' (a:), n'aurait-on pas le droit de soutenir que le

rapport primitif — ^ n'atteint rigoureusement sa limite

(1) Élémenls de calcul infinitésimal, 2" édition, l. F, p. 228.

(2) La quantité a est déjà tin infiniment petit, puis(|if elle tend vers zéro en môme temps que Aj"; aA-Jt' est donc le produit de deux infiniment petits, ou, comme on dit, un iniiniment petit du second ordre.

qu'au moment où les dilférences de y et de a: atteignent respectivement la leur, qui est zéro ? de sorte qu'on aurait

lim. -r-^ = -j^ = —, en même temps qu on a -^ = r {x).

Le rapport -j^, par une coïncidence qui d'ailleurs est

fréquente en algèbre, prend donc tout à la fois le caractère

de Tindétermination, puisqu'il est égal à —, et une valeur

finie, puisqu'il est égal d'autre part à F' [x]. Mais qu'est-ce à dire, sinon qu'ici, comme dans tous les cas analogues, l'indétermination n'est qu'apparente, et qu'elle cache à nos yeux une détermination réelle ? Mon hypothèse primitive fait diminuer à l'infini les accroissements de x et de y, et je la pousse jusqu'à croire qu'ils disparaissent à la fin et deviennent zéro. Erreur ! la limite finie que le rapport atteint impose rigoureusement à dy et dx, considérés ,à part, la condition d'être autres que zéro ; un accroissement nul ne se lie par aucun rapport à un accroissement nul ; et le zéro de la limite n'est qu'une fiction commode pour l'analyse qui continue la régression, sans que jamais il soit l'expression adéquate d'une dilTérencc qui persiste et qui toujours conserve une valeur finie.

Pourtant, à interpréter la. formule dans toute sa rigueur,

il semble que le rapport -—^ ne saurait prendre la valeur nettement déterminée F' [x], qu'au moment précis où il prend aussi la valeur indéterminée -r- . En vain objecterait-on, pour éviter la considération de cette dernière, qu'elle est une l'unité^ et que le passage à la lintùe, à la dernière valeur d'une quantité ou d'un rapport, ne s'effectue jamais d'une manière absolue : on n'achève point sans doute une opération supposée infinie ; on ne parcourt point les degrés infinis qui séparent une valeur du terme dont elle s'approche toujours sans l'atteindre jamais. Mais il faut bien convenir cependant que la différentielle existe dans le calcul du mathématicien, qu'elle y joue un rôle, qu'elle y est revêtue

42 ESSAI SUR LHVIM)THKSK DES ATOMES

d'une signification précise ; ot il se trouve justement qu'elle est, grâce à une convention sans doute, mais à une convention qui s'impose, déterminée par la limite mc^me du rapport

— ^, limite qui n'apparaît jamais sans résulter de cette

autre : lim. -— ^ = tt-

La différentielle, ce concept essentiel à l'analyse inQnitésimale, impliquerait-elle donc que le rapport des différences a pris une valeur finie au moment même où il disparaissait? Impliquerait-elle, par la même raison, que la différence se définit précisément quand elle s'évanouit et qu'elle devient en toute rigueur identique à zéro ? Nous ne le croyons pas et nous n'admettons pas cette contradiction : à nos yeux, la valeur finie du rapport a seule un sens mathématique, a seule une réalité ; l'autre n'est qu'un symbole, et un symbole qui signifie précisément la détermination présente, mais cachée; virtuelle, mais susceptible de passer à Tacte : le fini, sous l'apparence de l'indéfini !

L'infinie petitesse de l'élément n'est, comme le dit Cantor*, qu'un infini improprement dit^ un fini qu'on n'a peut-être ni les moyens, ni le besoin de définir, mais qui pourtant se détermine des que l'on pose la dérivée de la fonction, cette limite vraie devant laquelle disparait le symbole, en y prenant un sens.

Reste pourtant cette difficulté, que le terme zéro des différences décroissantes doit être atteint, puisqu'on suppose atteinte la dérivée de la fonction, et qu'il ne saurait l'être à aucun prix, précisément parce qu'on atteint celle-ci. Pour la résoudre, il faut choisir : abandonner la dérivée-limite, ce qui revient à détruire le calcul ; ou bien abandonner la

(1) Voy. Grundlagen einer allf/. Mannifjfaltigkeilslehre, Leipzig, Teubner, 1883, p. 2. — Le passage est reproduit dans les Acia mathematica, l. H, p. 38â : « Pour ce qui concerne l'infini mathématique..., il me semble «lu'il se présente, en première ligne, dans le sens d'une grandeur variable, croissant au delà de toute limite ou décr(»issant autant que Ton voudra, mais restant toujours finie. Je donne â cet infini le nom d'infini improprement dit. »

limite zéro des différences qui décroissent, abandon qui ne nous lait rien perdre et qui n'est, en définitive, qu'apparent. Lorsqu'on pose en effet la limite zéro des différences décroissantes, qu'est-ce autre chose que prendre avec soimême la convention d'en faire approcher ces dernières d'aussi près que Ton voudra? Rigoureusement, la différence n'est pas nulle, à moins que la dérivée n'ait aucun sens et n'existe môme plus ; mais dans nos opérations, faute d'en pouvoir donner une détermination quelconque, nous déclarons, en régalant à zéro, non qu'elle est nulle, ce qui est impossible, mais qu'elle est indéterminable et pratiquement identique à zéro. Le zéro de la différence n'est donc ici. qu'un symbole d'indétermination : instrument d'analyse merveilleusement souple, puisqu'il respecte, en n'assignant aucune valeur à l'infiniment petit, la continuité primordiale des lignes, et pourtant infiniment précis, puisque, quelle que soit la valeur imposée à la différence par l'expression algébrique de la dérivée, l'erreur commise en identifiant la différence à zéro, est toujours plus petite qu'une quantité donnée, et reste inassignablc. Là est, comme l'a montré avec tant de profondeur M. Renouvier, tout le mérite de l'invention de Leibniz ; et le symbole zéro se trouve naturellement si nécessaire à la différentielle, que Fermât s'en était déjà directement servi pour effectuer, sans autre logarithme, de véritables différentialions *.

Ainsi dans le continu qui se divise sans fin, et dont les

(1) Voici, d'après Hœfer, Histoire des mo thématiques, p. 421, le problème de Fermât, auquel nous faisons allusion, et (jui a été rappelé par M. Renouvier, Cril. philos. y 6» année, n** 2, et par M. Evellin, Infini et quantité, p. 132 :

Supposons « qu'il s'agisse de partager en deux une ligne, de manière «lue le produit de ses deux parties soit le plus grand possible... Appelons a une ligne droite donnée et jp une partie de cette ligne, l'autre partie sera a — x. Pour que le rectangle, produit des deux parties, soit un maximum, il faut

rpic X soit égal k a — jl-, ou a* = -- ». Pour le démontrer, rappelons qu'un

produit atteint une valeur maximum, lorsque pour un accroissement infiniment petit de l'un des facteurs, par exemple de .r, le produit n'est pas augmenté. Si donc « l'on désigne par e un accroissement infiniment petit de a-, de manière que x -]- e = x -\- ii, on aura : x (a — x) = x -{- e {a — x — e),

ESSA( SUR LHYPOÏHKSE DES ATOMES Is variables s'approchent sans cesse de zéro, sans l'at-

jamais, noire pensée ne trouve donc pas, cela est doute, et se refuse à exprimer un (élément préexislais chaque fois qu'elle pose ht dérivée d'une fonction, u même de la catégorie du nombre elle y introduit Qt, sans déformer le continu, et l'y détermine sans

grâce à la convention d'un zéro qui n'est point

et n'a que la valeur d'une indéterminée, leurs si dans les lignes et les surfaces l'analyse ne point apparaître, comme nous venons de te montrer, lent virtuel, sinon réel et en acte, on ne comprendrait Il 'elle pût rendre possible l'opération inverse de l'in- >n : l'intégration n'est en effet qu'une synthèse ; et [■ait une synthèse qui, n'ayant à réunir que des ts nuls, constituerait pourtant une somme, un tout iné pour chaque fonction donnée ? Il serait étrange, ? pas dire absurde, que la synthèse, née de l'analyse simale, fût devenue si puissante entre les mains du re, alors pourtiint que l'analyse ne lui eût point des éléments à assembler : une analyse sans terme ngendré qu'une synthèse confuse; et, d'une recherrile dans le fond obscur des éléments géométriques,

ne fut jamais revenu à une construction claire ide des ligures. Il y a réussi pourtant; il a, par des lions d'infiniment petits, et par les seules forces

[ que la qunntilK c n'est nuire que lùTO el (iiielle joue le rûle ifun iuliniiiicut petit et d'une diUercnUelIc. Seulement KermiLt ae fcnrdait iilant tuute 1» ilurce des opératioDs, ilc tn considérer comme égale à |ui eût, en anuulaiit les priidiiits, eiupr-chc les transformai En ds de i primitive ; el il ne lui rendait sa valeur réelle qu'en dernier jieji, e disparaître du lùsullnt l'inlinimeut petit, et di;gager la solution = 0. •

, par une méthode identique à relle-ci, dite uiétliode des indéterroialt encore trouver la si>us-ton(.'entc d'une l'ourbe. Nous reni-iiyouB, liot, le Ici-leur à l'excellent ouvrojîc île Carnol, Uéflerions sur la mé- 'ledu calcul iiipnîlêsimal, p. 0, et surtout p, 157, sq.

du calcul, reconstitué des figures et mesuré des surfaces, preuve qu'il avait trouvé dans l'analyse un point d'appui solide, et qu'il ne s'était point perdu dans le labyrinthe de la divisibilité sans fin de l'étendue géométrique.

L'intégration n'est en effet, selon l'expression de Newton, qu'une méthode inverse de l'analyse infinitésimale ; et tant vaut la différentielle, tant vaudra l'intégrale. Intégrer, selon la notion la plus claire que nous ayons de cette opération, c'est dans les cas les plus compliqués aussi bien que dans les plus simples, retrouver une fonction, quand les donné(»s d'un problème nous fournissent d'une manière plus ou moins explicite, sa dérivée ou sa difTérontielle ; c'est, pour dire la môme chose en termes géométriques, à l'aide de l'élément différentiel, d'ailleurs parfaitement défini, ajouter ce dernier à lui-même autant de fois qu'il le faut, c'est-à-dire un nombre indéfini de fois, et construire, en le sommant ou l'intégrant, la ligne, la surface ou le solide, dont il est l'unité composante ^ Dès lors, comment admettre un seul instant qu'il ait pu môme à la limite être égal à zéro ? Tout au contraire il a fallu, pour qu'il pût constituer une somme finie, qu'il eût une valeur quelconque, définie dans sa forme, sinon dans ses dimensions véritables; mais, pour être quelconque, il s'en faut bien qu'une valeur soit nulle. Sans doute, la sommation d'infiniment petits ne se fait point à la manière d'une addition ordinaire d'unités invariables ; l'élément géométrique, au contraire, est variable et mobile, puisqu'il est susceptible de décroître sans cosse, et de décroître encore, lors môme que l'on convient de s'arrêter ; peut-être alors soutiendrait-on que, dans sa fuite vers zéro, il perd vraiment toute valeur positive, et que le nombre indéfini des termes des séries nous rend le pouvoir de sommer ce que Taddition ordinaire eût tenu pour insomniable? La magie de l'infini sauverait ainsi la détermination du tout,

(1) Voy. pour ie développement géométrique de cette proposilion les chapitres XI et XII de Duhamel, Éléments de calcul infinHésimaL t. U.

bien qu'elle eût fait décroître, jusqu'à les annuler, ses éléments constitutifs. Nous répondrons que l'infini, ici encore, n'est qu'une convention, convention nécessaire et merveilleusement propre à suivre dans ses divisions le continu qu'on analyse, sans rien abandonner du tout qu'il s'agit de reconstruire ; mais convention qui a pourtant son origine en un concept arithmétique, qui en tire toute sa valeur, et qui, en résumé, ne saurait se défendre d'entraîner à sa suite, bien qu'elle la dissimule, la discontinuité.

Prenons un exemple très simple. Lorsque, dans un problème de quadrature, on détermine l'aire d'une courbe à l'aide d'une intégration, l'opération revient souvent, on le sait, à trouver la somme des termes d'une progression géométrique. Ainsi, l'aire du segment parabolique est égale à la somme des triangles indéfiniment décroissants, que l'on construit, le premier en fixant ses trois sommets respectivement aux deux extrémités A et B des branches de la courbe et au sommet S du diamètre CS, les autres, d'une manière analogue, en leur donnant successivement pour bases les cordes de la parabole déterminées par les côtés des Iriangles précédemment construits *.

1) Voici, pour plus de clarté, le développement de ce problème résolu par Archimède, tel que nous le trouvons dans Duhamel, op. cit., t. I, p. 33 : a Soit le segment parabolique quelconque ASB. — Soit SG le diamètre des

cordes parallèles â A B ; C sera le milieu de A B et la tangente en S sera parallèle à AB. Le triangle ASB, moitié du parallélogramme A B A'B' dont les côtés A A\ BB' sont parallèles à S C et qui, par conséquent, renferment le segment A S B, sera plus grand (jue la moitié de ce segment.

Faisons pour les deux segments dont les bases sont S A, S B, ce que nous venons de faire pour le premier : les triangles S D B, A D' S seront supérieurs aux moitiés de ces segments. Agissons de môme pour les quatre segments restants dont les bases sont B D, D S, S D\ D' A, et continuons ainsi indéfiniment. Il est facile de voir que le premier triangle ASB, plus les deux triangles du second ordre, plus les quatre du troisième ordre, plus les huit du quatrième, etc., forment une somme dont la limite est le segment ASB. Car on prend d'abord plus de sa moitié , ensuite plus de la moitié du premier

L'ATOMISMK KT LA UEOMETHIE 47

Si bien, qu'en vertu des rapports connus do ces triangles entre eux, on se trouve à la fin en présence de la progression géométrique suivante :