Ë VÉRITABLE

quantité discrète serait-elle donc venue ù bout do lu uité ? et l'algfcbrc modeme, donnant raison contre d'Élée aux espi^rances des pythagoriciens, aurait-elle pli, en fondant l'atomisme, la réduction parfait<t et ite de l'étendu au multiple, do l'espace au nombre? -elle assuré la soumission d(''finitive de l'intuition ux concepts de rcntcndement ? Et l'atome, en un mot, ■il des chances de n'èlrc pas simplement la vérité fique, mais d'être l'absolu, à force d'être identifié, par ^ul, au fond le plus intime des phénomènes et de

tentative récente, qui fait le plus grand honneur à la Eition du mathématicien Gcorg Gantor, permettrait de ire, si elle n'était sujette, comme ses devancifcres, I d'une réserve. Elle consiste non plus seulement, i l'analyse infinitésimale, à suivre le plus longtemps le le continu dans ses divisions, pour le différenlicr tégrer ensuite, mais à l'éptihpr par le nombre, à r de tous ses éléments, sans exception, une expresrilhmétique si parfaite, qu'on ?oit assuré de n'en e ni un élément solide ou superficiel, ni un segment le, ni même un point ; à construire en un mot, un i num^rigup qui soit la formule adéquate du cotuhi/t e et géométrique '.

Canlor appelle le premier dos Ziihlconlinuui,!, par opposilion o<i géomêlrii|ue, qu'il appelle dos Liaearconlinuiim. On verra plus loin ontinu linéaire ri'auiiie. il'aprta un théorème déiiumtrÈ par lui, toutes

M. Cantor s'est ivH justement rendu compte, en procédant à ses recherches, qu'il ne faut point attendre de Tintuition une connaissance mathématique et positive du continu ; qui veut la posséder ne saurait s'en remettre à des « considérations purement esthétiques », à « des spéculations philosophiques subtiles », ou a des présomptions tirées de Texistence et des conditions du mouvement ; il doit la demander à ridée d'un « continu déjà formé d'une mani^rc abstraite », ou, en d'autres termes, à l'idée purement arithnuHiqup Pi aussi gmvralf* que possible d'un continu de points '. » Siirs de nos constructions arithmétiques, nous ne le sommes pas de la nature d'un espace donné, ni m^me, dans l'état actuel de la science, de la correspondance de notre espace réel à ridée que nous nous faisons d'un continu arithmétique à trois dimensions : « On sait, dit le mathématicien allemand ^ que cet espace, soit à cause des formes qui s'y rencontrent, soit surtout à cause des mouvements qui y ont lieu, est considéré comme généralement continu. D'après les travaux publiés en môme temps... de Dedekind... et de l'auteur, cette dernière supposition consiste seulement en ce que tout point, dont les coordonnées x, y, 5, par rapport à un système de coordonnées rectangulaires sont fournies par des nombres réels déterminés quelconques, rationnels ou irrationnels, est considéré comme appartenant réellement à

les propriétés essentielles, eu égard à la continuité, d'un espace (fiielconque (5b, si grand que soit le nombre n des dimensions de ce dernier : Voy. Acla maUiematica^ II, 1883, p. 361, s([. — M. Cantor a fait connaître ses travaux dans plusieurs articles du Journal de CreUe-Borchardt et des Math. Annalen de Leipzig. Ces articles ont été traduits en français et publiés dans les Acht mathemalica, II, où on les trouvera réunis. Le niêuie volume des Avta ma- Ihematica renferme aussi les parties essentielles, également en français, de la bfochure intitulée Grundlaf/en einer allf/emeinen Mannif/fidlif/kettslehre, Leipzig, Teubner, 4883. — Une étude excellente des théories de M. Cantor, par le professeur Kerry (de Strasbourg), a paru dans la revue Vierteljahrschrift fur wissensch. Philosophie ^ JX* année. M. Paul Tannery les a aussi rapidement exposées dans la Revue philosophique (numéro d'octobre hSHj» et en a rendu compte dans le Bullelin de la Sociélé malhémalique de France on

;!) Acla math., TJ, p. i03-IOi.

(2) Id., p. 370.

KSSAl aVR l.'JfVPUTHKSE UKS ATOMiiS ce ; il n'y a à cela auciinf ncci^ssilé intrinsèque, et il ut voir qu'une construction arbitraire, quoique légi- L'hypothèse de la continuité de l'espace n'est donc utre chose que la supposition, arbitraire en ellc-raônie, correspondance compl^tc, l'éciproque et à sens unique le continu purement aritbmétique à trois dimensions z.) et l'espace qui sert de base au monde des phéuos. )) Le probl&mc qui se pose est donc purement aritliue : il s'agit, à l'aide des nombres réels déterminés onqucs, à l'aide par conséquent d'un syst^me approie quantités diserMcs, de construire d'une manière lite et générale le continu, sauf à (rouver plus tard ication particulière qu'on peut en faire à notre espacf out aussi bien qu'on la ferait à un espace quelconque, >me à tel objet continu qui ne serait point un espace, s, à notre sens, la priorité du concept sur l'itituition t été reconnue avec cette netteté, ni l'espérauce de rer entièrement le continu par le nombre et de le 3 intelligible si résolument aiïirmée. Jamais non plus, omisme a son principe, comme nous le croyons, dans adances pythagoriques de notre esprit, il ne fut plus 'une démonstration décisive. Malheureusement la tennouvelle, si remarquable qu'elle soit, allait se heurter, e toutes les autres, à des difficultés qui délient tout humain, parce qu'elles ne sont point des problèmes lires, et qu'elles ont leur racine dans l'opposition de es inconciliables.

sque, en 1877, dans le Journal de Crelle ', M. Cantor [Qandait « si un ensemble continu de n dimensions tre relié au moyen d'une opération h. sens unique à' un ible continu d'une seule dimension, de telle sorte qu'à e élément de l'un d'eux réponde un élément, et un nent de l'autre », et lorsqu'il démontrait « qu'une telle

correspondwicp oxistc toujours * », la proposition ainsi établie était d'un intérêt capital pour l'avenir de la théorie : c'était démontrer en effet qu'une « surface continue », et môme que « des corps continus et des ensembles continus géométriques à un nombre quelconque de dimensions » peuvent « être rapportés complHement par une opération à sens unique à une ligne continue », et par exemple à « un segment de droite continue et limitée^. »

L'étude des continus les plus complexes, de 2, de 3 ou de n dimensions, pouvait d^s lors (^tre remplacée par l'étude du « continu linéaire » devenu ainsi le substitut de tous les autres ; et tout ce qu'on allait pouvoir démontrer des conditions de la continuité d'une droite serait également vrai de celles d'une étendue G„ quelconque. Le problème général du continu se trouvait ainsi du premier coup rendu singulièrement plus simple et plus facile.

Restait à découvrir les propriétés d'un c< ensemble numérique » qui fût l'expression adéquate du continu liiftniire. Pour y arriver M. Cantor invoque la proposition suivante qu'il appelle un axiome, « parce qu'il est dans sa nature de ne pouvoir être démontrée d'une manière générale^ », mais qui n'est, selon la très juste remarque de M. Kerry ^ qu'une hypothèse et un postulat : à savoir, qu'en choisissant une unité linéaire de mesure, et, sur une droite donnée, un point zéro à partir duquel soient comptées, positivement en un sens et négativement dans l'autre, les distances des points de la droite, à toute abscisse, et dès lors à tout point de la droite correspond une valeur numérique réelle, et réciproquement; c'est-à-dire, en d'autres termes, qu'il existe toujours un nombre réel, rationnel ou irrationnel, pour exprimer la distance d'un point quelconque de la

(1) Actamath.^ II, p. 314.

(2) /f/., ibid,

/3) Ibid., II, p. 342.

(4) Article cité, p. 217.

Wrvf-ST'

?Ai.

fit-

droite au zéro, par rapport à. runité de mesure; et que réciproquement, à tout nombre réel donné correspond une abscisse et conséquemment aussi un point défini : pas un point, dos lors, que ne détermine une valeur numérique : rien de géométrique dans la droite qui ne puisse trouver son expression arithmétique dans un nombre réel.

Toutefois, des deux propositions, celles du postulat et de sa réciproque, Tune est bien loin d'avoir Tévidence de l'autre : qu'un point pris sur une droite ait toujours, quelle que soit Tunité de mesure, une distance au zéro des coordonnées déteiTminée et susceptible d'être exprimée par un nombre réel, rationnel ou irrationnel, on n'en saurait un seul instant douter ; l'unité de mesure et TabsCisse considérée sont, en effet, en un rapport quelconque, qui peut toujours s'écrire, quand môme Tun de ses termes serait irrationnel. Mais est-il aussi vrai qu'à chaque valeur numérique, appartenant à un ensemble, réponde un point donné de latlroite considérée? Cela n'est rien moins qu'évident, et l'auteur, en tout cas, a remarqué lui-môme qu'en ce sens la correspondance n'était plus aussi rigoureuse, puisqu'un seul point de la droite pouvait suffire à représenter un grand nombre de valeurs numériques distinctes, quoique égales \ et que le continu numérique nous apparaît ainsi comme plus riche que le continu linéaire lui-môme ^

Quoi qu'il en soit, une fois ce postulat admis, on voit qu'on est autorisé à remplacer l'étude de tout ensemble linéaire de points {lineare Punktmenge) par celle d'un ensemble correspondant (/e valeurs numériques réelles {réelle Werthemenge) .

(1) Acla mafh.y H, p. 342, note 1 : « A chaque grandeur numérique appartient un point déterminé ; mais à chaque point se rapportent, comme coordonnées, dans le sens ci-dessus, une qiianlilé innombrable de grandeurs numériques égales... »

(2) M. Cantor fait remarquer iid., ibicl.) que le continu numérique acquiert ainsi une réelle indépendance à Tégard du continu linéaire, mais que Tsixiomc en question lui permet de trouver dans ce dernier une sorte d'objectivité : a Ce théorème (qu'il appelle deux lignes plus haut un axiome) sert aussi à donner supplémentairement aux grandeurs numériques une certaine objectivité, dont elles ont toutefois complètement indépendantes. »

Cherchons à présent ât quelles conditions essentielles doit satisfaire un pareil ensemble pour être continu.

La première de toutes est, selon M. Cantor, qu'il soit d'une puissance supérieure à celle de la première classe de nombres et qu'il ait, comme il a essayé de le démontrer d'une manière positive*, la puissance de la seconde classe de nombres, d'ailleurs immédiatement supérieure à la première^.

Rappelons, pour Tintelligence de ce qui va suivre, la définition que Tauteur donne du mot puissance : « Dans la notion absolue de puissance, dit-il,... on attribue à deux systèmes (ou ensembles) la niême puissance, quand on peut, d'après une loi quelconque, établir entre eux une correspondance réciproque à sens unique, et on ne peut leur attribuer la même puissance qu'à cette condition » ; et il ajoute : « quand les deux systèmes sont bien définis^ on peut . regarder comme iîitrinsèqiiement déterminée la question de savoir s'ils ont môme puissance ou non ; mais la solution actuelle de cette question dans les cas concrets est souvent un des problèmes les plus difficiles^ ». Deux ensembles, en d'autres termes, ont la même puissance , lorsqu'à chaque élément de l'un, par une opération à sens unique, correspond strictemant un élément de l'autre, et rien qu'un. Ainsi, M. Cantor a prouvé que l'ensemble de tous les nombres algébriques * (ou le système de tous les points d'un intervalle qui ont pour abscisses des nombres algébriques^ a la même puissance que la suite naturelle des nombres 1, 2, 3,... n...; si bien qu'on peut faire correspondre un à un les nombres algébriques constituant le système (oj) « aux nombres v appartenant à la série des nombres entiers positifs, de telle façon qu'à chaque nombre

{!) Acla maih,y II, p. 3o3, sq.

(i) Ici., p. 388 et ViO; nrundlagen, § 12 et 13.

(3) Id,, II, p. 36i.

(Vi /(/., II, p. 305, sq.; cf. p. 352 et 353.

d6 ESSAI SUR L'IIYPOTHKSE DES ATOMES

alg(^hrique réel w réponde un nombre entier positif déterminé V, et qu'inversement à chaque nombre entier positif v réponde un nombre réel algébrique w complètement déterminé )) ; on peut en dire autant de lensemble de tous les nombres rationnels, et, chose curieuse, de toute partie intégrante infinie de la série des nombres entiers positifs : par exemple la série infinie des nombres pairs, ou celle des nombres impairs, ont évidemment la même puissance que la série naturelle des nombres ; on dit alors que tous ces ensembles appartiennent à la même classe que cette dernière, ou à la première classe de nombres (I)*, et qu'ils sont dénombrables.

Dans sa recherche des conditions de la continuiti* d'un ensemble, M. Cantor a fait un pas décisif, on le comprend sans peine, le jour où, en prenant comme exemple typique d^m continu l'ensemble de toutes les valeurs comprises dans Tintervalle (0... i), il a pu prouver que cet ensemble ne saurait appartenir à la première classe de nombres ; autrement, dit-il, « il devrait exister une série simplement infinie :/j, ?^i,... Hv,... composée de tous les nombres réels ^0 et :^ 1, en sorte que tout nombre situé dans cet intervalle se présenterait dans celte série à une place déterminée. Mais cette hypothèse est eu contradiction avec un théorème très général que nous avons démontré rijioureusement dans le journal de M. IJorchanll, t. LXXVIl, p. 260, à savoir : Etant dofifiée une série simplement infinie //j, ^^,... ?/»,... de nombres inégaux progressant d^ après une loi quelconque, on peut indiquer dans chaque intervalle proposé [v.,,/^] un nombre v [et par conséquent on en peut indiquer une infinité) qui ne soit pas compris panni les termes de cette série ^ » . Aucun ensemble tel que l'intervalle (0... i), et, d'une manière générale, aucun intervalle continu n'est donc un système

(1) M. Cantor dési<^'nc par (I), par (U), par (III), la première, la deuxième, la troisième classe (le nombres.

(2)^lc/a math., II, p. ?53.

LATOMISMK ET LA GKOMKTKIE 1)7

dénombrablo, et n'a la puissance de la première classe de nombres (I).

Maintenant cxiste~t-il une puissance supérieure à la première ou, ce qui revient au mc^nie, une classe de nombres absolument distincts des nombres de la première et constituant des ensembles qu'aucune série équivalente à la série infinie des nombres entiers positifs ne saurait dénombrer? problème nouveau appelé à compléter directement le précédent, dont la solution, comme on le voit, était tout exclusive et négative.

Pour le résoudre , il est nécessaire que nous donnions sur le procédé général de la dérivation des ensembles qu(»lques indications rapides, mais (essentielles. Voici comment le décrit M. Cantor lui-même, dans un mémoire publié par les Math, Annalen de Leipzig^ : « Etant dcmné, dans un intervalle fini, un système de points, il y a lieu en général d'envisager un second système de points déduit fou dérivé du premier d'une certaine manière, puis un troisième déduit du deuxième de la même façon, etc. ; il est nécessaire de les étudier tous si l'on veut concevoir la nature du premier. « Pour définir ces nouveaux systèmes de points, définissons d'abord la notion du point-limite i^Grenzpunkt) d'un système de points.

« Par poi/U-liniile d'un système de points P, j'entends un point de la droite tel que, dans son voisinage, il y ait un nombre infini de points du système P; il peut d'ailleurs se faire que le point-limite appartienne à ce système. Et j'appelle voisinage d'un point tout intervalle dans lequel ce point est contenu. D'après cela il est facile de démontrer qu'un système composé d'un nombre infini de points a toujours pour le moins un point-limite. Nous appelons point isolé de P tout point qui, appartenant à P, n'est pas en même temps pointlimite de P.

(\) T. V, p. 123, § 2; voyez le passage traduit dans les Acla math., II, p. 343.

A[ SLR LHVl'OTKKSi; DES ATOMES

lors la condition di5terniini!e de tout point de la jport au systi^me donné P, d'être ou de ne pas -limite de ce système; et on a aussi défini, en [ue le système P, le système de ses points-limites, le par P', et que j'appelle le premier si/slème

lie P' se trouve lui-ni^me composé d'un nombre its, K on peut on déduire par le même procédé ème P", que j'appelle le second système dérmipérations analogues, on in-rivc à la notion du »('i dérivé de P. »

lé par exemple, l'ensemble bien défini de tous I, — ,-T .■■■ - .-■• If premier système dérive de contiendra que le point 0, attendu que est limite d'un tel ensemble P, et ne donnera par naissance lui-même, par déduction, à aucun

re, si le système P était composé de tous les droite dont les abscisses sont rationnelles et ,reOet 1 (qu'on y comprenne ou non, les limites), rivé Pse composera de tous le points de l'intcr- , y compris les limites et I ; et, par suite, il sauce lui-même, par déduction, à des systèmes ne diffèrent pas de P'.

il de suite, par ce qui précède, que le procédé on nous permet de diviser en deux genres' prinles ensembles possibles : 1* Au premier genre i tous les systèmes de points pour lesquels il nbre fini positif et entier v, Ici que la v"" déducipes de points qu'il renferme ne consiste plus ints isolés, c'cst-à-dirc ne possède plus aucun

it-il iilile (le mettre le lerleiir cd garde ontre la confiiiion t eUiiaie : il s'of il ki de ili'iiv nenreu d'ensembles qui peuvent nir lous les deux A la première classe de nomlires (1/ définie iux Dotions sont dimc parfaitement diatinctes.

point-limite; d'où il suit immédiatement que la (v -{- 1') déduction ne renferme plus un seul point. Tel est l'ensemble P des nombres rationnels et irrationnels, dont le premier dérivé P(*^ ne renferme déjà plus que les nombres irrationnels A^, ôj..., A„, et dont le second dérivé P'^ ne contient plus qu*un point C, point-limite des nombres irrationnels euxmômes. On dit en ce cas que le système P est du premier genre, et qu'il est, dans ce g:enre, du !•'*, du 2% du 3**, du rf ordre, selon qu'il possède un, deux, trois... ou n systèmes dérivés.

Système P 1 — f- '^ Uir^^ I i » \ . r;?

Sjstême P' |H j ^ \ : V

Système p'

2** Au spcond genre appartiennent tous les systèmes de points pour lesquels la série des dérivations ne s'arrête jamais, si élevé que soit le nombre d'ordre n. Ainsi Tensemble de tous les nombres rationnels d'un intervalle (0...i) est du second ^enre, par la raison que tous les points de cet ensemble sont des points limites, et qu'ils passent tous, y compris les limites et 1, du 1^'' au 2% puis au 3% au 4% au 5" dérivés, et ainsi fie suite à l'infini.

Dans ces conditions, les ensembles du second genre présentent un caractère remarquable, tiré de la considération de leur premier dérivé P^'^ Ou bien, en effet, ils sont tels que le dérivé P '^ de P appartient lui-môme au second genre d'une manière exclusive ; en ce cas, par définition, aucun système dérivé P"\ si grand que soit n, n'est composé uniquement de points isolés, et n'est le dernier dérivé de P; ou bien, et il n'y a pas de troisième cas possible, le système P^'^ peut toujours être décomposé, d'une seule manière, en deux systèmes Q et R essentiellement distincts, en sorte que p(* = Q -|- R ; l'un Q du premier genre se compose des points

60 ESSAI SUR L'IIYPOTirÈSE DES ATOMES

de P^^^ qui disparaissent dans la série P^^\ P^-^, P^^\,., quand on a suivi cette marche assez longtemps; l'autre, R, comprend les points qui sont conserves dans tous les termes de la série pd)^ p(2)^ P!S),^.. En d'autres termes, aucime déduction P"), alors môme qu'on fait croître n à l'infini, n*est en état de faire disparaître aucun des points de R, ou, pour nous sei^vir du langage technique, de les rendre isolés. Pourtant, par une convention que rendent légitime les hahitudes de Tanalyse inlinitésimale, n a-t-on pas le droit de dire que chaque dérivation nouvelle nous rapproche toujours davantage du terme, fiit-il d'ailleurs situé à l'infini, où Visolement des points du système R serait réalisé? Appelons ce dernier dérivé, qui ne se composerait plus que de points isolés, le système P(ci)) ; et puisqu'il est étahli d'autre part qu'il n'existe aucun nombre positif et entier, appartenant à la série des nombres l, 2, 3... fî.. ., qui puisse vd^M'Si^vV isolement en question, il s'ensuit que le nombre (o n'appartient point à cette série, qu'il est plus grand que tous les nombres entiers qui la composent, et qu'il en est, dès lors, comme la limite dans l'infini ou dans le transfini. Ce n'est pas tout; le nombre d'ordre o) de la déduction limite n'est pas seulement un infini ; il est encore, au dire de l'auteur, un nombre infini réel et parfaitement déterminé, en ce sens que l'on peut produire, en partant de la (o'""" déduction à l'aide d'un second principe de formation des nombres très nettement défini ^ la (lo + 1)*'*"% la(a)-|-2)^*, la uo ^ 3)^*'°%... la 2(0^""% n 0/™% w^^"^**, [n w^ + n, o + n2«"«),

(.)" , w' , enfin la w* déduction, et ainsi de suite indéfiniment.

Si surprenante que soit, au premier abord, cette conception (lu mathématicien allemand, on peut dire qu'il l'a singulièrement fortifiée en montrant comment, à des ensembles

(1) Acta math., II, p. 359.

(2) /«/.. II, p. 385 sq.

infinis, distincts et bien ordonnés de la premi(*re classe de nombres (1) répondent des nombres transfinis de même nature que w, nettement différents les uns des autres, et dénombrant exactement les ensembles donnés.

Soit par exemple le système infini bien ordonné 1, 2, 3... /«... ; il a pour limite le nombre infini déterminé w; ou bien encore il est dénombré, selon l'expression de M. Cantor, par ce nombre. Dès lors, la série infinie 2, 3,... n... 1, est dénombrée par w + l, attendu qu'à partir de 2 jusqu'à n in = 00 ), elle est déjà dénombrée par w, et que Tunité ajoutée à la série doit l'être aussi au terme transfini qui la dénombre. Pour une raison semblable, la série infinie bien ordonnée

qui a visiblement la même puissance que la série naturelle des nombres, mais qui se compose de la série infinie de§ nombres impairs dénombrée par o, et de la série infinie des nombres pair^ également dénombrée par (o, est dénombrée en conséquence dans sa totalité par le nombre transfini 2oj.

Il faut donc reconnaître, selon M. Cantor, Texislence de nombres infinis parfaitement déterminés, ou nombres translinis; et lorsqu'on les compare aux systèmes de la première classe de nombres (I), on peut prouver qu'ils constituent une nouvelle classe ayant loie puissance différente de celle de la première. M. Cantor en a donné la démonstration au 5; 12 des Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltif/keiislehre ; (ti il a démontré en outre, au § 13, que la nouvelle classe de nombres suivait hwnédiatement la première, et qu'elle possédait par conséquent une puissance propre qu'il convenait de nommer la seconde, ou la puissance de la seconde classe de nombres (II).

Si Ton veut à présent repasser rapidement par la pensée tout ce qui précède, on se rendra facilement compte que M. Cantor, en procédant, dans une vue unique, aune double recherche, est arrivé à deux résultats nettement séparés,

SAl SL'H L'KYl'OTHKSE DES ATOMES enips de cherchi-r ]cs rapports : il ost parvenu ù 10 part qu'aucun ensemble conlinu, tel que celui points composant l'intervalle (0,.,t), pris comme Btitut de toute étendue continue, ne saurait ôlre 1 puissance qu'aucun ensemble appartenant à la asse de nombres (I), et qu'il ne peut avoir, en , qu'une puissance supérieure h la première. Pa- . à ces recherches, il en faisait d'autres, à iaide ition et d'un nouveau principe de formation des our prouver qu'il exisic toute une classe de nommtiers d'une puissance autre que la premi6rc, et Iroit d'appeler la seconde classe de nombres.

décider si les ensembles continus, qui n'apparrtainemcnt pointa la première classe de nombres, ïnt à la seconde. Rien ne s'oppose, en elfet, dune solue, dès qu'on a reconnu la valeur du deuxième

formation des nombres, à ce qu'on entrevoie, à ? la seconde classe de nombres (11), une troisième

constituée d'après les mômes lois que la seconde, jatrième(IV), une cinquième {V)', etc.. Qui nous lors que le continu ne rentre point dans l'une de supérieures, et qui nousdira dans laqiielle'.' 11 est nous manque, selon la judicieuse remarque de ur aller do la seconde à la troisième classe, une; 1 quelque sorte empirique de passer à celle-ci. lit été la nécessité de suivre les systèmes dérivés

genre jusqu'à leur dernier développement; en ur chaque ensemble de points P d'un certain ant donné que le nombre x appartient à la prc-

la deuxième classe de nombres, mais pas à une

Dde r.on<liii[ niAtiie directement » re résiillat. au moins dans un Par cette méltiode. dit M. Cnutor {Acta iimlh.. 11. p. 390),... il loiijours ù de Dtmveiles fiasses de nombres, et. aveo elles, à isaaces diverses successivement rrnixsantes i|iie Ion rencontre ! matérielle ou immatérielle, n ilé, p. in.

plus élevée, le dérivé P (to) est ou un ensemble 0*, ou un ensemble parfait (c'est-à-dire un ensemble qu aucune dé^duclion ultérieure ne peut modifier) ; il s'ensuit que les dérivés d'un ordre plus élevé que a sont identiques au dérivé P'»), et qu'il serait tout à fait superflu de les prendre en considération* ». Tel est sans doute le procédé d'inductio?i, auquel fait quelque part illusion M. Cantor et qui nous amènerait « à ce théorème, que le nombre des classes d'ensembles obtenus d'après ce mode de groupement est un nombre fini, et qu'il est égal à deux^ ». Malheureusement ce théorème, qui exclurait la considération de toute classe supérieure à la seconde, et qui, des lors, en vertu des théorèmes rappelés ci-dessus, rangerait tous les ensembles continus, exclus de la première (I), dans la seconde classe de nombres (11), ne parait pas encore avoir trouvé sa démonstration rigoureuse, Tout nous incline donc à attribuer au continu la puissance de la seconde classe de nombres ; et si rien ne le démontre absolument, nous avons en tout cas la preuve, selon M. Cantor, qu'il est d'une puissance supérieure, et que, conséquemment, la différence qui le sépare sinon de tous les ensembles discontinus, au moins de tous ceux auquels on Ta jusqu'alors comparé, est essentielle et fondamentale.

Mais ce n'est pas tout ; pour appartenir à la seconde classe de nombres, les ensembles conlinus ne possèdent pas encore leur différence spécifique. Dans un remarquable mémoire des Annales de Leipzig*, M. Cantor a démontré que lorsque d'un espace G„ à 7^ dimensions, on extrait un ensemble de points quelconque M, condensé dans toute l'étendue*

(1) M. Cantor appelle ensemble celui qui, au bout d'un certain nombre de déductions, ne renferme plus un seul point (premier genre).

(2) Malh. Ann., XXUI, p . 462.

(3) Acta math., 11, p. 327.

{k)Math, Ann., t. XX. —Cf. Acta math.yU, p. 367.

(5) Un ensemble P est « condense dans toute l'étendue d'un intervalle

donné » {Uberall-dicht), lorsque chaque intervalle (v (^.], si petit qu'il

soit, compris dans l'intervalle donné (a... ^), contient des points de P. « Si P est condensé dans tout un intervalle (3t...p), il Test aussi dans toute l'élen-

de G,t et jouissant de la propriélé d'être dénombré, il reste alors de l'ensemble G„ ainsi diminué, un ensemble A qui n'est plus continu, et qui cependant, pourvu que n soit au moins égal ou supérieur à 2, est un semi-continu * et appartient à la seconde classe de nombres.

Restait dès lors à indiquer la différence des ensembles absolument continus et des semi-conlinus, au sein de la seconde classe de nombres à laquelle ils appartiennent les uns et les autres. M. Cantor y a réussi en démontrant que les premiers sont toujours des « ensembles parfaits », ce

due d'un autre intervalle quelconque (a'...^') contenu dans le premier. — Un système de points P condensé dans toute l'étendue d'un intervalle (a.«wfi) est nécessairement du deuxième ^^cnre; car alors P^), et par suite Pl^), P(3)^... sont aussi condensés dans tout Tintervalle (a...J> }, et cette suite de dérivés de P est illimitée. » {Acia math., 11, p. 351.) Aucun ensemble du premier genre n'est donc jamais « condensé dans toute l'étendue d'un intervalle »; en revanche, si tous les ensembles continus qui appartiennent à la seconde classe de nombres (11) sont bien condensés^ ils ne sont pas les seuls qui le soient; et il existe dans la première classe de nombres (l| des ensembles qui sont bien condensés, par exemple « l'ensemble de points composé de tous les points dont les abscisses sont des nombres rationnels », et qui pourtant ne sont pas continus. Ce serait donc commettre une erreur grave que de voir dans la « condensation dans foui Vintervallc m {uberall-Diclitiqkeit)^ comme le faisait Bolzano, l'attribut essentiel et suffisant du continu; il y faut ajouter, conmie on va le voir, l'attribut de la « perfection » pour que la définition du continu soit complète.

(1) Les ensembles semi-continus, tels que A. jouissent d'une propriété remarquable à savoir que « pour n '^ 2, l'ensemble A ne cesse pas d'être continu et connexe; en d'autres teruies, que deux points quelconques N et N' de l'ensemble A peuvent toujours être réunis par une ligne continue qui appartient, avec tous ses points, a l'ensemble A, en sorte qu'elle ne contient pas un seul point du système M. » On peut donc « facilement par la pensée faire abstraction de points isolés de l'espace, même quand ils sont condensés dans toute une étendue, et aboutir à la notion d'un espace discontinu à trois dimensions A, dans les condrtions décrites plus haut. Quant à la question qui se présente alors de savoir si on peut aussi imaginer un mouvement continu dans des espaces ainsi discontinus, il faut, d'après ce qui précède, y répondre afftrmalivenient et d'une manière absolue, car nous avons montré qu'on peut relier deux points quelconques d'une figure A par un nombre infini de lignes continues parfaitement régulières. On arrive donc à cette conséquence remarquable qu'on ne peut rien conclure immédiatement du seul fait du mouvement continu pour la continuité générale de l'espace à trois dimensions, tel qu'on l'a conçu pour expliquer les phénomènes du mouvement. On peut donc entreprendre l'essai d'une mécanique modifiée, applicable aux espaces de la même nature que A; grâce aux résultats de ces recherches, que Ton comparera avec l^s faits, on arrivera peut-être à obtenir des points d'appui réels pour l'hypothèse de la continuité générale de l'espace, tel qu'on le conçoit dans la pratique. » [Acta math.^ 11, p. 368 et 370. Cf. p. 407.)

LATOMISMK KT LA CKOMKTUIK 05

qui n'est jamais vrai des autres. On entend par un ensemble de points parfait celui qui renferme précisément les mêmes points que son premier dérivé, et conséquemment que l'un quelconque de ses dérivés: en sorte qu(» P = P^', et par conséquent aussi P=l^'~ ', si élevé (jue soit le monde d'ordre Y*. D'apr^s cela, aucun st/siirne semi-coîilinu, bien qu'il îipparlienne à la seconde classe de nombres (II). nV.s/ un enseînble 'parfait, dès lors que le premier dérivé d'un tel ensemble renferme toujours d<»s points de l'ensemble dénombrable M extrait de (i„, que ne renftM'mait point le semicontinu. Au contraire, le continu linéaire» est manifestement nn mseinble parfait, atlendu que tout point d'un pareil ensemble est un point-limite, et que réciproquement tout point-limite lui appartient comme un de ses points'.

Tous les ensembles continus sont donc des ensembles parfaits; en revanche, tous b's ensembles parfnils S ne scml pas continus : on peut nnmlrer en elfet (ju'il existe des ensembles linéaires parfaits qui ne sont cond(»nsés en aucune partie, si petite qu'elle soit, de la droite au delà de laquelle ils s'étendent*. Et comme le continu linéaire est manifestement un (iusemble de points bien condensé ou bien enchaîné'*, attendu qu'aucun intervalle d'une droite, si j)etit qu'il soit^ ne peut manquer d'être occupé par les points

il) Acta maUi,, U.p. 40.'>.

(2) Voy. Kerry, article cilê. p. liil et tfi.

{'.\) « Comme exemple d*nn système de points parfait, ipii n'est pas condensé dans toute l'étendue d'un intervalle, si petit ((uil soit, j'indique l'ensemble de tous les nombres réels contenus dans la formule :

Cl r. V.

oii les coefficients c-, peuvent prendre .i volont<; les deux valeurs et 2, et où la série peut être composée d'un nombre lini ou infini de membres, m (Cantor, Actu math., U, p. 407. i

II) « Les systèmes de points parfaits S ne sont pas toujours ce ((ue nous avons appelé condensé danif toute Vcleiuiuex c'est pourquoi ils ne se prêtent pas encore à la définition complète d'un continu d<; points, quand même on est obligé d'accorder immédiatement que le rontinu doit être toujours un systcnie parfait.

« Au contraire, il faut encore une notion p«»ur la joindre à celle qui pré-

Han.kequin. ô

pff

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Iti

ii:<*y

d un tel ensomble, ce n'est pas assez, pour déterminer la nature d*un continu, que de le définir un ensemble parfait : il faut le définir encore un ensemble bieîi enchaîné. Arrivé a ce point, M. Cantor croit reconnaître, selon ses propres expressions, « dans ces deux attributs « parfait » et « bien enchaîné » , les caractères nécessaires et suffisants d*un continu de points », qu'il définit en conséquence « un système parfaitement enchaîné »; et il ajoute cette conclusion remarquable : « Ici « parfait » et « bien enchaîné w ne sont pas seulement des mois, mais des attributs du conlinu tout à fait généraux, caractérisés d'une manicre abstraite^ de la façon la plus précise, par les définitions précédentes^. »

Si longue qu'ait été Texposition qui précède, nous n'avons pas hésité à emprunter à la théorie du mathématicien allemand tous les détails nécessaires pour la pleine intelligence de ce diflicile problème et pour le développement de noire sujet ; on peut dire qu'un eiîort si grand n'avait jamais été tenté avant lui, non seulement pour analyser le continu géométrique à l'aide de l'arithmétique, mais encore, et toute Toriginalité de la doctrine est là, pour constituer un continu numérique, dont Tétenduc linéaire et géométrique, ne serait qu'un cas particulier. On vient de voir qu'en séparant réso-

cède et définir le continu : oVst la notion d'un système de points T bien enchaîné.

(' Nous disons que T est un système bien enchaîné, quand pour deux points f|uolconf(ues / et /' de ce système, avec un notnbre donné £ aussi petit qu'on voudra, il y a toujours un ncmibre fini de points /,, i...... t-, de T, de plusieurs

manières, en sorte que les distances ili, t^ t-u t^ /- /•' /' soient toutes plus

petites que £.

« Tous les continus de points géométriques que nous connaissons sont aussi compris, comme il est facile de le voir, sous <'ette notion du systènwî de points bien enchaîné. » (Acia mafh., II, p. 406.)

Ou remarf(uera la substitution des mots bien enchaîné izusammenhafiffetul) aux mots condensé dans tout Vintervalle [iiberaLl-dtchI) ; elle n'a pas (i'autre objet que de déj^ager la mdiou de tout rapport avec l'espace et de lui donner ainsi une valeur absolument générale ; renchaînement peut appartenir, en etiet, à des ensembles (pielconques de nombres aussi bien que de points, tandis que la C(»ndensation se rapporte plutôt aux continus géométriques.

(1) lU,, ibid.

I/ATOMISME ET LA r.KOMKTUIK 67

himcnt tous los ensembles continus de ceux qui appartiennent à la premi^re classe de nombres, M. Cantor transportait du premier coup le débat sur un terrain nouveau : jusqu'alors ennemis et partisans de la continuité n'avaient invoqué, pour la connaître et pour la nier ou l'aflirmer, que la divisibilité à Tinfini, que la dichotomie, comme en usaient déjà Zenon et Aristote, la trichotomie, cm quelque autre procédé du môme genre : méthode condamnée d'avance à ne pas aboutir, puisqu'elle n'emploie, pour épuiser tous les points d'une ligne, que des ensembles analogues à la série des nombres algébriques, et appartenant, comme celleci, à la première classe de nombres. En démontrant que tout système continu possède essentiellement une puissance supérieure à la première, M. Cantor met donc visiblement en défaut l'ancienne dialectique : elle soutenait qu'aucun nombre réel n'épuisera jamais tous les points d'une ligne : cela est vrai de la série, même infinie, de tous les nombres entiers positifs réels et de toutes les séries équivalentes; mais cela ne l'est plus d'une série de nombres transfinis ; et même on aperçoit, à la limite de la seconde classe de nombres, tels nombres de la troisième (III) qui pourraient dénombrer les continus de deuxième puissance *. Ainsi se trouvent ramenés à un concept unique, qui se prête d'ailleurs à toutes les distinctions convenables, le continu et le discontinu % comme s'ils avaient, chose étrange, leur origine commune dans la notion du nombre entier, ce fondement de la théorie des grandeurs, et, en dernière analyse, dans l'unité indivisible et discrète, sans laquelle le nombre entier lui-môme ne serait pas conçu.

Mais, sansparlerde l'imperfection mathématique d'un système qui attend encore la démonstration directe de son théo-

(1) « Tout système bien défini de la deuxième puissance peut être dcnomliré par des nombres de la troisième classe de nombres, et par ces nombres seuls... » {Acla math,. H, p. 39o.)

i%)ld., p. 363 et 365.

ESSAI SI n l/lIVI'nïllKSK DKS ATOMKS principal ', t-t tout on rendant homniugc à la profonde ht conception qui li> domine, c'est une chose frappante e continu échappe encore à hi définition si pnlcise et iTce qu'en a donnée M. Caulor, Soient en effet deux îs concentriques ', construits avec des rayons int^gaiix, ient tirés, du centre à la pius ftrande circonférence, il de niyons qu'on voudra ; oii accordera que jamais, deux figures, une correspondance réciproque à sens le phis comph'^te ne saurail exister; il est donc clair es deux circonférences ont la niOme puissance, qu'elles toutes les deux des ensenihles parfaits et bien encliaini':i : le l'est pas moins il'autre part qu'en prenant pour chason rayon comme unil<? de mesure, elles constituent ensenihles identiques : d'où vient dt^s lors qu'elles (le longueur différente, sinon de ce qu'il existe, en leur e intime, un principe de distinction que ne peuvent idre ni le concept de puissance, ni ceux de perfection nchainement ','

simple exemple met en une vivo lumière le défaut définition quelconque du continu, si sérieuse qu'elle n ello-mûme et si précise qu'on ait voulu la rendre : il rc une fois de plus la vanité de nos efforts pour épuiser luisahle, et pour rapprocher, jusqu'au point de cons- ! la première par le second, l'intuition de l'espace et k' pt du nomhre. Le conlinu et le discontinu n'ont cessé :, selon l'expression de M. Kerry ", aussi étrangers i l'autre que n les enfants de deux mondes » ; et c'est prendre à nouveau le travail dte Danaïdes que do leur 3er une natun- identique.

i savoir le Ilit-oréiiie (|[ii iMnblirnit direcleiiieiit que ia puissanre des blés continus n'est antru i|ue celle de la (leuxièuie classe de nombres. ., p. -iïl, Xa et tôt.,

ous enipninlons il M. Kerry à la fois la romaniiic et l'exemple. Article , 228.

So fi-emd i/ei/enilbcrslelieii, rie ilie hiiider Z'ieUr Wrllen u, Arlicle

L'AÏOMISME ET LA GKOMKTRIE 09

Le succès relatif (le la définition de M. Canlor a sa raison, qu'il n'est point difficile de découvrir, dans le postulat qu'il appelle un axiome, et qui semble, au premier abord, lui donner un continu numérique plus riche que le vrai continu lui-môme. Lorsqu'on prend telle définition du nombre que Ton voudra, il (»st toujours vrai qu'un point quelconque d'une droite détermine sur celle-ci, relativement à un zéro donné, une abscisse dont le rapport à Tunité de mesure se trouve d% même coup défini. En généralisant cette proposition, Dedekind * a pu dire que tout nombre rationnel réalise, dans l'ensemble de tous les nombres rationnels, une « coupe » [einen Schnitt), une division qui les partage en deux classes déterminées de telle sorte que lout nombre de Tune est plus petit que tout nombre de l'autre; or il arrive, lorsqu'on ne considère que les nombres rationnels, qu'il existe des « coupes », des divisions inoccupées par de tels nombres ^ ; dès lors, l'existence d'une « coupe » étant considérée comme suffisante pour définir un nombre qui la produise, il reste qu'elle soit occupée par un nombre irrationnel. En conséquence, si Ton dispose sur une droite l'ensemble de ces coupes ou les points qui les représentent, il n'est pas un seul point de la droite qui n'ait pour expression un nombre rationnel ou un irrationnel. Le postulat de M. Cantor n'a pas, en somme, ime autre signification. Seulement s'il faut admettre, et nous l'accordons volontiers, qu'on peut toujours, pour un point quelconque donné sur une droite, et quart le peut dès lors pour tous, trouver le nombre rationnel ou irrationnel qui y correspond ; si l'on peut, en d'c-iutres termes, définir par des nombres autant de points que l'on voudra d'un continu donné, cela ne veut point dire inversement qu'on pyisse énumérer actuellement^

(1) Dedekind, Stetiff/ceit und irrathniule Zahlen^ Bruns\vii*k, 1872. M. Jules Tannery, dans son Introduction à la théorie des fondions d'une variable, a repris la conception de Dedekind.

(2) « ... Dassesauoîi zahllose Schnifte f/iebt. » Kerry, Article cité, p. 204.

KSSAl SLR L'IIVPOÏHÈSE DES ATOMES

en un ensemble numérique, tous les points sans exception de ce continu. Une telle opération peut toujours être commencée et continuée indéliniment, on ne saurait jamais Tachever ; lensemble cherché existe eu jut/Z-wanc^, jamais e/i acte. Qu'on suppose, par exemple, donnés sur la droite c a:, les nombres rationnels a^, a^,... a^.,,\ a\, a'.,,.,, aV- etc., et

■ />, A^ dji

les nombres irrationnels A,, A^,... b.,^,.. qui en sont, comme on sait, les limites respectives; on peut bien dire, par une convention très légitime, que Ton considère comme donnés tons les nombres rationnels .cr^, «^,... a.,... jusqu*à leur limite />^, tous les nombres a'^ jusqu'à leur limite ù.,, etc. ; mais qui voudrait soutenir qu'ils le sont en elîet ? Est-ce parce qu'on pose une limite que la série qui converge vers elle est tenue pour complète et pour actuellement terminée ? Aurait-elle donc cessé d'être infinie, et les termes les plus précis n'auraient-ils plus leur signification ?

Sans doute M. Cantor invoquerait, pour répondre à notre objection, les nombres Iransfinis de la seconde classe do nombres, dont le rôle est de déno/nbrer les séries infinies de la première puissance ; mais ce serait répondre à la question par la question. Reconnaissons tout de suite, pour éviter toute équivoque, la légitimité de l'hypothèse qui prête une existence indépendante aux nombres tels que to, appartenant à la seconde classe (H) ; pourvu qu'une hypothèse, en ellet, soit féconde, et qu'elle se prête à des démonstrations nouvelles, il n'importe qu'elle échappe ou non à toute discussion. Mais il en va tout autrement dès qu'on en veut saisir le sens profond et philosophique; et c'est ici ce qui nous préoccupe. Or, le nombre co, quelques précautions qu'on ait prises pour le définir, nous paraît retenir précisément toutes les difficultés des séries infinies, bien loin qu'il les écarte et qu'il y mette un terme. On se souvient des conven-

LATOMISME ET LA GEOMETRIE 7t

lions sur lesquelles il repose : lorsqu'on développe en série la suite des nombres entiers positifs réels 1, 2, 3,... v..., et, d'une manière générale, tous les ensembles de la nic^Mne puissance qu'elle, il est certain, d'une part, si grand que soit V, que la série peut-être indéfiniment continuée, et qu'il n'existe pas de nombre v, appartenant à la série, qui soit le plus grand de tous. Toutefois, « on peut, d'autre part, imaginer un nouveau nombre, que nous appellerons o>, et qui servira à exprimer que tout l'ensemble (1) est doniit' d'après la loi dans sa succession naturelle. On peut même se représenter le nouveau nombre (o comme la limite» vers laquelle tendent les nombres v, à condition d'entendre par là que 10 sera le 'premier nombre entier qui suivra tous les nombres v »*. Oui, sans doute, on le peut, mais par une convention plus arbitraire que ne le fut jamais convention mathématique ; il ne s'agit, en effet, de rien moins que de tei)ir pour donné un ensemble infini, qui, par définition, ne saurait jamais lètre, et que de faire finir, par une hypothèse violente, ce qui rigoureusement ne peut jamais finir. Et en quel sens ici parle-t-on de limite? On n'avait jusqu'alors reconnu de limites qu'aux séries convergeantes, de sorte qu'à la fin les derniers termes obtenus n'en laissaient dilTérer la série que d'une quantité plus petite que toute quantité £ donnée, si petit que fût s ; mais ici, en des ensembles de la classe [\) essentiellement divergents, a-t-on le droit de dire jamais, si élevé que soit v, qu'on se soit rapproché d'une limite quelconque? De vrai, à chacun des degrés franchis dans la série, la limite, si elle existait, serait encore à l'infini, ni plus ni moins éloignée par conséquent du d^gré nouveau que du précédent, ce qui revient à dire, en termes rigoureux, qu'il n'y a point de limite. Que si M. Cantor, en vertu d'une définition, trouve avantage à retenir pourtant la notion d'une telle limite, nous n'y voyons

;1) Acla math., II, p. 385.

72 ESSAI SUU LHYPOTHÊSE DES ATOMES

rien à reprendre; mais nous n'oublierons pas le nombre (o, dénombrement (Anzahl; possible et purejnent idéal, jamais actuel^ d'une série qui ne saurait finir, n'est qu'un symbole de rinfmi, et que, tout en étant plus net et plus commode, il entraîne à sa suite, sans rien résoudre, tous les mystères et les obscurités. En conséquence, toutes les fois qu'un nombre tel que m apparaîtra dans une formule, retenons bien qu'il marque la présence ou d'un infini simple, j'entends d'une unique série infinie dénombrable, ou même, pourquoi pas ? d'un infini plusieurs fois et indéfiniment redoublé, j'entends de séries infiniment multiples, associées entre elles ; et quand M. Cantor, tout en établissant que le continu est d'une puissance supérieure à la première, rencontre tant d'obstacles pour démontrer qu'il appartient à la seconde classe des nombres, et non à la troisième, ou à la quatrième, qui sait s'ils ne viennent point de ce redoubbv ment à l'infini de l'infini lui-même au sein du continu?

Quoi qu'il en soit, en rattachant à une classe de nombres plus élevée que la première tout ensemble continu, M. Cantor a eu le mérite, que nous ne saurions trop reconnaître, d'établir, d'une façon précise et générale, la distinction radicale du continu à l'égard des séries infinies quelconques connues et définies jusqu'alors. Quant à trouver un infini déterminé, ou comme il dit lui-même, un transfini dénombrant ces dernières ; quant à tenir dans nos formules l'épuisement total de l'infini numérique inépuisable par défini lion, ou celui <le nos lignes, inépuisable par nature ; quant à construire, eu un mot, avec des unités, avec des indivisibles, avecdes points un continu, il y faut renoncer tant que nous n'aurons point trouvé les moyens d'achever l'inachevable compte des séries infinies. Qu'on détermine tant qu'on voudra des points sur une ligne et qu'on en détermine encore et toujours davantage, il reste éternellement vrai qu'entre deuxd'entre eux, à moins qu'ils ne coïncident et qu'ils ne se confondent, réapparaît un continu, qui les unit, et qui pose à nouveau le problème inso-

L'ATOMISME ET LA (iÉOMÉTHlE 73

lublc que Ton pensait résoudre. Là (»st, on somme, la raison profonde de l'impuissance d'un em^emhle pourtant parfaitement enchaîné, à rendre compte» des longueurs des deux cercles pris plus haut pour exemples, et de leur différence.

CO'CLUSïON. PKEMIÈUE CONTRADICTION FONDAME^TALE : DIVISI- BILITÉ NÉCESSAIRE DE l'ÉLÉMENT INDIVISIBLE

Les efforts de AL Cantor n'ont donc servi qu'à rendre encore plus évident le ccmllit depuis si longtemps aperçu entre le continu d'une part, et le nombre de l'autre : conllit qui rejaillit sur notre conception même de l'atome et sur la iloctrine tout entière de l'atomisme. L'atome, en effet, est né du nombre ; il est né du besoin qui pousse notre esprit à porter l'analyse jusqu'aux régions où elle rencontrera Tunité bien définie, l'élément intégrant, indivisible dont sont faites les choses, si bien que, ne l'y trouvant point, elle détermine, en cette matière toute» idéale qu'on appelle l'espace, Télément qu'elle y cherche et quVlh> y constitue. Sorti des sources mômes d'où nous vient le calcul, l'atomisme aura le sort de ce dernier, pénétrera partout à j^a suite, vivra de sa vie, protitera de tous ses développements, et s'arrêtera devant les mêmes obstacles. Parce que, dans l'étendue, nous postulons une unité dernière, nous nous trouvons nécessairement conduits à v déterminer l'atome ; mais la continuité qui ne se lasse point de recevoir nos différentiations et nos ensembles numériques , nous échappe toujours, QïValoiHe étendu devient une contradiction.

A vrai dire, s'il ne s'agissait point pour nous d'aboutir à l'explication des phénomènes, la géométrie seule ne nous eût point conduits à l'atomisme; que nous importerait que, dans un cercle ou une courbe quelconque, s'il s'agissait seulement d'en trouver Téqualion ou d'en mesurer l'aire à

KSSAi si;k i/irviMjTiiÈsE iir.s ArnîiKs

ine intt'grale, il y i-ùt ou non des iSk-menls finis ? s, nos conventions sont assez ing(?iiU'uses et nos s assez souples pour soumettre a. l'algèbre, sans eur nature, toutes les figures tracées dans notre Tandis que l'élément s'enfuit vers sa iîmilc, peu [>orte qu'à la fin il l'ait atteinte ou non ; l'essentiel t la déterminant, nous ayons pu surprendre, sans ssijinable, le rapport <jui nous intéresse. Mais quand is tournons vers la réalité, comment laisser à lélête mobilité sans fia, ou comment croire qu'il ait, au

cUoses, uiio L'xistence réelle, saos rien de fixe dans ù ou de fini dans ses dimensions ? Descartes a prééer ainsi une pliysique qui ne l'ùl en quelque sorte céométrie ; et puisque l'essence du corps ne consis- 1 l'élendue, il en tirait celte conséquence qu'on peut

au corps, sans y rien modifier, toutes les prot tous les caractères de la pure étendue; de là, les . de ia matière au nombre de trois, matière aussi uc l'élément de l'analyse infinitésimale, aussi grosil le fallait pour rendre compte des propriétés des iibles et tangibles, et en même temps aussi subtile l'exiger l'explication de la lumière, de la chaleur,

agents analogues, ilobbes a dit le dernier mol de ]ue corpusculaire ; elle a, pour expli<jiier toutes les es phénomènes, autant d'espèces de matière subtile, 'espèces d'atomes qu'il en faut, atomes au regard les autres, comme le sont entre eux des infiniment divers ordres consécutifs. Etainsi la matière comme [ infinitésimal s'enfuit sans lin, entre les mains du 1 de l'école cartésienne, vers une limite qu'elle ne indn^ : si bien qu'au lieu d'une réalité, il ne lui 'un abstrait, et qu'à la place d'un corps, il n'a lisi, eu résumé, qu'une figure vide et qu'un concept que.

ireusement la nalurc iinie des phénomènes ne

L'ATOMISMK KT LA GKOMKTKIK 7a

s'acconiinode point ainsi do riufini ; elle oxige que Tolémont sur lequel on la iixe, se détermine assez lui-même pour expliquer, en iin de compt<% ses propres déterminalions ; et notre esprit, parti de l'unité, cette mesure absolue du lini, en traversant le continu y laisse» son empreinte incfl'açable, pour être à même de retrouvcM*, dans la réjj^ion des phénomènes, les déterminations de la réalité finie.

Ainsi s'impose à notre science le lien ([ui doit unir au mieux délini de nos concepts la réalité Unie : l'atome, contradiction llagrante du divisible indivisible, portant en soi TinelTaçable preuve que toujours quelque chose du monde échappe à notre intelligence.

CIIAI'ITIIK M

L'ATO.MISME ET LA MÉCANIQUE

l.cri coiiililioiH ujt'caiiiqui's de l'atomisme. c cl li> iiiouvemoiil. — l.'uiiili' éli-raeiilniro ils mnssp et l'atoinr. Iluiixii'inc coiili-u.ilicliuii.

LES CONDITIONS MÉCANIQLtS Dli l'aTOMISME

l'xisle point, à vrai dire, d'atiimisme géométrique mtHrio, en d'autres termes, laisse à l'étendue, lors

qu'elle y introduit les concepts arithmétiques on qnes qui diîcoulenl du nombre, sa continuité orijiit indestructible ; et si notre analyse poursuit sans in élément dernier, encore est-il certain qu'elle n'en jamais qu'une déferminalion relative et idéale, assez pour oITrir un appui à notre connaissance, mais trop

et trop fuyante pour altérer en rien la nature de e. Ainsi s'explique que le géomètre n'ait rien de

à dire, de nos jours, sur la question, jadis taiil le, du vide et du plein : l'Espace en soi est plein,

il est continu, dans l'intuition, mais non dans le t en y supposant des séparations et des limites, nous ons qu'introduire, en une forme de l'intuilion senme discontinuité tout idéale, nn vide abstrait et relaproblème du vide et du plein passe ainsi de la metaue h la tliéorîe de la connaissance : la solution s'en déplacée, et ne comporte plus d'application directe à ité de l'univers physique.

I/ATOMISMI*: KT LA MÉCAMOUE 77

Est-ce à dire qu'en cet état nouveau de la question, ratomismc n'ait point dans la nature môme et les principes de la géométrie sa primitive raison d'être, sa condition première? Tout au contraire, c'est en ce sens surtout qu'il t»n dépend de la manière la plus étroite ; et si Tatonie est le produit de notre connaissance, c'est en définitive à la jréométrie qu'il doit d'avoir tiré du nombre son existence et de réaliser en soi l'accord intime de l'étendue et de l'unité.

Toutefois Tanalyse qui nous donne le concept de l'élément géométrique, ne nous eût jamais donné celui de l'atome, si notre esprit n'eût exigé l'explication mathématique de la nature ; rien n'est, à première vue, si éloigné de Tatome, rigide et insécable, que Télément géométrique, toujours changeant et toujours divisible ; mais quand les lois de notre connaissance obligent la physique à demander à l'analyse la réduction de son objet qui, sous des formes^ diverses et multiples, est toujours le mouvement, alors naissent du mouvement lui-même et de ses propriétés essentielles des déterminations qui s'imposent à l'élément, et qui, en le forçant à pn^ndre le contact du réel, lui donnent par avance le caractère lini de ce dernier et la stabilité d'un véritable atome.

Ainsi s'achève, gràci» aux concepts propres de la mécanique, la détermination qui n'était qu'en puissance dans la géométrie ; si bien que l'atomisme, dont la raison cachée remonte jusqu'à TAnalyse, et, à travers cette dernière, jusqu'à l'entendemenl, ne trouve que dans la mécanique et «hms l'explication mécaniste des choses, la cause prochaine ot comme l'occasion de son apparition.

On peut dire, en eiîet qu'avec la mécanique, notre mathématique s'approche d'aussi près qu'elle le puisse des phénomènes et du réel. Au delà du mouvement, il n'est plus rien en eux qu'elle soit capable de connaître ; mais en revanche, on ne peut contester qu'elle étende la puissance

78 ESSAI Sru L'HYPOTHÈSE DES ATOMES

(le sa réduction jusqu'aux derniers mouvements, simples ou compliqiu'^s, visibles ou invisibles, moléculaires ou autres, qui se produisent dans les choses; et, en ce sens, s'il était vrai qu'un changement quelconque, dans la nature d'un corps, fût toujours un mouvement, il serait vrai, du même coup, qu'elle est à même d'épuiser, par l'eiïort d'une déduction ininterrompue, tous les changements des phénomènes et jusqu'à la réalité de ces derniers, dans la mesure où leur <»ssence est d'être un perpétuel devenir.

Tel est, sans contredit, l'espoir du mécanisme. Nous voudrions montrer que dans ces conditions, l'application de nos concepts à l'analyse des phénomènes et des mouvements astreint la dynamique à postuler un (dément de masse^ et notre mécanisme universel à devenir Tatomisme. Nous voudrions montrer, .en d'autres termes, que nos concepts du mouvement nous conduisent' tout droit, contrairement à la thèse de Kant*, à la discontinuité de la matière et de la masse.

LE MOUVEMENT : CONDITIONS ET DÉFINITION DU MOUVEMENT UECTILIGNE El UNIFORNE, 3IESURE DE TOUS LES MOUVEMENTS

Le mouvement, comme l'étendue, est tout d'abord l'objet d'une intuition ; et en ce sens, nous n'en avons, ainsi qu'on Ta si souvent remarqué, l'appréhension première que dans la sensation, nous la devons à Texpéricnce. Seulement, tandis que l'intuition de l'étendue est simple, celle du mouvement, pourrait-on dire, est double ou composée; la représentation de Tune n'implique rien qu'une détermination de l'intuition pure de l'Espace ; la représentation de l'autre implique tout à la fois et Tétendue et la durée, l'intuition pure de l'Espace

(1) Melaphijsische Anfanrjsgvilnde dev Naturwlssenschafl.

oA du Temps, ou, plus oxaetonient encore, l'étroil enchaînement, lintinie et profonde combinaison des formes intuitives de lEspace et du Temps.

L'étendue, prise à part, est Tobjet propre de la géométrie ; et à ce titre, si utile que soit pour le développement de certains théorèmes la considération du mouvement des figures, jamais Tétendue seule ne nous donnerait le plus élémentaire des concepts mécaniques.

En revanche, la durée n'est l'objet propre d'aucune science ; vue en elle-même, et vide pour ainsi dire, elle est insaisissable, non seulement comme l'étendue, qui, même vide d'objets, conserve au moins, grâce au schèmedes figures idéales, lu possibilité d'jt^tre représentée, mais encore à un degré de plus, puisqu'il n'est pas de schème propre à la durée, et qu'elle ïxqu saurait trouver un qu'en rempnmtant à l'intuition de l'espace.

Et cependant le temps, où Kant voyait la forme du sens intérieur, est irréductible à l'intuition de l'espace ; et cela est si vrai que l'empirisme de notre siècle n'a jamais tenté la réduction de la durée à l'étendue», tandis qu'il a souvent soutenu la réduction inverse. L'intuition de l'avant et de l'après ou de la succession s'évanouit peut-être quand l'abstraction tend il la séparer des représentations successives qui se rangent, qui s'ordonnent en elle ; pourtant il est certain qu'elle ne saurait naître ni des états de conscience qui se suivent, ni des positions successives d'un mobile dans l'espace, mais qu'elle est logiquement antérieure, comme la condition sans laquelle rien de successif ne serait donné, à la représentation des unes et des autres.

Dès lors, quoi d'étonnant qu'il n'y ait pas de schème du

(1) Cette réducUon, du moins celle du Temps pur, ou Temps mathématique, à l'étendue, M. Bergson l'a tentée, dans son /f.swfti ffur les données immédiates de la Conscience ; mais en distinguant le Temps mathématique de la Durée réelle, il n'a pas pu dépouiller le Temps, comme symbole géométrique de la Durée, du caractère essentiel de cette dernière, qui est la succession, et qui retrouve jusque dans l'étendue, sous la forme du mouvement.

80 ESSAI SrU LHYPOÏÏIÈSE DES ATOMES

temps, forme du sons intérieur, point d'image de l'invisible, de l'intangible, qunnd l'état de conscience, en tant que tel, se refuse lui-même h revêtir un caractère extérieur et sensible, et quand sa condition première doit échapper, à plus forte raison, à toute image et àtoule figure ?

Mais aussi, quand on revient enfin de la représentation au représenté, des sensations subjectives et changeantes aux changements réels des objets sentis, la forme du sens intérieur, en s'étendant sur le champ tout entier de l'expérience sensible, devient, par une sorte d'accident, la forme du sens extérieur lui-même: en pénétrant le monde et ses changements, le temps, qui tout d'abord n'était qu'en nous, sort de nous et pénètre l'espace ; et du même coup le phénomène, primitivement perçu dans la conscience, puis extériorisé et projeté hors de nous, nous apparaît encore comme changeant à travers la durée, puisque c'est sa vie même el son essence que de durer el de changer ; mais il nous apparaît aussi comme étendu el comme déterminant à chaque instant dans l'espace un système de positions sans cesse modifiées et continûment variables.

Et dès lors se dégage, pour la science toujours prête à substituer à la représentation ses conditions abstraites et mesurables, l'intuition complexe de la position i:anable^ du changement sans rien qui change, dans l'élendue, sans rien ((ui la remplisse, du ))wuve7nent en un mot symbolisé dans des points qui se meuvent et qui déterminent, en se déplaçant, le système géométrique ou la figure de leurs positions successives.

Un mobile qui marque les positions à chaque instant occupées, et une trajectoire qui les synthétise en donnant du même coup un corps au changement, un schème à la durée (|ui, par elle-même, n'en comportait aucun, tels sont donc les éléments irréductibles de l'intuition qui va servir de point d'appui à nos concepts mécaniques.

En revêtant ainsi des formes géométriques, il est trop

clair que le mouvement, comme les figures qui le représentent, ne peut manquer de donner prise à l'analyse et à la quantité; reste à savoir s'il ny perd rien de sa nature, et si, projeté sur une ligne dont toutes les parties sont simultanément données, il ne se résout point lui-môme en un ensemble de positions coexistantes, en cessant d*ôtre un changement réel.

Il en serait ainsi sans doute si le mouvement, fonction de l'étendue, cessait, par le fait môme, d'ôtre fonction de la durée. Mais il est, nous venons de le voir, fonction tout h la fois de Tune et de Tautre, et n'est le mouvement qu'autant que l'étendue déterminée par les positions du mobile, ou, comme on dit, parcourue, est liée à une partie de la durée. Définir cette liaison ou ce rapport, c'est définir le mouveihent ; et il va de soi qu'à un mouvement bien défini, ou constamment identique à lui-môme, doit répondre un rapport également bien défini et constant. C'est dire, en d'autres termes, que pour bien définir nn mouvement, dont

la mesure serait par exemple — , le rapport — doit conser-

ver une valeur constante, quelles que deviennent les valeurs de t et les valeurs correspondantes de e, ou, comme disent les mathématiciens, les différences \t et le. Tel est, en mécanique, le concept qui y tient la môme place qu'en géométrie la ligne droite, et qu'on appelle la vitesse; en soumettant à la quantité l'intuition du mouvement, elle fait du mouvement rectiligne et uniforme le type et la mesure de tous les mouvements possibles, sans rien exiger d'autre qu'une mesure de l'étendue et de la durée. Reste à savoir s'il est possible de mesurer la seconde, comme nous savons

que la géométrie mesure la première.

e Lorsqu'on me donne un rapport — , j'entends clairement

ce que signifie la valeur d'une quantité e ; c'est, par exemple, le nombre qui exprime combien de fois est contenue dans un volume, une surface ou une ligne, dont les limites sont

Haknequin. C

données, l'unité de volume, do surface on de longueur, d'ailleurs arbitrairement choisie ; je sais mémo, d'une façon plus précise, que l'étalon de toutes les mesures géométriques est une droite, qu'on est convenu de prendre pour unité.

Mais, lorsqu'il s'agit de la durée, comment la mesurer et la compter? Est-il sûr seulement qu'elle soit une grandeur? A supposer que je tienne pour exacte la notion confuse que j'ai de ses parties, comment trouver une unité dans le présent, peut-être invisible, ou peut-être mal limité par des contours indéfinis? et comment, on tout cas, dans un avenir ou un passé qui n'ont point d'existence, la transporter, comme sur la ligne l'unité de longueur, pour constituer, avec l'indéfini et dans l'indéfini, le nombre défini des unités do temps? Quoi qu'il en soit de la nature du temps, il est tellement insaisissable en soi que l'imagination, nous l'avons déjà dit, n'en a même point deschèmo, et qu'il n'existe pas de science de la pure durée, ce qui ferait présumer que le temps pur échappe aux prises de la quantité. Bref, en ce sons, la grandeur / est une idée confuse, et je no sais môme point comment il se pourrait qu'elle fût quantité. Qu'est-ce,

dès lors, qu'un rapport-—, et quelle signification donner à

la vitesse ?

I^n revanche, c'est pourtant une intuition réelle que celle du mouvement. Autre chose est un espace e, tout à la fois donné comme en géométrie, et le même espace c% dont les points ont été successivement, jamais ensemble, les places du mobile. J'admets qu'on no sait rien du temps en soi, qu'on no peut le réduire à la façon d'une grandeur ordinaire; mais on conçoit, au moins, très nettement que les points d'une trajectoire no sont plus, comme les points d'une ligne géoméfrique, extérieurs les uns aux autres dans la simultanéité seulement, mais qu'ils le sont en outre dans la succession ; ce qui revient à dire, quelque idée qu'on se fasse d'ailleurs do colle dernière, que deux positions du

mobile ne sont jamais données ensemble et que pourtant un continu les relie toutes entre elles, puisqu'elles laissent, sous la forme d'un espace parcouru, leur trace en une figure géométrique.

Ainsi, le temps n'est point saisi directement ; mais il est lié d'une manière intime à cette forme de Tintuition de l'espace, qu'on pourrait appeler l'intuition mécanique. Dès lors, il se trouve impliqué dans la genèse de la trajectoire : il y donne un sens nouveau à Textériorité réciproque des positions ou des points, en môme temps qu'il reçoit, de la ligure qui les synthétise, un caractère ineffaçable d'homogénéité et de continuité.

Mais alors, la ligne droite, mesure dernière de toutes les lignes, devient du même coup la mesure de toutes les trajectoires, mesure tout à la fois de l'espace et du temps, ou plus exactement, mesure et schème d'un mouvement qui va participer de ses propriétés essentielles, être homogène et continu comme elle, dans la durée comme elle l'est dans l'espace, qui va trouver, en un mot, sa définition dans Tabsoluc et rigoureuse uniformité. Sans la notion qui rive tout d'abord un élément de la durée qui s'écoule à l'élémenl ifune droite parcourue, nous manquerions, enetfet, toujours d'un terme fixe auquel nous puissions comparer des mouvements quelconques; en d'autres termes, sans le concept du mouvement rectiligne uniforme, il n'y aurait pas plus de mécanique que sans la droite il n'y aurait de géométrie. De là vient, pour le dire en passant, que le Temps pur trouve son symbole dans la trajectoire du mouvement rectiligne et uniforme, par la raison que nos définitions atteignent en même temps que le conditionné la condition, en même temps que le mouvement la durée qui le rend possible et qui s'y manifeste. Delà vient enfin que nous concevons toujours un mouvement uniforme, qui soit le type de tous les autres, une vitesse immodifiée, qui soit la mesure de toutes les vitesses; et cette vitesse est, à nos veux, la

vitesse absolue du Temps, dont nous cherchons alors Timage en ceux des mouvements qui nous paraissent dans notre univers les plus constants et les plus réguliers.

Telle est, si nous ne nous trompons, l'intime et profonde liaison de nos concepts mécaniques, obscurs et confus sitôt qu'on les sépare, rigoureux et précis des qu'on les rapproche et les unit, termes indéfinis, en un mot, de rapports qui se laissent pourtant définir avec une parfaite précision, comme il arrive au reste à chaque instant dans les mathématiques.

Rien n'est donc plus clair que le concept de la vitesse ; les mécaniciens disent qu'elle est le rapport de lespace parcouru au temps employé à le parcourir, ou, mieux encpre,

la dérivée de l'espace e par rapport au temps correspon-

(le dant t; -^ — == v; formule précise, qui non seulement saisit

et détermine le mouvement dans un instant aussi court qu'on le veut, mais qui, de plus, fait ressortir l'indissoluble liaison, en son essence, des deux variables de l'espace et du temps, dont la dernière est la fluente, comme lappelait Newton, et s'écoule avec. une idéale et rigoureuse uniformité.

On peut tout de suite remarquer, après Kant, que la vitesse comporte une représentation purement géométrique : elle n'est jamais, aux yeux du mathématicien, qu'une longueur ; et, comme toutes les longueurs, on la mesure en la comparant à telle longueur déterminée que Ton voudra, prise pour unité. Lunité d'une vitesse figurée par une droite est, par exemple, le fragment de cette droite que le mobile parcourt dans l'unité de temps. Une vitesse double, triple, quadruple de la preaiiore est figurée par une droite deux, trois ou quatre fois plus grande, que le mobile parcourt ou pourrait parcourir dans Tunité de temps. Rien n'est, dès lors, plus simple, quand une fois on les a représentées par des droites, que de faire une étude géométrique des vitesses des mouvements uniformes, que de trouver les

L'AÏOMISME ET LA MÉCAMOLE 83

lois de leur composition et de chercher leur résuHante. Telles sont aussi les questions principales de la science que Kant appelait la phoronomie et qu'on appelle ordinairement en France la cinématique.

Restait toutefois pour rendre compte des mouvements complexes donnés dans Texpérience, à construire un nouveau concept, ddrivé du premier, qui permît de réduire toutes les formes possibles des vitesses variables à la notion de vitesse constante. Pour cela, il suffisait de supposer constante et régulière la variation de la vitesse elle-mùme ; ce qui revient à dire qu'il sufiisait de concevoir qu'à chaque instant s'ajoute à la vitesse acquise un élément bien défini de la môme vitesse, comme si, à un moment quelconque, la vitesse d'un mouvement uniformément varié n'était que rintégrale d'accroissements définis et égaux de la vitesse primitive. C'est ce que montre, avec iine rigoureuse exactitude, la notation analytique, qui permet de définir l'accélération ^ comme la dérivée de la vitesse : d -7 — = -7 — = -; — .

On voit, sans autre explication, qu'on peut toujours décomposer un mouvement irrégulier en un nombre plus ou moins grand de mouvements régulièrement variés, et que les deux notions de la vitesse et de l'accélération sont suffisantes pour une étude complète de la phoronomie.

LES CONDITIONS DYNAMIQUES ïi\5 MOUVEMENT : LA NOTION DE FORCE ET LA NOTION DE MASSE, CORRÉLATIVES l'uNE DE l'aUTRE.

Mais la phoronomie, si essentielle qu'elle soit dans l'étude du mouvement, n'est pourtant, à ce qu'il nous semble, qu'une introduction nécessaire à la mécanique ; elle n'est

(1) Nous noas bornons, dans ces considérations, au cas le plus simple, à savoir, au cas du mouvement rectiligne, qui reste, d'ailleurs, le fondement àe tous les autres.

pas encore la mécanique elle-même. Sans doute elle atteint le mouvement ; partie des concepts connexes de la vitesse et de l'accélération, Tobjet qu'elle analyse et qu'elle réduit par les méthodes éprouvées do la géométrie, c'est le mouvement une fois donné, le mouvement phénomène, sans considération de sa genèse ou de ses conditions : on pourrait dire que ce qui l'intéresse exclusivement, c'est la nature de la Irajocloire, sa forme géométrique, son unité linéaire, ses rapports tout nu moins à l'uniformité rigoureuse et postulée (lu lemps ; bref, c'est la trace géométrique laissée dans l'espace par la position du mobile, ce n'est jamais la condition qui la rend telle ou telle, rectiligne ou curviligne, ou qui la fait décrire avec une vitesse tantôt variable et tantôt uniforme. Or, s'il est vrai, en mécanique, que les vitesses ou les (effets soient seuls susceptibles d'ôtre directement connus et qu'on ne puisse que dans leur uniformité ou dans leurs variations apercevoir la nature de leurs causes, constantes ou diverses, encore est-il bien évident que l'objet de la mécanique est avant tout la détermination des conditions du mouvement. La phoronomie l'analyse en lui-même, dans la vitesse où il se manifeste, et quand il est donné ; la dynamique cherche les conditions de la vitesse, avant qu'il apparaisse ou quand il se produit. Celle-ci rend raison, dans l'objet, des caractères et accidents que celle-là y découvre, et que, sans elle, on n'eût d'ailleurs jamais ni vus, ni soupçonnés. La phoronomie, en un mot, n'est qu'une langue géométrique oii s'expriment, dans leurs elTels, les conditions et les lois du mouvement qui sont l'objet de la mécanique véritable ou de la dynamique.

De ce point de vue nouveau, l'attention du mécanicien doit se porter sur le mobile, tandis que la phoronomie n'avait tenu compte que de la trajectoire. Le mobile est en elfet la condition première du mouvement : c'est lui, en somme, qui se meut, lui dont les positions successives et changeantes tracent la trajectoire comme s'il portail en soi

LATOMiSME ET LA MÊCANIOfE 87

la puissance du mouvement, et comme si ce dernier n'était à chaque instant que son état, tantôt constant, et tantôt variable. Sans réaliser aucune abstraction, il est bien clair que la phoronomie elle-mc^me ne saurait s'empôcher de donner au mobile, au point géométrique qui se meut, une certaine détermination, qui lui permette de marquer k chaque instant une position nouvelle, initiale ou finale ; et, sous peine de laisser échapper jusqu'au concept tout idéal et géométrique de la vitesse, encore faut-il au moins en revêtir le point qui se déplace. En vertu de cette première détermination , le mobile devient un sujet d'inhérence : il était tout à Theure un simple point géométrique ; il se peut à présent qu'il soit encore un point, mais un point qui possède un état de repos ou de mouvement ; et à moins que la mécanique n'ait aucun objet, ou, ce qui revient au même, que cet objet, ne comporte aucune détermination fixe et soumise à des lois, les modifications du mouvement et, partant, celles de l'état du mobile ne sauraient aller sans des conditions qu'il faut chercher et qui sont Tobjet même de la dynamique.

On va voir combien sont précieuses, pour les découvrir, les notions fondamentales de la phoronomie.

Et d'abord on a le droit d'appeler constant ou identique l'état d'un mobile lorsqu'il est animé d'un mouvement qui lui-même ne varie point ou qui est tout ensemble rectiligne et uniforme ; si c'est, en effet, l'état du mouvement qui le caractérise en tant que mobile, il est clair que l'état du mobile ne change point pendant tout le temps que la vitesse elle-même reste constante. Et qu'on n'objecte point que la définition est arbitraire : car un mouvement, nous l'avons vu, si courte qu'en soit la durée, ne saurait être bien défini, en tant qu'il reste invariable, que par une droite qui synthétise l'unité d'un espace homogène et l'unité d'un temps également homogène : un mouvement bien défini en ce sens est donc toujours rectiligne et uniforme, d'où il suit

il*-:

liécessairement que Tétat d'un mobile n'est à son tour hum défini commlî égal à lui-môme que lorsqu'il est animé d'un tel mouvement.

Dès lors, quand la vitesse d'un mobile reste constante, qu'elle soit d'ailleurs réelle ou nulle, et quand le mobile est animé en conséquence d'un mouvement rectiligne et uniforme ou qu'il demeure à l'état de repos, on a le droit d'affirmer, par définition, qu'il persiste dans un état identique, et qu'à un changement nul il n'y a point de cause. Au contraire lorsque sa vitesse varie d'une manière quelconque, la même raison nous oblige à penser qu'aux variations de la vitesse répondent des conditions de changement, aux variations irrégulières des conditions irrégulières, aux variations constantes des conditions persistantes et fixes : et comme, en mécanique, la variation de la vitesse n'est autre chose que l'accélération, c'est, en dernière analyse, l'accélération qui devient le signe d'un changement déterminé dans l'état du mobile, et c'est elle seule qui permet d'en rechercher la cause et de la définir.

Tirons maintenant les conclusions de la déduction qui précède :

1** Etant donné que l'état d'un mobile n'est nullement modifié lorsqu'il reste en repos ou lorsqu'il continue un mouvement rectiligne et uniforme, il est établi réciproquement qu'un mobile abandonné à lui-môme persistera dans l'état de repos, s'il est au repos, ou continuera uniformément ^t en ligne droite, s'il est mû, le mouvement commencé.

Quelle raison trouver, en effet, dans le mobile isolé, d'un changement d'état? Spontané, le mobile ne Test pas, à moins qu'on ne conçoive qu'il puisse, à chaque instant, toutes choses restant égales, ajouter à sa vitesse initiale un degré quelconque de vitesse ; mais il n'y aurait point alors de science du mouvement, puisqu'il serait contradictoire qu'une définition, d'une forme quelconque, put jamais saisir une indétermination qui serait absolue. D'autre part, le

L'ATOMISME ET LA MÉCANIQUE 8î)

mobile ne renferme point on lui-même une cause de changement ; car l'hypothèse de la spontanéité étant écartée, la cause serait constante et les effets, constants comme la cause, ne manqueraient point de se traduire dans une variation constante de la vitesse, ce qui répugne à la définition de l'état persistant d un mobile isolé. Il est donc démontré que le mobile, abandonné k lui-mômc, tend à rester dans l'état de repos, s'il est au repos, ou, s'il est mû, à continuer uniformément et en ligne droite le mouvement commencé. Telle est la propriété essentielle du mobile qu'on désigne, en mécanique, sous le nom à^inertie,

2* Il suit de là que la condition de la variation du mouvement est toujours extérieure au mobile ; et, sous peine ici encore de ne pouvoir définir l'indéterminé, la mécanique est tenue de supposer, comme on l'a vu déjà, qu'à toute variation bien définie de la vitesse ou à toute accélération répond une cause également bien définie, qu'on appelle une force. Laissons pour le moment à cette dernière notion son obscurité, dût-elle n'être jamais dissipée ; traitons-la comme une inconnue : toujours est-il qu elle a son signe, qu elle trouve sa manifestation dans Taccéléralion qui, comme la vitesse, est d'une clarté géométrique absolue ; et c'est assez pour qu'à son tour elle y trouve sa mesure et qu'elle puisse être définie. Les principes qui précèdent nous autorisent, en effet, à déterminer la force, ou, en termes non équivoques, la condition d'une accélération donnée comme directement proportionnelle à cette dernière ; de telle sorte que deux forces, agissant d'ailleurs, cela va de soi, dans des conditions rigoureusement identiques, seraient entre elles comme les

accélérations respectives : -4- == -^ ou encore -~ = -^r ,

etc., etc.; d'où il suit avec évidence que

9 <J'~9"~ ' qui est une quantité constante. Ainsi, pour imprimer à un

mobile inerte, d'ailleurs supposé identique à lui-même pendant tout le temps de l'expérience, une accélération g^ il faut une force / ; pour lui donner une accélération 2 y, il faut une force de 2/, et ainsi de suite. Mais qu'est-ce à dire, sinon que le mobile, qui est, à sa manière, une condition du rapport de / et de <7, de 2 /* et de 2^, etc., est, à son tour, comme les quantités dont la détermination se fait en lui, une quantité déterminée? Les symboles mathématiques nous permettent de penser que si Tinertie d'un mobile était zéro ou tendait vers zéro, une force infiniment petite donnerait au mobile une accélération infiniment grande ; or, Tinortie d'un mobile, ou, ce qui revient au môme, sa résistance à toute accélération, positive ou négative, serait mathématiquement identique à zéro, si elle était indéterminée. Reste donc pour que / et «7, /' et g\ f" et g'' soient des quantités finies, que Tinertie soit à son tour une quantité; reste

enfin, dans la série des rapports — = -^- = ~r •• • = K,

9 9 9 qu'elle soit précisément, elle qui, par hypothèse, n'a point

changé, la quantité constante que Ton retrouve en chacun d'eux et qui les détermine.

En résumé, pour qui veut atteindre, au delà de la vitesse et de l'accélération, les conditions de la genèse et des variations du mouvement, pour qui veut, en un mot, soumettre à l'analyse et pénétrer ses lois, trois termes liés ensemble s'ofl'rent à nos définitions, qu'aucun artifice ne saurait, pour le moment, ni séparer, ni réduire : V accélération, lu fo7xe, el la quantité d'inertie du mobile ou sa masse. A vrai dire, de ces trois termes, le premier seul est directement saisi et géométriquement clair ; les deux autres, nous ne faisons nulle difficulté de le reconnaître, sont par eux-mêmes obscurs ou confus ; la force ou la masse, dès qu'on les abstrait du rapport qui les réunit, n'ont plus aucune valeur précise. Mais alors, qu'on les rapproche seulement de Taccélération, grandeur vraiment géométrique et susceptible

d'iHre mesurée : aussitôt le rapport -^ des deux quantités

confuses s'éclaire de toute la lumière de la quantité g ; et pourvu que, dans l'équation — = y, nous convenions de

prendre Tun des deux termes du rapport pour une valeur fixe et par exemple pour Tiinité, il s'ensuit du mc^me coup la détermination de Tautre.

Rien n'est donc directement saisi, en mécanique, comme on Ta souvent remarqué, que le mouvement ; rien, du moins, n*y est immédiatement mesuré et connu que la vitesse et l'accélération ; dès lors, pourrait-on demander, à quoi bon les concepts obscurs de la force et de la masse? pourquoi, s'il n'y a d'apparent que le mouvement, de géométriquement déterminé que l'accélération, introduire dans la science deux termes inconnus, dont la corrélation ne saurait être claire qu'en la rendant égale à l'accélération? Pourquoi, en un mot, la science de la vitesse ou la phoronomie ne nous suffit-elle pas, quand les notions qui la dépassent ne valent rien que par elle et n'atteignent rien d'autre, après tout, que son objet ? Pour une seule raison profonde et péremptoire : la phoronomie est l'analyse de la vitesse et lie l'accélération, elle n'en est point l'explication ; en les soumettant au calcul, elle les définit, en évalue les éléments. li's compose et les décompose ; elle n'en atteint jamais les conditions ni la genèse et, partant, ne saurait les construire. Si l'on suppose, par exemple, qu'un mobile isolé soit animé dans une direction donnée*, d'une vitesse a, et dans une autre, d'une vitesse b, la phoronomie nous enseigne clairement la direction et la grandeur de la vitesse résultante c ; mais les conditions des vitesses composantes a et b, et par suite, celle de la résultante c, elle les ignore; elle ignore le mobile et ses relations possibles avec d'autres mobiles ; et, ne connaissant point le sujet du mouvement, elle ne saurait déterminer ni la raison qui le fait naître ni celle qui le détruit ; elle est la science de la trajectoire ou des effets du mouvement ; mais, n'étant point la science du mobile, les conditions du mouvement et ses lois lui échappent. Elle

n'est donc pas la science complète et la mathématique du mouvement, si toute science vraiment mathématique est celle qui construit son objet avec les éléments très simples et les définitions qu'elle emprunte à Tesprit.

De ce point de vue, tant vaut la dynamique, tant vaut la distinction de la force et de la masse sur laquelle elle repose ; et, par un retour subit, Taccélération qui seule dans Téqua-

tion -^ = flr nous permet d'évaluer le rapport -^ , tire à

son tour son sens et sa valeurjles conditions que le rapport exprime ; l'accélération n'est en définitive qu'un moyen de mesure ; mais la corrélation de la force et de la masse est la raison première de Teffet qu'on saisit et de la mesure elle-mùme.