DONNÉES
Diamètre des meules, 2 m ,600
Epaisseur 0 m ,350
Poids d’une meule 4940k.
Poids de l'essieu ...... 1250k.
Poids de l’arbre vertical et de l’appareil pour atteler les chevaux. . 300k.
Rayon du pivot de l’arbre vertical 0 m ,025
Rayon de la fusée , à l’endroit où elle perce la meule .... 0 m ,050 Distance du milieu de l’œil de la meule ( Delà plus proche. . 0">,670 à l’axe de l’arbre vertical .... j » i> » éloignée. . 0,630
Rayon de la circonférence que le cheval parcourt .... 4 m ,000
Nombre de révolutions que les meules font dans une minute
autour de l’arbre verlieal 3
Charge , mise sur la table • 25kgs.
Durée de la trituration. . 6 heures.
le travail du moteur est égal aux travaux des composantes de la force motrice transmises par les fusées aux points milieux des boites , ajouté au travail du frottement du pivot dans sa crapaudine.
Travail du frottement jlu pivot = t.
Ce travail se calcule à l’aide de la formule t= 2 ; 3 /Nrtî( TafTe, Application des principes de mécanique , page 39 ) , dans laquelle les lettres ont les significations qui suivent :
f Coefficient du frottement. ........... 0,24
N Poids de l’arbre vertical , de l’essieu et de l’appareil d’attelage. 1660kgs. t Rayon du pivot 0,025
y 2 TT
v Vitesse angulaire de l’arbre vertical = = . . 0 m ,3l4
En substituant ces valeurs dans la formule du travail qui nous occupe , il vient
te=. =;3 X 0,24 X IÔÔOjX 0,025 X 0,314= 1,95 lilogrammètres.
POUDRE
Travaux transmis par les fusées aux points milieux des boites , t‘ et t".
Les vitesses <lc rotation de ces points sont :
Pour la meule la plus rapprochée — r X 0,67 = 0,2104 — — — éloignée. = v X 0,03 = 0,2030 j
Soient maintenant :
x La force transmise â la meule la plus rapprochée ; y — — — — éloignée.
Et parlant les travaux de x et de y , 0,210 x et 0,292 y, l’ on aura
Travail du moteur = T = 1,95 4' 0,210 x 0,292 y
Or l'effort que le cheval de manège exerce d’une manière continue
étant 43kg 1 . , l’on trouve le travail du moteur T ts 4® X ** X 2 n X 4 __
56,52kg..
D’où T = 56,52 = 1,95 + 0,210 x + 0,292 y (1).
Dans oette équation les forces x et y restent encore indéter minées t mais comme les résistances respectives des meules sont égales cntr’elles , les forces motrices qui les meuvent sont comme les vitesses des meules ou comme les distances des points milieux des œils à l’axe de rotation , doue x : y =* 0,67 : 0,9 3 (2).
En combinant les équations (1) et (2) , il vient a =» 88;7
Le travail utile est maintenant facile à trouver : en effet il est égal au travail du moteur moins la somme des travaux des frottemeus du pivot de l’arhre vertical et des fusées de l’essieu contre les boites des meules.
Pour évaluer les travaux des frottements dus aux pressions x et y , il faut connailre les chemins parcourus en une seconde par les points d’application de ces pressions, or les révolutions que les meules achèvent en
une seconde autour de leurs axes étant
3 X 2 rt X 0,67 60 X 2 « X 1, 3
0,02577 et
0, 03577 , l’on a pour les vitesses des points d’ap-
plication des pressions j: et y , 0,02577 X * X 0,1 = 0,0081 et 0,03577 X * X 0,1 = 0,0112, et partant pour les travaux des frottemeus des fusées contre les boites :
A la meule la plus rapprochée de l’axe I g / X * X 0,0081 g: 0,085 X 88,7 X 0,0081 K 0,061 ;
A la meule la plus éloignée de l’axe t' ss f X y X 0,0112 S 0,085 X 123,1 X 0,0112 — 0,117 ;
En retranchant du travail du moteur 56,5a, les travaux nuisibles qui sont :
A CANO* 271
Travail du frottement du pivot de l'arbre vertipal ..... 1,950
desfrottemens des fusées contre leurs boites— 0,081 -J- 0117. 0,178
On a le travail égal à leur différence ou à 54,40 kilogrammètres, ce qui fait 0,99 du travail du moteur , de sorte qu’il n'y aurait que les 0,04 du travail du moteur perdus. Cette perte serait extrêmement minime ; aussi est-elle plus grande en réalité parceque la force centrifuge qui tend sans cesse à éloigner les meules de l’arbre vertical , secoue ce dernier et quoiqu’elle ne produise pas de travail proprement dit , parceque l’arbre n'est pas déplacé, il en résulte aependant' une diminution du travail utile. Si nous voulons maintenant connaître le nombre de kilogrammètres de travail utile qu’on dépense au moulin de Wetteren par kilogramme de
galette , nous le trouvons égal à
39000 kilo-
grammètres.
ta manière avantageuse dont le moulin à meules utilise la force motrice est très remarquable.
NOTE 5. gs
Exemple de calcul du travail utile transmis par la machine qui en Suisse est employée pour arrondir les grains (PI. 2. figures 10 et II).
DOKHÉES FICTIVES :
Force motrice agissant contre la palette P — 60kgs.
Distance du point d'application de la force motrice à l’axe
de la roue a — 2 ! »,000
Poids de la roue et de son arbre y» =t 1400kgs.
Poids de l’arbre vertical autour duquel se meuvent les
bobines P 1 — 400kgs.
Poids de l’essieu ff qui traverse les bobines p H = aOkgs.
Rayon des tourillons de l’arbre de la roue R = 0,040
Rayon du pivot de l’axe vertical = 0,025
Ray 011 de l’essieu f f. r 1 zx: 0,020
Rayon de la lanterne m >a * = 0,300
roumiE
Rayon du rouet ** — o,000
Distance du milieu de la bobine à l’axe vertical. . . d = 0,500
Nombre de fuseaux de la lanterne n — ts
— d’alluchon* du rouet ,.i —
révolutions de la roue hydraulique dans une minute 20 Cherchons d abord les vitesses angulaires du mouvement de rotation autour des axes de la roue hydraulique et de l’arbre vertical. Nous aurons
jour la première t> = =2 m ,09,
et pour la seconde
Parce que sur 3 révolutions de l’arbre de la roue on ne compte qu’une seule de l’arbre vertical.
Le travail de la force motrice est égal au travail utile ajouté à la somme des travaux nuisibles qui sont :
1° Lu travail du frottement des tourillons de l’arbre de la roue ;
2° Le travail du frottement des fuseaux de la lanterne contre les alluc lions du rouet j
3» Le travail du frottement du pivot de l’arbre vertical contre sa craj>audine {
4° Le travail du frottement de l'essieu f f contre les boites des disques des bobines.
Travail du frottement des tourillons de l'arbre de la roue.
Sa formule est T = f : r V ' 1400* + ( 60 — q )> x 2,ü9 (t) ; dans laquelle f 1 — » = 0,16 ,
r le rayon des. tourillons = 0,04
q La réaction des alluchons du rouet contre les fuseaux de la lanterne.
Pour trouver q , remarquons que les forces qu^solliciteut le système autour des axes de l’arbre de la roue , de l'arbre vertical et de l’essieu f ! , doivent se faire respectivement équilibre , et que la seule condition d’équilibre lorsqu’il y a un axe fixe , est que le couple résultant perpendiculaire à cet axe soit égal 4 zéro, ou encore que les moments des forces qui sollicitent le système autour de cet axe en sens inverse, soient égaux entre eux.
A CAH0Î1. 273
Autour de t'axe de l’arbre de la roue l'équation d'équilibre est par conséquent
Pu = qa + FR + F’r
F étant le frottement des tourillons , et F' celui de l’engrenage.
Faisons d’abord abstraction du dernier, nous aurons
Pour éviter la solution de l’équation du second degré , prenons pour première valeur approchée de q celle qui résulte de l’équation d’équilibre sans les frottements
Et subslituons-la sous le radical , nous aurons
60 X 2 = 0,38 + 0,16 X 0,04 j/ 1400» + ( 60—333,33 }» ou 9 =304,73.
Ayant maintenant q , nous 'trouvons pour le moment du frottement des fuseaux contre les alluchou*
Où /"= 0,08
Donc Fs' = 0,08 X 304,73 X 3,14 X — - X 0,3 = 3,783
En substituant les valeurs de FR=0, 000 \/ 1400? + 283,33’ =8,58 , et F' s =3,783 dans l’équation d’équilibre autour de l’axe de la roue, i’ou a 100 = 0,35 + 3,783 + 8,58
q = 202,12 ks*.
Cette dernière valeur substituée dans l’équation (1) donne pour le travail du frottement des tourillons de l’arbre
T a 0,16 X 0,04 X 2,00 |/ 1400» + ( 50— 202, 12 )» T — 17,8lE‘«.
Travail du frottement de l’enyrenage.
Il est donné par la formule
fi 4> n 1
nn’
POIUKE
Travail du frottement du pivot.
Sa formule est T" s: /"Na/ 3 r e*
Où f = 0,24
Ces valeurs substituées dans la formule donnent
T" S I, 18 km.
Il reste maintenant à calculer le frottement de l'essieu ff dans ses boites ; pour cela nous calculerons l’cllort horizontale transmis par la force q au point de l’essieu qui correspond avec le milieu de la bobine , nous aurons .
q X 0,9 = /Tl »/3 r + O , 6 1 292,12X0,9= 1,7 + 0,6 J * SS 622,4
1a circonférence que l'équateur de la bobine parcourt étant =: 2ir 0,5 et la circonférence de l’équateur étant s 2 * 0,45 , il s’en suit que dans le même temps que la bobine fait une révolution autour de l’arbre vertical, elle fait 1,01 révolutions autour de sou propre aie et comme dans une minute elle fait *°;3 révolutions autour du premier axe, elle fera 7,4 révolutions autour du sien.
Le travail du frottement de l’essieu ff es t par conséquent
X 622,4 X 0,08 = 0, 80km.
Le travail du moteur dans une seconde est
X = 60 X 2 X 2,09 = 209km.
Et en retranchant de ce travail la somme des travaux des résistances nuisibles
T + T' + T H + T"' = 17,81 + 7,32 + 1,18 + 0,80 = 27,1 1 L’on a pour le travail utile = 209 — 27,11 = 181,89 ou le 0,87 du travail du moteur.
A CANON
La démonstration de ce principe ne peut être faite à priori , du moins par les mathématiques élémentaires, mais seulement par induction. La forme du grain anguleux reste indéterminée; en etfet le grain ne doit satisfaire qu'à une seule condition , celle de pouvoir passer dans un sens par le trou du grcnoir ( condition qui ne limite que deux dimensions du corps , et laisse la troisième arbitraire).
Considérons d’abord les corps que la géométrie élémentaire comprend , et montrons que lorsque le grain anguleux a la forme d'un de ces corps , il doit, à volume équivalent, avoir plus de surface que le grain sphérique d'un rayon égal à celui du trou du grenoir = K; supposons pour plus de facilité que les grains anguleux aient pour base des cercles ou des polygones réguliers , perpendiculaires à leur axe ou à leurs arêtes. Représentons généralement par S la surface du grain anguleux , par II sa hauteur , par c l’un des côtés de sa base , par S 1 la surface du grain sphérique , équivalent en volume au grain anguleux , et par V enfin le volume commun.
1°. Soit le grain anguleux un cylindre, l’on aura :
V = 3/4 it R3 = ir Ra H , d’où H = 1,83 R
S = SsRî + SvRX 1,33 R «= 14,85 Ra
S’ = 4 ir Ra = 18,56 Ra
S — S’ = 8,09 Ra.
2*. Soit le grain anguleux un cône , ayant H’ pour génératrice , l’on aura :
V = t|3 i RI = L. R !*. H , d’où H = 4 R ,
H' = 4,12 R, S s 16,07 Ra doue
S — S’ S 3,61 Ra.
3». Soit le grain anguleux un parallélipipède ayant pour base le carré inscrit au trou du grenoir, l’on aura :
V — 4/3 x R3 — d 11 et t a R j/J" , d’où
H s 2,09 R, donc S » 16,87 Ra et
S — S' S 3,31 Ra
Note. De II > 8R et de c < 2R il suit que H ne peut jamais être égal à c, ou, en d’autres termes, que le grain anguleux équivalant au grain sphérique , ne peut pas être un cube.
4». Soit le grain anguleux un prisme, ayant pour base le triangle régulier , inscrit au cercle du trou du grenoir , on aura :
POblHtE
