C. H. C. GRINWIS

Lorsque, des divers points d'une ligne droite homogène, partent des vibrations égales et de même phase, il peut se^former dans l'air un système d'ondes cylindriques, dont cette hgne droite est l'axe.

Je me propose d'étudier ici les ondes de cette nature , spécialement en ce qui concerne l'énergie, l'intensité et le timbre du son qui prend naissance lorsque les vibrations susdites ont une même période, dont la durée tombe entre les Hmites correspondant à un ton musical. J'ai déjà étudié de la même manière, dans des Mémoires précédents i), les ondes sphériques qui se développent autour d'un petit espace vibrant, considéré comme centre.

Les particules d'air situées sur une surface cylindrique, dont la ligne droite, source du son, constitue l'axe, se trouvent toutes , à un moment quelconque, dans le même état de vibration; le mouvement est donc symétrique tout autour de cette ligne.

Prenons cette droite pour axe des coordonnées x, et soit r=\J y'' + z"" la distance d'une particule d'air à cette droite; (p, le potentiel de vitesse du mouvement sonore, dépendra alors uniquement de r et de / (le temps j, de sorte qu'on aura

<r-f{rj) (1)

') Arch. Néerl., t. X, p. 135 et 151.

c. H. C. GRINWIS. SUR LES ONDES SONORES CYLINDRIQUES. 459

L'équation connue du potentiel de la vitesse du mouvement de l'air')

se transformera donc ainsi:

rf(p__Q d^d^dr r'^—if-\-z'^ dx~~ ' dy~' d r dy

dvy dj^__y ^Jr r dy~' r

dcp d(p z dz dr r

d^ 9 Q dx-^

d^ 9 __d^^y^ i!: ^1 yl\

d^ ^1 dz^ ~ d r'^ ~^ d

et (I) deviendra finalement:

i d"^ 9 d^ 1 ^ .... (II).

dl^ ~' Jr^ r d r ' ' ' '

Pour intégrer cette équation, posons^):

(p=:^(Anr») (2)

où le signe 2' marque une série à indices décroissants pour n, tandis que A„ est une fonction de r et i qui satisfait à l'équation différentielle partielle:

1 d'^kn d"^ A„

â^'dt^ " dr^

«) Duhamel, Cours de Mécanique, t. II, N». 197. ') Airy, On Sound, London, 1868, No». 43 et 44.