BG=ED, BC=EF, GBC = DEF

il en résulte BCG=EFD [pr. 4].

Or, par hypothèse, BCA = EFD.

. On aurait donc BCA = BCG,

ce qui est impossible [ax. 9]. Donc AB et DE ne sauraient être inégaux.

20 Puisque AB = DE, BC = EF, ABC = DEF,

ona[pr.4] AC=DF, et BAC=:EDF.

II« Cas. — Si les côtés opposés à Tun des angles égaux, AB et DE, sont égaux, alors on a

I» BC=EF. Car, si BC et EF étaient inégaux, soit, par exemple, BC>EF. Prenons alors BH = EF, et joignons AH.

Puisque BH=EF, AB=DE, ABC=DEF,

il en résulte BHA=:EFD [pr. 4].

Or, par hypothèse, BCA =EFD.

On aurait donc BHA=:BCA,

ce qui est impossible [pr. 17]. Donc BC et EF ne sauraient être inégaux.

2« Puisque BC=EF, AB=DE, ABC=:DEF, on a [pr. 4] AC=DF, et BAC=EDF.

DES ELEMENTS D EUCLIDE

Si deux droites AB, CD (fig. 28) coupées par une troisième EF, font avec elle des angles alternes-internes (*») égaux AEV, EFD, elles sont parallèles.

Fiç. 28.

Car, si les droites AB, CD n'étaient pas parallèles, alors, en les prolongeant suffisamment dans un sens ou dans Tautre, elles finiraient par se rencontrer. Supposons, s'il est possible, que celte rencontre ait lieu en G. Dans le triangle EFG, on aurait alors AEF > EFD [pr. 16], ce qui est contraire à l'hypothèse admise AEF = EFD. Donc AB et CD ne peuvent se rencontrer de ce côté. Par la même raison, ces lignes ne peuvent se rencontrer de Tautre côté. Donc [déf. 35] AB et CD sont parallèles.

Si deux droites AB, CD (fig. 29), coupées par une troisième EF, font avec elle i^ om deux angles correspondants égaux EGB, GHD, 2° ou deux angles intérieurs d'un même côté supplémentaires BGH> GHD, elles sont parallèles.

i« Puisque EGB=GHD, et que EGB= AGH [pr. i5], il en résulte AGH=GHD. Donc [pr. 27] AB et CD sont parallèles.

(a) Nous introduisons, pour plus de simplicité, dans les énoncés d'Euclide, les dénominations appliquées par les géomètres modernes aux divers couples d'angles formés par deux droites qui en rencontrent une troisième. Nous ne reproduisons pas ici les définitions de ces angles qui se trouvent dans tous les traités de géométrie.

jJb < — âtm * I

34 PREMtlH LIVAB

20 Puisque Ton a BGH+GHD=2dr. [hypothèse] et AGH -hBGH = 2 dr. [pr. 1 3],

ilen résulte [ai. I et 10] AGH+BGH=BGH+GHD.

En retranchant BGH de part et d*autre, il reste [ax. 3]

AGH=GHD.

Donc [pr. 27] AB et CD sont parallèles (*).

Si deux droites parallèles AB,Cb (fig.29) sont rencontrées par une troisième droite E¥, elles feront avec elle i» des angles alternes-internes égaux AGU, GHD; 2^ des angles dirigés dans Ip même sens (correspondants) égfauar, EGB^ GHD; 3^ des angles intérieurs dun même côté supplémentaires BGH, GHD.

1° Si les angles AGH, GHD étaient inégaux, soit AGH > GHD. On aurait alors, en ajoutant de part et d'autre BGH [ax. 4]^

AGH-|-BGH> BGH-hGHD.

Or AGH4-BGH=2dr. [pr. i3].

et par suite BGH-hGHD < 2 dr.

(a) ToMies les propositions éial:>Iies jusqu'ici se déflioulrent sans le secours de l'axiome 14. On poarrait encore joindre à ces propositions le théorème démontré par Lpgendre, que la somme de trois angles d'un triangle rectiliyne ne peut surpasser deux angles droits, (Voy. Note "VI, page 76). Les théorèmes qui suivent s'appuient sur raxiôme 4^4. U est aisé, d'après cela, de se rendre compte de Tordre dans lequel Euclide a rangé ses propositions. H a voulu sépaier neitenieu; toutes celles qui soni indépendantes de raxiôme4l, et celles qui lui sont subo):données, i^fîn sans doute que les objections qui pourraient s'élever contre ce nouveau principe n'atteignissent que les théorèmes qui en déj^endent nécessairement ^ les vingt-huit preuiières propositions restant hors de caufic.

DES ÉLÉMENTS D EUCLIDE. 35

Il s'ensiiivraU donc [ax. iij que ÂB et CD> prolongées^ se rencontreraient, et ne seraient pas parallèles [déf. 35], ce qui est contraire à Thypothèse. Par conséquent^ AGH et GHD hë peuvent être inégaux. Donc AGH=GHD.

29 Puisque roii a AGH=GHD, et AGH=EGB [pr. i5], il en résulte EGB=GHD.

30 Puisque EGBznGHD, on a en ajoutant BGH de part et d'autre [ax. 2I, EGB-hBGH=BGH-f-GHD.

Or EGB-+-BGH=2dr. [pr. i3l.

Donc aussi BGHH-GHD=2dr. (•)

Deikx droites AB, CD (&g. 3o) parallèles à une troisième EF, sont parallèles entre elles.

Fig. 30.

Coupons ces trois droites par la droite GI. Puisque AB et EF sont parallèles, on;a AGI = GIF [pr. 29]. De même, puisque CD et EF sont parallèles, on aGIF=GHD. DoncAGI=GHD, et par suite AB et CD sont parallèles [pr. 27].

far wn point donné A (flg. 3if), mener une droite parallèle à une droit^donnéeBC.

Sur BC%)renons un point quelconque D, et joignons AD.

(a) II eût éi^eut-étre plus naturel de commencer par établir ce troisième cas, qui n'est qu'un autre énoncé de l'aiiôme i 1 » pour en déduire ensuite les deux autre»^

36 PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS d'eUGLIDE.

CoûstraisoDS Tangle DAE=ADC [pr. 23J^ et prolongeons EA vers F. La ligne EF sera parallèle à BC [pr. 27] («).

Fig. 31.