APP>^CB

Mai» ADB-ABQ [pf, §].

Donc ABD> ACB, et à plus forte raison

ABOACB.

DES ÉLÉMENTS D'EUGUDE. 27

Deux angles ÂBG, AGB d'un triangle ÂBC (flg. ig) étant inégaux , au plus grand angle ABC est opposé un plus grand côté AC.

Fig. 19.

Si Ton n'avait pas AC>AB, il faudrait que Ton eût ou AC= AB, ouAC<AB.

Si AC =AB, on aurait [pr. 5] ABC= ACB ;

Si AC<AP, onawait [pr. i8] A«G<AÇP,

pes deux conclu^iQuç éfapt çpntrairps ^ j'hypoi^ièsQ ç\0 ABC > AÇP, jj ^'en^uit que Yo^ q^ ppu^ pasfle p^S avojr A(3> Afi^

PRQPPSITIQî^ 9Q.

Dans tout triangle ABC (fig. 20), la somme de deux côtés quelconques AB, AC est pi|«$ grmde g\ie le troisième BC.

Fig. 20.

Prolongeons AB vers D; faisons AD=AC[pr. 3, note], et joignons CD.

PuisqueAD=AC,onaACD=ADC[pr. 5]. QronaBCp>ACD [ax. 9] ; par suite, BCD> ADC. Donc [pr. 19] BD>BC, c'està-dire BA-f-AC>BC.

On démontrerait de la même manière que Vm ft

AB-f-BC>AC, et BCh-CA>AB.

28 PBEMIER LIVRE

Si des deux extrémités By C de la base BC (fig. 21) du triangle ABC; on mine deux droites BD, CD à un point D intérieur au

triangle; i^la somme de ces deux droites est moindre que celle de deux autres côtés BA , CA du triangle ; 2? l'angle BDC qu'elles comprennent est plus grand que F angle BAC du triangle, opposé à la même base BC.

jo Prolongeons BD jusqu'à la rencontre de AC en E. Dans le triangle ABE, on a [pr. 20]