CALCUL DES PROBABILITÉS

larité frapfiante dans le partage qui s'établit «ntre les événemens de la première espèce et les ëyénemens de la seconde ; 2"" à mesure que ces ëvénemens se multiplient , ils tendent de plus en plus à se partager dans le rapport de leurs probabilités simples ; 5"" enfin , quand la série des événemens augmente indéfiniment , la probabilité de ce dernier partage s'approche indéfiniment de la certitude.

Disons de suite que la démonstration donnée de ce théorème par i. Bernouilli lui-même , suppose essentiellement que les chances respectives des événemens observés se maintiennent constamment les mêmes pendant toute la durée des répétitions. Aussi ce théorème n'est pas , sous cette forme , applicable aux questions relatives à la répétition des événemens dont les chances ne sont pas constantes ou régulièrement variables , par exemple , aux événemens de l'ordre moral , et encore à certains phénomènes physiques. Il a donné lieu à deux autres théorèmes , dont nous empruntons l'énoncé à l'ouvrage de Laplace (1) : € Les rapports des efiets de la nature sont, à fort c peu près , constans , quand^ces efiets sont consi-

< dérés en grand nombre. » — c Dans une série

< d'événemens , indéfiniment prolongée , l'action

< des causes régulières et constantes doit l'em-

(I) Essai philosoph.y p. 76.

(|7Ô LOGIQUE. PARTIR CEITIQOE.

« porter à la longue sur celle des causes irrégu*'

€ lières. »

Laplace n'excepte pas de cette dwnière loi les

effets dus aux causes morales : < Ainsi , dit-il , des chances favorables et nombreuses étant constamment attachées à l'observation des principes étemels de raison , de justice et d'humanité , qui fondent et maintiennent les sociétés, il y a grand avantage à se conformer à ces principes, et de graves inconvéniens à s'en écarter (1)... Pareillement , au milieu des cau^ ses variables qui étendent ou qui resserrent les divers états ; les limites naturelles , en agissant comme causes constantes, doivent finir par prévaloir. Il importe donc à la stabilité comme au bonheur des empires , de ne pas les étendre au delà de ces limites dans lesquelles ils sont ramenés sans cesse par l'actiqu de ces causes. .. Quelquefois on attribue les effets inévitables de ces causes à des circonstances accidentelles qui n'ont fait que développer leur action (2). > Quelques pages après , Laplace ajoute : c On peut étendre ces résultats à toutes les combinaisons de la nature , dans lesquelles les forces constantes dont leurs élémens sont animés, établissent des modes réguliers d'action , pro-

(i) Essai philosoph., p. 7T (2) Ibid.y p. 78.

CALCUL DIS r&OBABiLrris. 471

c près à faire éclore, du sein même du chaos, des < systèmes régis par des lois admirables (i). »

Ce dernier passage est formel , il ne laisse aucun doute sur la vraie pensée de Laplace. Elle est comprise tout entière dans les deux affirmations suivantes:

1* n existe dans la nature une somme déterminée de forces ; cette somme est invariable. 2* L'existence du monde , tel qu'il est aujourd'hui , celle des lois qui le gouvernent , ne sont que le résultat de l'action prépondérante des forces constantes distribuées dans la nature. Le résultat fut produit lorsque, après un temps suffisamment long, ces forces eurent dominé toutes les autres (2). La considération d'une

(1) Essai phOosopli., p. 89 et 90.

(2) 0 D'y a rien dans l'ouvrage de Laplace qui rappelle ridée d'une cause intelligente et libre , gouvernant et conservant , après avoir créé. Laplace s'explique d'une manière satisfaisante seulement pour lui, l'ordre phénoménal actuel t en le considérant comme une des combinaisons , possibles à la longue , des forces de b nature.

La constance de certains phénomènes , au milieu des causes irrégulières qui peuvent en troubler sans cesse la marche, parut à quelques savans déposer en faveur de Texistence d'un être providentiel. Laplace rejette cette preuve, c Elle est, dit-il, un nouvel exemple de l'abus « qu'on a fait si souvent des causes finales qui dispa- < raissent toigours par un examen approfondi des ques- « tiens , lorsqu'on a les données nécessaires pour les

ft73 coaiQVB. PA&TiB carriQUB.

activité spontanée Bt libre étant ainsi exclue de la cosmogonie , ce n'était pas encore assez pour Laplace ; il lui restait à étendre cette exclusion aux phénomènes humains. C'est ce qu'il a fait avec une incroyable assurance dans les réflexions qu'il a présentées sur les lois du monde intellectuel, ou, comme il dit , sur les lois du sensorium. € Aux limites de la physiologie visiUe , commence une autre physiologie , désignée sous le nom de psychologie , et qui n'est sans doute qu'une continuation de la première. Les ner& dont les filamens se perdent dans la substance médullaire du cerveau y propagent les impressions qu'ils reçoivent des objets extérieurs , et ils y laissent des impressions permanentes qui modifient d'une manière inconnue le sensorium ou siège de la sensation et de la pensée. Ces modifications peuvent être aperçues par le sens interne ; en appliquant à ces observations la méthode dont on fait usage pour celles des sens externes , on pourra porter dans la théorie de l'entendement humain la même exactitude que dans les autres branches de la philosophie naturelle (1 ). »

résoudre. La constance dont il s'agit est un résultat des causes régulières qui l'emportent sur les anomalies dues au hasard (^). >

(i) Essai philosoph., p. 219 et 220.

CMdXh DIS mOBA^BIUTis. &7S

c On peut prendre une juste idée de plusieurs rapports généraux des phénomènes humains, en les comparant à des phénomènes semblables que nous présente la nature inorganique ; par exemple, la sympathie, c'estrà-dire cette tendance que les êtres, semblablement organisés , ont à se mettre en harmonie les uns avec les autres , se conçoit en comparant deux êtres quelconques sur lesquels eUe agit, à deux montres dont la marche est très peu différente et (pii finissent par avoir exactanent la même marche , si elles sont placées sur le même support (1).

« Les vibrations du sensorium doivent être , comme tous les mouvemens, assujéties aux lois de la dynamique. Elles se superposent les unes aux autres , comme on voit les ondulations des fluides se mêler sans se confondre. Elles se communiquent aux individus , comme les vibrations d'un corps sonore aux corps qui renvironnent. Les idées complexes se forment de leurs idées simples , comme le flux de la mer se compose des flux partiels que produisent le soleil et la lune. L'hésitation entre des motifs opposés est un équilibre de forces égales. Une attention forte et continue épuise le senso-

(l)e9saiphilosoph., p. 221.

ft7& LOaiQCV. PARTIS CBITIQUB.

c rium , comme une longue suite de commotions c épuise une pile voltaîque (') (1). »

Nous laissons à penser ce que peut être une théorie des facultés de l'entendement qui se fonde sur de semblables comparaisons , et qui les ao cepte, non comme de simples figures de langage, mais comme des identités {^) (2).

Doitron s'étonner , après cela , que la formule

(*) Essai pkilosoph., p. 248.

(!) Ces citations ne sont pas toujours entièrement conformes à la lettre. Mais si elles en diffèrent un peu« éUes n^altèrent en rien les idées de Laplace.

(b) Ibid.^if. 249.

(2) Laplace dit quelque part : c Nous connaissons bien c par rexpérience du passé les inconvéniens que présenc tent les usages autquels nous sommes depuis long-temps c plies ; mais nous ignorons quelle est l'étendue des maux c que leur changement peut produire. Dans cette ignoc rance, la théorie des probabilités prescrit d'éviter tout c changement ('). >

C*est donc faire acte de prudence que de rester dans rimmobilité. Heureusement pour Thumanité , ceux qui ont médité et accompli les plus utiles réformes ne connaissaient point le calcul des probabilités. Les hommes ne renonceront jamais au désir de modifier leurs institutions , à l'espérance de les perfectionner ; ils ne se condamneront jamais à l'immobilité qui est la mort ; mais s'ils sont assez heureusement inspirés pour repousser les doctrines propres seulement à enfanter des mauK, la théorie psychologique de Laplace excitera toiyours leurs répugnances.

(•) Buaiphilosoph., p. 187.

CALCUL DBS PROBABILITÉS.

par laquelle Laplace exprime la chance de Terreur d'un jugement , ne renferme rien qui soit relatif à la qualité des juges , à leur moralité , ni même aux connaissances plus ou moins étendues qu'ils possèdent sur la cause qui leur a été déférée , mais qu'elle dépende uniquement du nombre des juges et de la majorité à laquelle le jugement est prononcé ? Est-ce là le cas de dire avec cet auteur c que le calcul des probabilités rCest au fond que le bon sens réduit en formules f »

Ces résultats, si fort en opposition avec les idées générales , ne sont plus admis aujourd'hui par tous les mathématiciens ; des doutes bien fondés se sont élevés sur l'exactitude qu'on devait en attendre. M. Poisson les a rejetés, et parce qu'ils menaient eux-mêmes à des conséquences inadmissibles , et parce qu'ils reposent sur une hypothèse qu'on ne peut justifier à priori. Ces moyens avaient popularisé l'opinion que l'analyse mathématique n'est point applicable aux questions de Tordre moral . M. Poisson a réclamé contre ce préjugé partagé par de bons esprits , tout en signalant les erreurs dont était entachée lia solution de Laplace. Il pense que toutes les questions , morales ou physiques , peuvent être traitées également par le calcul des probabilités , pourvu que , dans chaque question particulière, on connaisse par l'observation les données numériques nécessaires aux applications de ce calcul.

A7C UIOfQITX. PA&TIB CftITI<)VB«

11 s^appuie sur une loi dont l'universalité loi parait parfaitement établie ; cette loi est celle des grands nombres. Voici en quoi elle consiste :

Formule de M. Poisson. — Si des événemens d'une même nature sont subordonnés à plusieurs causes , les unes constantes , les autres irrégulières et variables, tantôt dans un sens, tantôt dans un autre, si Ton observe une série très étendue de ces événemens , on trouvera qu'il existe un rapport sensiblement constant entre les nombres de ces événemens divers. Cette loi n'est qu'une très large extension , une généralisation du théorème de J. Bernouilli.

Suivant M. Poisson , la généralité de la loi des grands nombres n'est limitée par aucune restriction. Elle s'observe dans les événemens matériels que nous attribuons au hasard et dans ceux qui dépendent à la fois de causes connues et de causes dont les effets varient irrégulièrement. Enfin, on la retrouve même dans l'ordre moral. Par exemple , pendant la durée d'un certain système législatif , le rapport du nombre des condamnés au nombre des accusés ne varie pas sensiblement.

L'expression du rapport dont il est question dans la loi des grands nombres , ne peut être fournie que par l'observation d'une très grande quantité d'événemens, et change avec l'espèce des événemens.

CALCUL DBS PROBABILITiS. A77

U peut arriver qu'en la déterminant plusieurs fois par des expériences nombreuses, faites à de longs intervalles , on reconnaisse qu'elle a notablement varié d'une époque à l'autre , et qu'on soit porté à attribuer ces irrégularités à deschan^gemens survenus dans les causes générales ; dans ce cas , le calcul seul apprendra si l'on est bien fondé à faire cette supposition (1).

D'après ce qui précède , on voit que les théoriciens admettent que les probabilités varient lorsque varient les causes dont le calcul apprécie les effets; la certitude de ce calcul est donc > de leur aveu , fondée uniquement sur cela que des causes diverses agissant avec des forces inégales, produiront , dans un temps donné , des effets qui présenteront , les uns à l'égard des autres quant à la fréquence et à l'énergie , la différence de rapport qui existe entre les causes. Ce principe n'est rien de plus qu'un raisonnement ; rien de plus qu'un syllogisme dont la certitude repose tout entière sur la logique du langage.

La certitude du calcul des probabilités ne git donc pas , comme on s'est plu à le dire et surtout à le croire , sur sa propre vertu , ou sur ce calcul lui-même ; elle repose uniquement sur un

(i ) Nous devons cette notice à la complaisance de Fun de nos amis, M. Garteron, ancien élère de FÉcole polytechnique.

478 UXUQVB. PARTIB CRITIQUE.

raisonnement , ou , en d'autres termes » elle n'a^ rien au delà de celle que possède le raisonnement lui-même.

Mais , le calcul des probabilités présente plusieurs causes d'incertitude que n'offre point le raisonnement ou au moins que celui-ci offre à un inoindre degré. Pour apprécier ces chances d'erreur il faut examiner ce qui arrive chaque fois que Ton emploie ce calcul.

11 faut d'abord , en un sujet donné , connaître tous les effets sur lesquels on doit calculer, sans en excepter un seul , car, si l'on en passait un sous silence, le calcul serait nécessairement faux. En outre , pour bien apprécier les effets , pour prévoir jusqu'à un certain point la durée du rapport inconnu que l'on va chercher, et qui cependant existe , il est nécessaire de n'être pas complètement ignorant sur la valeur des causes , sur leurs chances de croissance ou de décroissance relative ; car si l'on ignorait ces choses , à quoi servirait le calcul? A prouver que ce qui existait , existait , que ce qui existe , existe ! Ce serait un travail puéril ; car il serait sans résultat, sans prévoyance ou probabilité pour l'avenir, et partant sans conséquence pratique.^

11 faut donc non seulement avoir exactement nombre les effets et les rapports de fréquence qu'offrent ces effets, mais encore en savoir assez sur la durée ou la constance des causes pour être