DES LIGNES IRRATIONNELLES TRAITEES PAR EUCLIDE. S
Les lignes irrationnelles traitées par Euclide sont au nombre de treize.
Il les définit, les construit et en démontre les propriétés.
Rien, certes, n'est plus beau ni plus parfait que l'ordre et le parallélisme des hexades du dixième livre ; c'est là surtout que brille de tout son éclat le génie profondément systématique de l'auteur des Eléments. Mais, pour faire saisir au lecteur d'un seul coup d'œil l'aperçu général de la théorie d'Euclide, nécessaire pour l'intelligence des conjectures suivantes sur les travaux d'Apollonius, je ne peux pas suivre la méthode purement et strictement synthétique du géomètre ancien.
D'un côté, il sera indispensable de faire ressortir surtout la raison déterminante du nombre des genres d'irrationnelles exposés. D'un autre côté, lorsque Euclide détermine des couj)les de lignes qui doivent servir ensuite à la construction des irrationnelles, et qui jouissent de diverses propriétés, il faudra montrer comment quelques-unes de ces propriétés découlent naturellement des autres, tandis qu'Euclide se contente d'en démontrer la coexistence. Car, généralement, deux quantités (et les lignes ne représentent ici que des quantités) sont déterminées par deux conditions auxquelles elles doivent satisfaire. Si donc elles satisfont à plus de deux conditions, l'esprit éprouve le besoin de distinguer les propriétés essentielles d'avec les autres , et de se rendre compte de la manière dont celles-ci se rattachent aux premières.
C'est pourquoi j'ai tâché de suivre une marche plus analytique dans l'exposé que l'on trouve ci-après. Je me suis efforcé en même temps d'y reproduire , dans le plus court espace possible , le contenu essentiel du dixième livre d'Euclide. D'ailleurs, je fais observer que je ne me propose pas tant de donner une analyse détaillée de ce livre, que de faire connaître quels genres et quelles espèces d'irrationnelles ont été traitées par Euclide, et quelles sont les propriétés qu'il en a connues.
Avant d'entrer en matière, il faut que j'explique encore en quelques mots l'usage qu'Euclide fait du mot rationnel, parce qu'il donne à ce terme une signification plus large que nous ne faisons aujourd'hui. C'est qu'il appelle rationnelles aussi les lignes dont les carrés seulement sont rationnels, et qui s'expriment, en conséquence, par des racines carrées. La ligne rationnelle d'Euclide a donc les deux formes m et s/m. Au contraire, comme selon les idées des anciens on ne saurait former le carré d'un espace, la surface rationnelle est chez Euclide uniquement de la forme m, tandis que \/m, comme expression d'un espace, désigne fespace médial, qui est un espace irrationnel. Je me conformerai, dans ce qui suit, à la terminologie d'Euclide, pour ne pas trop embrouiller les énoncés des définitions que je dois donner d'après lui. Toutes les fois
que j'emploierai le mot rationnel dans son acception moderne, j'aurai soin d'en avertir le lecteur. Je fais observer encore que je désignerai par m, m', n, n', p, q, etc., des quantités rationnelles dans l'acception moderne de ce mot, et qui ne sont pas des carrés, à moins que cela ne soit dit expressément.
Si deux droites commensurables en puissance seulement comprennent un rectangle rationnel, ces droites sont nécessairement médiales; si elles comprennent un rectangle médial, elles peuvent être médiales ou rationnelles ^
Dans le premier cas , on aura
donc
x=\frv/m y = \J-j^ ^.
Dans le second cas, on aura
x^ :y^ =.m x . y = n \fn\
' D'un autre côté, si deux droites commensurables en puissance seulement sont rationnelles, elles comprennent nécessairement un rectangle médial; si elles sont médiales , elles peuvent comprendre un rectangle rationnel ou médial.
* La construction d'Euclide (X, 28) est ramenée à son expression algébrique lorsqu'on pose les lignes a et jS de cette construction respectivement égales à sj p et y/n , où l'une des deux quantités p, n, peut être un carré, et l'on trouve
'>■*' ■ y = \Jnp
P c'est ce qu'on obtient en posant dans nos formules m = — . itu'.vî--
donc
Ces dernières formules représentent, en général, des quantités médiales; mais, dans les cas de m = n\ ou de m =— , on cura
ou
formules qui présentent l'expression générale ^ de deux quantités rationnelles et commensurables en puissance. Ceci donne lieu à trois cas :
1 ° Deux droites rationnelles commensurables en puissance seulement et comprenant un rectangle médial :
La moyenne géométrique entre deux lignes de cette espèce est
la médiale; Leur somme est la droite de deux noms; Leur différence est Vapotome.
2° Deux droites médiales commensurables en puissance seulement et comprenant un rectangle rationnel :
La somme de deux lignes de cette espèce est la première de deux médiales;
* Ici, on posera dans la construction d'Euclide (X, 29) a=z\/q^ ^ = y'p , y r= y^n^, où l'une des trois quantités q, p, n' peut être un carré , et l'on trouve
c'est ce qu'on obtient en posant dans nos formules mz= — ei n:=\/q
p * On peut encore poser n =-; alors on aura respectivement
y/p et y/n",
puis
n et y/n'.
se ESSAI D'UNE RESTITUTION
Leur différence est le premier apotome de la médiale. 3° Deux droites médiales commensurables en puissance seulement et comprenant un rectangle médial :
La somme de deux lignes de cette espèce est la seconde de deux
médiales; Leur différence est le second apotome de la médiale. •
Pour trouver deux droites dont la somme des carrés ainsi que ie rectangle compris sous elles doivent satisfaire à certaines condiyons, posons
il suit
Maintenant, si la somme des carrés doit être rationnelle et le rectangle médial, on posera
S = m R = n\Jn
et l'on aura
' Euclide (X, 3A) pose a§ = p, ^y = ^"^ (voir X, 3i ) , où </' -h r^ n'est pas un carré, et trouve ensuite y 9^ ■+- ''*
AZ-i^H — — — j ,^?=\/
c'est ce qu'on obtient en posant dans nos formules m = p^, n = — , «'
Si la somme des carrés doit être médiale et le rectangle rationnel, on posera
S == m \Jrn R ==n;
et l'on aura
/m \./m! -+- 1/ ni" rn — 4 n' » /m v/m — v/rn" m! — 4 n* ,
Si la somme des carrés doit être médiale, et le rectangle médial et incommensurable avec la somme des carrés, on posera
dm' Rz=n y//?.
011 m \Jm' et nyn* désignent des espaces incommensurables entre eux, et Ton aura
En formant le quotient — , on obtient
S"— 2m-^S\JS'— kR^
' Euclidë (X, 35) pose a|S =\/;, (p-^ y), jSy = — L 1 — (voir X, Sa), où
\/p{p-<i)^ l'une des deux quantités p, q, peut être un carré, et trouve ensuite
c'est ce qu'on obtient en posant dans nos formules m = \fp , m' =p — q,n =
* Euclide (X, 36) pose (tp==\/JZ\ ^y = XÎZEÏiZ (voir X, 33) , où l'une des
y pm trois quantités p , q , m', ou même m' et q simultanément, peuvent être de» carrés; puis il trouve - , - ,v
c'est ce qu'on obtient en posant dans nos formules m = y^) n^±»5\ n!^&hi' (p — q).
ou, en désignant le quotient — par Q,
d'après les suppositions faites dans les cas considérés ci-dessus, Q sera irrationnel et Q* rationnel (dans l'acception moderne de ce terme), et, à moins que Q^ ne satisfasse à l'équation indéterminée
le quotient — sera irrationnel.
En général, x et y seront donc, dans les cas ci-dessus, deux droites incommensurables en puissance, tandis que, dans le para^ graphe précédent, on considérait trois couples de droites commensurables en puissance.
De là trois autres combinaisons :
4° Deux droites incommensurables en puissance , dont la somme des carrés est rationnelle , tandis que le rectangle compris sous elles est médial :
La somme de deux lignes de cette espèce est la majeure; Leur différence est la mineure.
5° Deux droites incommensurables en puissance , dont la somme des carrés est médiale, tandis que le rectangle compris sous elles est rationnel : s?^-'- «e =^
La somme de deux lignes de cette espèce est celle qui peut
une rationnelle et une médiale; Leur différence est la droite qui fait avec une surface rationnelle un tout médial.
6° Deux droites incommensurables en puissance , dont la somme des carrés est médiale, tandis que le rectangle compris sous elles est également médial, mais incommensurable avec la somme de leurs carrés :
La somme de deux lignes de cette espèce est celle qui peut ;^^ . deux médiales;
Leur différence est la droite (/ai fait avec une surface médiale an tout médial.
in.
Si l'on a deux droites x, y, commensurables en puissance seulement, de sorte que
a^ :y*z=n, il s'ensuit
c'est-à-dire que le carré de x surpassera le carré de y du carré d'une droite commensurable en puissance avec x; mais lorsque n
est de la forme — — , on voit aisément que le carré de x surpassera
le carré de y du carré d'une droite commensurable en longueur avec x.
La droite de deux noms et Vapotome étant de la forme x dzy, où X et y représentent deux droites rationnelles commensurables en puissance seulement, on pourra donc, en supposant toujours x'^y, distinguer deux cas
2° — i = n ou X : y = yn : v/rë- — i .
Puis, comme x et y sont rationnels et commensurables en puissance , et qu'on suppose x ^ y, on pourra distinguer, dans chacun de ces deux cas, trois subdivisions, selon que x et y sont respectivement de la forme
m et ym'
ou K/m et m'
\/m et yW.
ou
On obtient de cette manière :
dans le premier cas
n\Jm
S dans le second cas
En combinant les a^ et j de ces six numéros par addition et par soustraction, on obtient respectivement la première, seconde, troisième, quatrième, cinquième, sixième de deux noms, et le premier, second, troisième, quatrième, cinquième, sixième apotome^.
' Substitutions à faire pour ramener à nos formules les constructions d'Euclide.
1° Prop. Ag- el = n,a^=f,y^ = q^.
Prop. 86. pYj = n, sh^=p^, zl = q^.
/ ^ La formule d'Euclide n ± V / «'
se ramène à la nôtre lorsqu'on pose p =^nq. " , ,
2* Prop. 5o. |r; = m', a/3 = ;^^ ^y = q^ .
Prop. 87. yr} = m\le^r^, sl=^q^.
m n La formule d'Euclide — ' ± m
se ramène à la nôtre lorsqu'on pose 7=1.
3° Prop. 5i. a^ = n\ ^y = p\h = q,£^ r.
Prop. 88. jSy = n», |3S = p^ e = 9, a = r.
Après avoir terminé les constructions précédentes, Euclide démontre que les racines carrées des six droites de deux noms et des six apotomes sont respectivement les six irrationnelles formées par addition et les six irrationnelles formées par soustraction suivant l'ordre , et réciproquement que ces douze irrationnelles ont pour carrés les six droites de deux noms et les six apotomes suivant l'ordre.
11 démontre, ensuite, que toute ligne commensurable à une
La formule d'Euclide '
\q V q y^F^rpV 9 V 9
se ramené a la notre lorsqu on pose p = i , = m
4° Prop. 52.
Prop. 89.
La formule d'Euciide
a.y = p, y§ = q, sl=-rn.
\ p-hq
se ramène à la nôlre lorsqu'on pose 9 = 1 , p -+- 1 = n. 5' Prop. 53. lr}^m\ ay = p, yf = q.
Prop. 90.
La formule d'Euclide
yrj = m', |e = p , |8 = q.
se ramène à la nôtre lorsqu'on pose 7 = 1 , p -+- 1 =^ 6" Prop. 5A. OLy = j), y^=q, l = s, e = t
Prop. 91.
La formule d'Euclide
yh=^pj /3S = <3f, s = s, a = r.
se ramène à la nôtre lorsqu'on pose r= 1, q= i, s= 1, p-H 1 =n.
des irrationnelles est une irrationnelle du même genre et de la même espèce que la ligne à laquelle elle est commensurable , et que les lignes irrationnelles proposées dans ce qui précède sont toutes essentiellement différentes entre elles.
Suivent encore : une autre méthode de construction de ces irrationnelles; puis quelques théorèmes énonçant diverses conséquences de la vérité mathématique que le produit de {\/^ -f-v/^) en (ya — yb) est rationnel; enfin, la démonstration que la diagonale et le côté d'un carré sont incommensurables en longueur.
L'avant- dernière proposition du dixième livre mérite encore d'être particulièrement remarquée; en voici l'énoncé:
« H résulte d'une médiale une infinité d'irrationnelles, dont aucune n'est la même qu'aucune de celles qui la précèdent. »
Euclide prend ici la moyenne proportionnelle y entre une médiale et une rationnelle, puis la moyenne S entre y et la même rationnelle, et ainsi de suite. Les irrationnelles qu'il obtient
sont donc successivement de la forme yr\/m, \ r\/r\/m ,
\l r\/ r\/r\/m, etc. c'est-à-dire de la forme \n, \/p, yq, etc.
TEXTE DES PASSAGES DU MANUSCRIT ARABE RELATIFS AUX TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS SUR LES QUANTITES IRRATIONNELLES.
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sGi JUskLiïUw!^ la-jwjJll LÀ ^^ ijiû ^^JU^ (Fol. 29 r° à 3o ^^) XçgJUij u^-AJyJi j /♦^i LjJaii ,;^ O**^^ ^ cU^i J «Xih.1
!i «.pjtfUwJ ^^i liLJij OS-iaii ^^«>s^ (^ A^wJcH ^^ Lku^jJU .iLJi> (Jv^ Xjt^ij LjJa^ XaJlS' Lkiwi ^i <J]><XSrr «XiJ (^j-if OS^^^
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JojJail ^1 jUll JJi> (J^ LJuo jUi UJUi iii blà Xa^^Ij A^Jlàj ^^aiaiJJL ^î L^ail ^^ (>^|^ I4À./0 <X£*.|j J^ij^J &^ Jf-M tfjJ)
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«yUI ^ A I^Liw* -À.! LLâ. yi viU;> ^ Jj.>aÀil ^jJajdi Lii ^^ AJLÉ^ JyuoijJb ^! ^ ^3 u^ucT^b JjJl ^ )L ijy>y^\ Và\ i^yXf
5<X^ jLLob -^^ <«»^! ^W* (««^^ (JJ^ (J^ XsXi^^ Jj.AaÂll ia->Lwj>î ïù^y^ S-X^3 j3 ej^jwitUjJi «wÂib O^ J^ CT <ij^^
]';yji^j\^\f j^\ aliû ^ Aim3 ^] JjiJu (^>J\ (Foi.
3iv°.]
^5^^ L^i ^«X-jJbji^ W^-^^ A. i k^U A.A..WJ Juu (i! 1^jus.mJ>^
r3^ X ,» h aâU Jc^ jjJcTl*^! J>v^ (ji Uil^ Ucft Uaj»! Ld^ y3^ (Foi .42 v».)
O ^^— A— ^L-JLJL^ [wçè]- l^lyO XjUÛULLo jJLC 8«XC (i)Ji> (y*
TRADUCTION DES PASSAGES DU MANOSCRIT ARABE RELATIFS AUr TRAVAUX- PERDUS D'APOLLONIUS SUR LES QUANTITES IRRATIONNELLES.
« Le but du dixième livre du traité d'Euclide sur les Eléments est l'examen des quantités commensurables et incommensurables, rationnelles et irrationnelles.
« Cette théorie prit naissance dans l'école de Pythagore. Elle fut considérablement développée par Théétète l'Athénien, qui fit preuve, dans cette partie des mathématiques, et dans d'autres, d'une sagacité qui lui a valu une juste admiration; En outre, il était un des hommes les plus heureusement doués, et s'adonnait, avec ufie noble ardeur, à la recherche des vérités contenues dans ces sciences, comme Platon lui en donne le témoignage dans l'ouvrage qu'il intitula d'après son nom^ Quant aux distinctions exactes des susdites quantités, et aux démonstrations rigoureuses des propositions auxquelles cette théorie donne lieu, je crois qu'elles furent établies principalement par ce mathématicien; et, plus tard, le grand ^ Apollonius, dont le génie atteignit au plus haut degré de supériorité dans les mathématiques, ajouta à ces découvertes d'admirables théories après bien des efforts et de travaux.
« Car Théétète avait distingué les puissances commensurables en longueur d'avec les incommensurables^, et avait divisé les es-
' ^ Voir Platon, Théétète, page i43» E et suiv, de l^édition d'Etienne. * Comparer le passage d'Eutocius, cité page i.
' C'est-à-dire qu'il avait distingué les surfaces planes suivant -que les côtés des carrés auxquels elles sont égales (ou, d'après la terminologie des anciens, «suivant
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. lia
pèces très-connues des lignes irrationnelles d'après les diiîérentes médiélées, assignant la médiale à la géométrie, la droite de deux noms à rarithmélique, et l'apotonie à rharmonie\ comme cela est rapporté et raconté par Eudèmo le Péfipatéticien^.
« Quant à Euclide, il se proposa de donner des règles rigoureuses qu'il établit relativement à la commensurabilité et à l'incommensurabilité en général; il précisa les définitions et les distinctions des quantités rationnelles et irrationnelles, il exposa un
que les lignes, les longueurs qui peuvent ces surfaces») sont commensurables ou incommensurables. — Comparer Théétète, p. \lxq, D et suiv.
' Dans le second livre de son commentaire (fol. 36 , reclo et suiv. du ms. arabe) , l'auteur donne à celle découverte de Théétète des développements ultérieurs, et démontre que toutes les irrationnelles formées par addition peuvent être construites au moyen de la pfoportion arithmétique , et toutes les irrationnelles formées par soustraction au moyen de la proportion harmonique.
Quant à la médiale, on a vu ci-dessus (S 5) qu'elle est la moyenne géométrique entre deux lignes rationnelles commensurables en puissance seulement.
Quant aux irrationnelles formées par addition , on sait que , si i est la moyenne
x-\-y arithmétique entre x et y, on a i = . En donnant donc k x ai y successivement les valeurs développées ci-dessus (SS 5 à 7), on obtient les irrationnelles formées par addition.
Quant aux irrationnelles formées par soustraction, on sait que, si i est la moyenne
harmonique entre x et y, on a i = . En donnant à a; et j les valeurs ci-dessus ,
on aura au numérateur un espace rationnel ou médial , et au dénominateur successivement les différentes irrationnelles formées par addition. Or l'auteur démontre, ^ dans le second livre de son commentaire, un très-beau théorème, qui est la généralisation des propositions 1 13 à 1 15 du dixième livre d'Euclide, à savoir que, si un %^ espace rationnel ou médial est compris sous deux droites, dont l'une est une des irrationnelles formées par addition, l'autre droite sera l'irrationnelle correspondante formée par soustraction (voir ci-dessous, S 20, n" 11 et 12). Il en résulte que
2 a; y notre ligne i = représentera successivement les irrationnelles formées par «^
soustraction , lorsqu'on donne successivement à a: et j les valeurs ci-dessus développées. '♦
^ Voir Proclus, Commentaire du premier livre des Eléments d'Euclide, édition de Bàle, i533, p. 35, 1. 7; p. 92 , 1. 1 1 ; p. 99, 1. 28. — Le Commentaire d'Eutocius, p. aoA de l'édition d'Oxford des Œuvres d'Arckimède. — Fabricii Bibliollieca Grœca, W édition, Hambourg, 1793, vol. 111, p. 464 et 492.
