L. COHEN STUART. SUR UN CAS DE DISCONTINUITÉ

En outre, bien que f (x) reste fini,

j f'{x)dx=:j f'{x)dx + j r{x)dx,

La

pour a et h positifs et e et ^' positifs et tendant indéfiniment vers 0, n'est pas égal ^ f{b)-f{-a), mais égal kf{b)-

La marche de la courbe y = n^) est représentée par la fig. 1 (Pl. XIV) , où 0 A = 1 .: celle de la courbe y=2f' {x) , par la fig. 2. Les deux branches de la courbe y = f {x) ont lai^igne y/ = - = OE

pour asymptote; comme il est facile de reconnaître que

et f-S'^ quelque grand que soit n, approchent indéfiniment de

0 en même temps que rî, ces branches ont, pour a; = 0 , respectivement avec les lignes y = i el 2/ = 0 , un contact de l'ordre oc . La courbe y = f {x) a la ligne ?/ = 0 pour asymptote , et présente également avec celle-ci, pour ^ = 0, un contact de l'ordre oc. "a droite et de même à gauche de l'axe des on a: aire mf^'n.■' (fig. 2) = nr-ma (fig. 1); c'est-à-dire:

j f {x) dx = fin) — f (w).

Par contre, on a: aire an'b^ = (0 A — a n) + {b ^ — 0) /, ^ a « -H 1 ; c'est-à-dire , comme il a été remarqué plus haut ,

j f{x)dx = f{b)-f{-a) + \.

Le rapport entre la différence des ordonnées de la courbe 7/ = /• {x) et l'aire déterminée par les ordonnées correspondantes de la courbe y = f {x), rapport qui est ici rompu, se laisse