ABC

Tîrons une droite DE, terminée en D, indéfinie vers E. Prenons DF=A,FG=B, GH=C [pr. 3]. Décrivons, du centre F^ avec le rayon FD, le cercle DKL, et du centre G, avec le rayon GH, le cercle KLH, qui coupe le cercle DKL en K. Joignons KF, KG ; KFG sera le triangle demandé.

En effet, FD = FK [déf. i5] ; or FD = A : donc aussi KF = A [ax.i]. De même, puisque GK:=GH et que GH=G, on a GK=:C. On a d'ailleurs aussi FG =B. Donc le triangle FGK a ses trois côtés égaux respectivement aux lignes données A, B, C {").

En un point k d'une droite donnée AB (fig. 23), construireun angle rectiligne égala un angle rectiligne donné DŒ.

Sur CD et sur CE prenons arbitrairement deux points D, E,

(a) Euclide a oublié de justifier la resiriction contenue dans Ténoncé, que la somme de deux quelconques des côtés est plus grande que le troisième. Or il résulte de cette hypothèse que DG> HG, et que HG > la différence GI entre DF et GF. Donc, d'une part, le point D est extérieur au cercle HKL, et d'autre part, le point I est intérieur au même cercle. Donc le cercle DKL, ayant des points extérieurs et des points intérieurs au cercle HKL, coupera nécessairement ce dernier cercle en deux points.

Sld PREMIER LIVRE

et joignons DE. Construisons ensuite le triangle ÂFG, tel que Ton ait

AF=CD, AG=:CE, FG=DE[pr.22].

On aura [pr. 8] FAG=DCE.

5t deux triangles ABC, DEF (fig. 24 et 25) ont deux côtés égaux chacun à chacun j AB=DE^ AC=DF^ et l'angle compris

par ces côtii inégal, BAC > EDF> le côté BGj oppoeé du plus grand angle^ est plus grand que le côté EP, opposé au plus petit angle.

Construisons sur DE, au point h, Fangle £DG= BAC [pr. 23]; faisons DG = AC = DF [pr. 3]; [prolongeons DF vers H, DG têts 1 (fig. â5)], et jcligûonfiEG, FO («).

Puisqu'on à AB=DE, AG=D6, BAC=ED6, i! eft résulte [pr. 4] BC=EG.

(a) Nous avous réuni dans la même démonstration les deux cas que peut présenter la figure, et dont un seul (fig. 24) avait été considéré par Ëuclîde. R. Simson remarque que Ton pourrait toujours ramener la figure à ce premier cas, en prenant pour DE le plus petit des deux côtés, DE^ DF ; car alors les deux points G, F, étant sur un cercle décrit du centre D, et à Tinlérieur duquel se trouve le point Ë, il est visible que E sera du même côté que t) par rapport à la base FG. — Nous u'avons pas considéré le cas où EG passe par le point F, le théorème étant alors évident.

DES ÈLÊttËNtS H'fiUGLlDE.

Or on a DG=:DF, d'où [pt; 5] HFG=IOF.

Par conséquent^ EFG >F6li et comme FOI

F6E5 on ai à

plus forte raison, EFG > FGE.

Donc [pr^ 19] E6 ou BC > EF.

i^kOPdSITlbN 25.

Si det^ triangkê ÂBC^ DEF (fig. 26) ont deux côtés égaux chacun à chacun, AB = DE, AC= DF, et lé tràisîèrhé côté inë-

Fig. 26.

gai, BC > EF, Vangle BAC, opposé au plus grand côté, est jHns grand que Vângle EDF^ opposé au plus petit èôté.

Car, si l'on n'avait pas BAC > EDF, il faudrait que l'on eût ou BAC=EDF, ou BAC<EDF.

Dans le premier cas, il en résulterait [pr.4l BC=ËF; dans le second [pr. 24]> BC<EF. Ces deux conséquences étant contraires à l'hypothèse BG>ËF3 dn à donc hécessaitiômënt BAOEDF.

PROPOSITION àô.

Si deux triangles ABC, DEF (fig. 27) ont deux ûngM égaux chacun à chacun, ABC =:DEF, ACB= EFD, et un éôté é^al qui

PREMIER LIVRE

soit (i"Cas) ou adjacent aux angles égaux (BC=EF), (2* Cas) ou opposé à fun d'eux (AB = Dë), les deux autres côtés seront égaux chacun à chacun^ et le troisième angle BAC sera égal au troisième EDF.

Fig. S7.

I" Cas. — Si les côtés adjacents aux angles égaux, BC et EF^ sont égaux, on a :

i» AB = DE. Car^ si AB et DE étaient inégaux, soit, par

exemple, AB>DE. Prenons alors BG = ED, et joignons CG.

Puisque