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JmM

grand nombre d'ordres des quantités irrationnelles, et, en dernier

lieu, il démontra clairement toute leur étendue ^

« Enfin , Apollonius distingua les espèces des irrationnelles ordonnées, et découvrit la science des quantités appelées (irrationnelles) inordonnées, dont il produisit un très-grand nombre par des méthodes exactes. »

n Apre* s'être occupé de l'examen et de la construction de la ligne médiale, et après avoir consacré (aux sujets précédemment mentionnés) une partie considérable (du dixième livre), Euclide commence la discussion des lignes irrationnelles formées par composition et par division^, en faisant l'application de ses recherches antérieures sur la commensurabilité et l'incommensurabilité; car la commensurabilité et l'incommensurabilité existent aussi dans les lignes formées par addition et par soustraction^.

« La droite de deux noms est la première des lignes formées par addition, parce qu'elle est la ligne qui a le plus d'affinité avec la ligne rationnelle; car elle est composée de deux lignes rationnelles commensurables en puissance. De même, l'apotome est la première des lignes formées par soustraction, parce qu'on la forme en retranchant d'une ligne rationnelle une ligne rationnelle,

' Par celte dernière observation, l'auteur fait allusion à la proposition 116 du dixième livre.

* Telle est la signiilcation littérale des deux mots arabes employés dans le texte; je me servirai dans ]a suite des termes addition et soustraction, pour éviler des malentendus.

^ En efièt, on a vu ci-dessus (S§ 5 et 6) que les deux parties constitulives , a; et y, de chaque irrationnelle sont commensurables ou incommensurables en puissance ; en outre, les lignes irrationnelles elles-mêmes sont commensurables ou incommensurables enlre elles, selon qu'elles sont de même espèce ou d'espèces différentes (voir Euclide, Eléments, X, propositions 67 à 71 et loA à 108).

commensurable en pulssanceà la ligne entière. Car nous construisons la ligne médiale en prenant un côté rationnel et une diagonale proposée \ et en trouvant la moyenne proportionnelle entre ces deux lignes; nous construisons la droite de deux noms en ajoutant le côté à la diagonale , et nous construisons l'apotome en retranchant le côté de la diagonale.

« Il faut aussi qu'on sache que , non-seulement lorsqu'on joint ensemble deux lignes rationnelles et commensuraLles en puissance, on obtient la droite de deux noms, mais que trois ou quatre lignes produisent d'une manière analogue la môme chose. Dans le premier cas, on obtient la droite de trois noms, puisque la ligne entière est irrationnelle; et, dans le second cas, on obtient la droite de quatre noms, et ainsi de suite jusqu'à l'infini. La démonstration [de l'irratibnnalité] de la ligne composée de trois lignes rationnelles et commensurables en puissance est exactement la môme que la démonstration relative à la combinaison de deux bgnes ^.

« Mais il faut recommencer encore et dire que nous pouvons, non-seidement prendre une seule ligne moyenne entre deux lignes commensurables en puissance, mais que nous pouvons en prendre trois ou quatre, et ainsi de suite jusqu'à l'infini , puisque nous

' C'est-à-dire, en construisant un carré sur une diagonale qui est la ligne proposée comme rationnelle (voir Euclide, Eléments, X, déf. 5), carré dont le côté sera rationnel, mais commensurable en puissance seulement avec la diagonale (voir ibid. prop. 117). De celte façon, on obtient deux droites rationnelles commensurables en puissance seulement, c'est-à-dire les deux éléments nécessaires à la construction de la médiale, de la droite de deux noms, et de l'apotome (voir ci-dessus, S 5).

Je fais observer que le mot arabe qui a été traduit par diagonale, signifie aussi diamètre. Or, soit AB la droite proposée comme rationnelle, et prenons sur AB la partie AC rationnelle et commensurable en puissance seulement kAB. Si l'on décrit sur AB comme diamètre un demi-cercle, et si l'on élève au point C une perpendiculaire à AB qui coupe le demi-cercle en D, AD==\/AB.AC sera la médiale, AB-\-AC la droite de deux noms, et BC=AB — AC l'apotome. Ce serait là une autre manière d'interpréter les expressions un peu vagues du texte.

' Voir Euclide, Éléments, X, proposition 87, et ci-dessous, p. hi et 42-

-|op+fi^7^(«f

pouvons prendre entre deux lignes droites données quelconques

autant de lignes que nous voulons, en proportion continuel

« Et^, de même, dans les lignes formées par addition, nous pouvons , non-seidement construire la droite de deux noms , mais nous pouvons aussi construire celle de trois noms^ ainsi que la première*

' Si , entre deux lignes données , A- et k' , on prend m moyennes proportionnelles , de sorte que :

fe : Zi = il : ij = ij : Z, = = i„i • lm = L- k',

on trouve facilement qu'on a

et

puis, en éliminant /„^, entre ces deux équations, on trouve

ou

Lorsque A: et k' sont deux lignes rationnelles commensurables en puissance seu-

lement , h sera de la forme y^a"-*-^-". b" . — Relativement à la manière dont les anciens trouvaient un nombre donné de moyennes proportionnelles entre deux droites données, voyez Archimède, édition d'Oxford, p. iA4 et suiv.

^ Comme le passage qui commence ici doit servir de base à une partie des conjectures que j'aurai à faire par la suite sur la nature des quantités irrationnelles traitées par Apollonius, et que, par conséquent, il m'importe de le faire connaître au lecteur aussi exactement q'ie possible , j'en fais suivre ici une traduction latine littérale :

« Ac simiiiter in iis quae fiunt per compositionem , non solum licet nobis efficere « lineam ex binis tantum nominibus , sed etiam licet nobis efficere eam quae est ex « ternis nominibus, et eam quae est ex ternis mediis, primam et secundam, et eam « quae est ex ternis lineis rectis incommensurabilibus potentia , quarum una efficit « cum unaquaque duarum (reliquarum) summam quadrati productam ex ambabus « rationalem et rectangulum quod fit ex ambabus médium , ita ut évadai major « composita ex ternis lineis. Et simili ratione evadit linea quae potest rationale ac «médium (composita) ex ternis lineis, et eodem modo ea quae potest bina média. »

^ Voir ci-dessous, p. 4i et ^2.

* Voir ci-dessous, p. A 2 et 43.

et la seconde^ de trois médiales; puis, la ligne composée de trois droites incommensurables en puissance et telles que l'une d'elles donne avec chacune des deux autres une somme des carrés rationnelle, tandis que le rectangle compris sous les deux lignes est médial, de sorte qu'il en résulte une majeure composée de trois lignes^.

x^ : y = a x" : z' = ab y* : z* = b

* x* H-/' = a a;* -4- z» = 6 yzs=.\J c

Ou bien

aH-6 l/b — ay

-=Y/(t-«)î-c±.yy(iz:^)Vo .

jrz == y/c.

ai' -{- y*= a a;' -j- z* = 6 *7 = y^

Hl^yN^Vfc^/^.

Et, d'une manière analogue, on obtient la droite qui peut une

^=VFvt^ ^=V;-v/f^ -\Hînf

•^^X ZL ■^' . médial. On pourrait aussi tirer de 3° et 4°

On obtient des formules tout à fait analogues à ces dernières, en remplaçant

xy = \Jc par xz = \Jc.

Si l'on voulait interpréter le texte de façon à y voir énoncé les équations suivantes :

3° xy = \/c W xz = \Jd

ces conditions seraient incompatibles ; car, de i°, 2° et 3°, il suit, comme on vient

c , ce qui n'est pas un espace

xr^ [y^ — z^)=-c — d ou j' — 2* = -

Irm

et l'on aurait en même temps donc

ic^-^y =r a; c — d

xr -\- z^ = a

a fa^

ce qui n'est pas un espace rationnel.

'to

I Je-^ 7 -^l

fl 0 0 » o

rationnelle et une m édi aie, composée de trois droites \ et de même celle qui peut deux médiales^.

« Car, supposons trois lignes rationnelles commensurables en puissance seulement. La ligne composée de deux de ces lignes, à savoir la droite de deux noms, est irrationnelle, et, en conséquence, l'espace compris sous cette ligne et sous la ligne restante est irrationnel , et, de même, le double de l'espace compris sous ces deux lignes sera irrationnel. Donc, le carré de la ligne entière,

Si l'on déduit les expressions pour x, y, z des trois conditions

^^±jEEFÎ^s[ZJÏIL^sj

a ± yV— 46 ai y' a' — 4 6

el (x -^- y -i- zY == a -+- 2 \ \/b -\-\/ c \ -\ \ 2 \/b~c -+■ c \ .

Cette combinaison produit une ligne composée x -}-y -^ z dont le carré ne contient plus des racines de racines, tandis que les combinaisons précédentes ont l'inconvénient de conduire à des lignes dont le carré contient encore des racines d'expressions irrationnelles. C'est pourquoi je ne suis pas éloigné de croire que la combinaison a;* -h- j^ = a , xy =^ y't , a; z = \J c est réellement celle qui avait été adoptée par Apollonius, dans sa généralisation des théories d'Euclide. Il est vrai que notre texte s'oppose à cette supposition , parce qu'il parle expressément de « la somme des carrés de l'une de ces lignes avec chacune des deux autres; » mais, dans ce qui suit, j'aurai l'occasion de faire remarquer que l'auteur ne paraît pas avoir toujours mis un très-grand soin à reproduire avec une exactitude rigoureuse les énoncés des généralisations dont il donne ici une indication rapide. (Voir la deuxième note de la page Aa et S 17.)

' x* -f- j* = \^ a x* -f- î* = \Jh X y= c

a i lu

je (0^

$ Id^ ^oO

'^^ If

composée de trois lignes, est irrationnel, et, conséquemment, la ligne est irrationnelle, et on l'appelle droite de trois noms^ - « Et, si l'on a quatre lignes commensurables en puissance , comme nous l'avons dit, le procédé sera exactement le même; et on traitera les lignes suivantes d'une manière analogue.

« Qu'on ait ensuite trois lignes médiales commensurables en puissance , et dont l'une comprenne avec chacune des deux autres un rectangle rationnel^; alors la droite composée des deux lignes est irrationnelle et s'appelle la première de deux médiales; la ligne restante est médiale , et l'espace compris sous ces deux lignes est

' [\fa-{-\Jh -Jr-\/c]^=^[\Ja-^\/h]^-^ 2 \\Ja-h\Jh\\Jc -\- c , où l'une des trois quantités a, h, c peut être un carré. — Cette démonstration n'est pas tout à fait rigoureuse. Quant au terme a j \Ja ■+■ \Jh \\Jc , il est égal à la somme des deux espaces médiaux \Jk ac -\- \//i bc, et, par une démonstration analogue à celle de la 27° proposition du X' livre d'Euclide, on prouvera que la somme de deux espaces médiaux est irrationnelle. D'un autre côté, on a démontré (X, 87) que le carré (t/^-l-i/ï)* est irrationnel. Mais il n'est pas généralement vrai que la somme de deux espaces irrationnels soit irrationnelle. 11 reste donc à démontrer que la somme formée des deux espaces irrationnels (i/^|i^)* et 2 ! v/a -+- \/6 | \/c 6t de l'espace rationnel c, est irrationnelle.

^ Ces deux conditions sont incompatibles; car, supposons Irois lignes, x, y, z, dont l'une, x, comprenne avec chacune des deux autres un rectangle rationnel; on aura xy = m , xz = n\ donc j : z = m ; n ; c'est-à-dire , j et 2: ne seront plus commensurables en puissance seulement, mais aussi en longueur. Il faut donc rectifier l'énoncé du texte de la manière suivante : « Qu'on ait trois lignes médiales , dont l'une soit commensurable avec les deux autres en puissance seulement, et dont la même comprenne avec chacune des deux autres un rectangle rationnel, etc. » On aura alors :

xy=h

x:z=x:{py)=

X z =^x . (pj) = p b

donc

et

Des trois termes de cette dernière somme, le premier est irrationnel (X, 38); le second se compose de l'espace 2 x z qui est rationnel, et de l'espace 2 y z qui

ty

DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. k'S

irrationnel. Conséquemment, le carré de la ligne entière est irrationnel. Le reste des autres lignes se trouve dans les mêmes circonstances. Les lignes composées s'étendent donc jusqu'à l'infini dans toutes les espèces formées au moyen de l'addition.

« De même, il n'est pas nécessaire que, dans les lignes irrationnelles formées au moyen de la soustraction, nous nous bornions à n'y faire qu'une seule soustraction, de manière à obtenir l'apotome, ou le premier apotome de la médiale, ou le second apotome de la médiale, ou la mineure^ ou la droite qui fait avec une surface rationnelle un tout médial, ou celle qui fait avec une surface médiale un tout médial; mais nous pourrons y effectuer deux ou trois ou quatre soustractions.

« Lorsque nous faisons cela, nous démontrons, d'une manière analogue à ce qui précède, que les lignes restantes sont irrationnelles, et que chacime d'elles est une des lignes formées par soustraction. C'est-à-dire que, si d'une ligne rationnelle nous retranchons une autre ligne rationnelle commensurable à la ligne entière en puissance , nous obtenons pour ligne restante un apotome ; et si nous retranchons de cette ligne retranchée et rationnelle, qu'Euclide appelle la congruente (-nypocrapiuio^otio-a), une autre ligne rationnelle qui lui est commensurable en puissance, nous obtenons, comme partie restante, un apotome: de même que, si nous retranchons de la ligne rationnelle et retranchée de cette ligne une autre ligne qui lui est commensurable en puissance, le reste est un apotome ^ Il en est de même pour la soustraction des autres lignes.

est irrationnel; le troisième est le carré d'une ligne médiale, et, par conséquent, irrationnel. On obtient en définitive

* C'est-à-dire que si l'on forme successivement les différences y/â — \/b ,y/t — \/c , y/c — \/d, etc., toutes ces expressions représenteront des apotomes. On se serait attendu , sans doute , à voir l'auteur former et discuter les expressions suivantes :

(v/â— ^6)— V^, Kv/^ — v/6> — v/^l— v/d, etc.

kk ESSAI D'UNE RESTITUTION

V y ^' " ^ ^^^ donc alors impossible de s'arrêter, soit dans les lignes

bs'

u ^5 formées par addition, soit dans celles formées par soustraction;

CVp i-S^Çil '^^ D M S-K "^^^^ ^^ procède à l'infini, dans celles-là, en ajoutant, et dans

V / ) -/ celles-ci, en ôtant la ligne retranchée. Et, naturellement, l'infinité

^ \ 1 XTo ^^® quantités irrationnelles se manifeste par des procédés tels que

-^ les précédents, vu que la proportion continue ne s'arrête pas à

un nombre déterminé pour les médiales, que l'addition n'a pas de

fin pour les lignes formées par addition, et que la soustraction

n'arrive pas non plus à un terme quelconque. »

« Voici maintenant, en peu de mots, ce qu'il faut qu'on sache au sujet de Mordre des irrationnelles.

« En premier lieu, Euclide nous a donné (la théorie de) celles d'entre elles qui sont ordonnées et homogènes aux rationnelles ; car les irrationnelles se divisent premièrement en inordonnées , c'est-àdire celles qui tiennent de la matière qu'on appelle corruptible, et qui s'étendent à l'infini; et, secondement, en ordonnées, cpii forment le sujet limité d'une science, et qui sont aux inordonnées comme les rationnelles sont aux irrationnelles ordonnées. Or Euclide s'occupa seulement des ordonnées qui sont homogènes aux rationnelles, et qui ne s'en éloignent pas considérablement; ensuite Apollonius s'occupa des inordonnées, entre lesquelles et les rationnelles la distance est très-grande.

« En second lieu, il faut qu'on sache que les irrationnelles sont produites de trois manières : au moyen de la proportionnalité, au moyen de la composition (addition), ou au moyen de la division (soustraction), et pas d'une autre manière du tout, hormis ces trois manières; car les inordonnées ne sont dérivées des ordonnées qu'au moyen de ces méthodes. Or Euclide n'a trouvé qu'une seule ligne irrationnelle au moyen de la proportionnalité, six au moyen de la composition, et six au moyen de la division; et à ceci se borne le nombre entier des irrationnelles ordonnées. »

OA-,^v^ . , ^ -\

« Nous avons aussi acquis une connaissance suffisante de ce que le nombre des irrationnelles est grand, ou plutôt infini; c'est-àdire le nombre des irrationnelles formées par addition et par soustraction, et de la ligne niédiale elle-même, ainsi que le démontra Euclide, attendu qu'il énonça que de la ligne médiale il résulte d'autres lignes irrationnelles infinies en nombre par rapport à fespècddes lignes précédemment décrites^; mais, si de la ligne médiale on déduit mie infinité de lignes, que dira-t-on au sujet de celles qu'on déduit des autres lignes irrationnelles suivant Tordre ou en négligeant l'ordre ? Il est évident pour chacun qu'on peut dire qu'il en résulte un nombre de lignes infiniment de fois infini. »

ESSAI D'UNE RESTITUTION CONJECTURALE DES TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS SUR LES QUANTITÉS IRRATIONNELLES.

Avant d'esquisser l'essai d'une restitution conjecturale des développements donnés par Apollonius à la théorie des quantités irrationnelles, développements qui doivent avoir consisté essentiellement dans une généralisation de la théorie d'Euclide, il sera nécessaire de jeter encore un coup d'œil sur les traits généraux et sur les points essentiels des constructions de ce dernier géomètre.

' C'est-à-dire, il en résulte une infinité d'irrationnelles, dont aucune n'est de la même espèce qu'aucune de celles qui la précèdent. [Eléments, X, 1 16.) — Toutes ces lignes ont la forme de la médiale, ce sont des médiates d'ordres supérieurs. Notre auteur peut donc dire avec raison que le nombre des médiates est infini, aussi bien quo-celui des irrationnelles formées par addition et par soustraction.

Comme d'un côté les noms donnés par Euclide aux différentes espèces d'irrationnelles sont en partie d'une longueur gênante, et que, d'un autre côté, les remarques que j'aurai à faire porteront toujours à la fois sur l'espèce formée par addition et sur l'espèce correspondante formée par soustraction, je désignerai, dans la suite, les irrationnelles construites dans les propositions 87 et 7^, 38 et 76, 89 et 76, 4o et 77, 4i et 78, 4^2 et 79 du X^ livre, respectivement comme la l'^^ 2% 3% 4% 5% 6® irrationnelle d'Euclide.

Pour toutes ces lignes, le but constant des démonstrations d'Euclide est de prouver que chacune d'elles peut un espace qui n'est ni rationnel, ni médial. Or l'espace que peut la ligne a; :±zy, c'est l'expression

x^ -\- y* dz 2 xy = S ± 2 R,

si nous désignons par S la somme des carrés des deux éléments

de la ligne, et par R le rectangle compris sous eux;

donc

X dtiyz= y/5±2~fî .

Euclide ne définit d'une manière positive que deux genres d'espaces, l'espace rationnel et l'espace médial. Ces deux genres d'espaces donnent lieu à quatre combinaisons pour la nature de la somme S àz 2 R:

1** S rationnel et R rationnel ;

2° S rationnel et R médial ;

3° S médial et R rationnel ;

4^** S médial et jR médial.

La première combinaison doit être rejetée, parce qu'elle rendrait la somme S zh 2 R rationnelle ; et la quatrième doit être assujettie à la condition que SetR soient incommensurables, parce que sans cela la somme S dz 2 R serait médiale.

On exclut les cas inadmissibles par une seule condition générale , en demandant que SetR soient incommensurable» entre eux.

De cette manière , on aura

x' -f- j' = a ary = \Jh

. /a-t-v/a»— 4 6 , 4 U — sf^

ce qui est la 4" irrationnelle d'Euclide.

2** X» -H / =^ y/a xy = b

ce qui est la 5^ irrationnelle d'Euclide.

ce qui est la 6^ irrationnelle d^Euclide.

Les combinaisons possibles sous les circonstances données étant ainsi épuisées, on se demande naturellement d'où viennent maintenant les trois premières irrationnelles d'Euclide.

Or celles-ci ne sont, en effet, que des cas particuliers des trois dernières, spécifiés par la condition que les deux éléments x et y doivent être commensurables en puissance, ce qui est compatible avec la condition que les espaces S Qi R soient incommensurables; car de

on tire H

[x^ H-/) '.ocy:=[m -\-n) : yJrm^.

' Naturellement, l'inverse n'a pas lieu. De [x^ H- y*) : xy = i/m on lire a^ i^^aa

j — . Dans les trois cas généraux [x^ -t-J'*)* sera une quantité rationnelle,

mais y* sera irrationnel (dans l'acception moderrte de ce terme). Au contraire, dans les trois cas particuliers où y est une droite rationnelle ou médiale (S 5), y* est eEFecliveraent rationnel (dans l'acception moderne de ce terme).

Aussi nous avions remarqué ci-dessus (S 6) que la commensurabilité en puissance des éléments x ety est cette exception à leur incommensurabilité , qui a lieu dans le cas particulier où l'expression Q* — 4 Q^ est le carré d'une quantité rationnelle. Or, Q n'é-

tant autre chose que le quotient —^ de — = —, il suit effec-

Nous n'avons donc qu'à faire (a;* -h J*) : xy == [m ~{- n) : \/mn, pour dériver des trois dernières irrationnelles d'Euclide les trois premières suivant l'ordre.

Pour cela, nous posons,

1° a = m-h- n b ■=mn;

ces valeurs, substituées dans l'expression de la à^ irrationnelle, donnent

X d- y:= \frn rt \Jn;

ce qiii est la ij* irrationnelle d'Euclide.

2** a-=[m-\-nfmn b = mn;

ces valeurs, substituées dans l'expression de la 5^ irrationnelle, donnent

X àzy=: y m \/mn dz \n K/mn; ce qui est la 2^ irrationnelle d'Euclide.

3° a = m-hn b =

ces valeurs, substituées dans l'expression de la 6^ irrationnelle, donnent

X zh y = sj =b i/ " ;

ce qui est la 3^ irrationnelle d'Euclide.

-lij>

DE TRAVAUX! PE>i\DU S DA'POLLOMUS. 4ft]

Voici' ruaintenaint les' définitions et la disciïssion des irration- ^

nelles généralisées que je suppose avoir formé le sujet des travaux d'Apollonius.

1° La somme de n droites rationnelles commensarables en puissance seulement, et comprenant deux à deux un rectangle médial :

L'espace qme peut cette ligne ^ la forme suivante :

a-^b-h-c^-dlp'\f'!^':4:

-f- 2 |y/a6 -}- y/ac -+- y/ôrf-f- . . . -f-y/ôc -f- y/6rf-+- . . .-f-y/crf

2"^ La somme de n droites médiales, dont l'une est commensurable avec toutes les autres en puissance seulement, et dont la même comprend avec chacune des autres un rectangle rationnel: ^

. / 7= /7F - foc* fâë

yaWm -f- W— -h \/l= -h' V-7= -^ ;

-f- ^ yf \/^ V y/m . V 0n

L'espace que peut cette ligne a la forme suivante :

-^ \m-h{b-hc-hd-j- Y\-h2a{b-hc-h-d-^ ).

3° La somme de n droites médiales commensarables en puissance seulement, et comprenant deux à deux un rectangle médial :

V/a \Jm -+- sjb \Jm -+- sjc sJrH -+- \Jd\Jm -\-

L'espace qjie peut cette ligne a la forme suivante,î^~^=^~ j a -I- 6 H- c -\-Â -i- . . , . . -H .

+ 2 (sjâb+sjâc+yjâd-]-. .'.'^\fbc-^\fbd+ . . . +\/cd-\- . . . ) j \Jm.

On voit que cette ligne n'est autre chose que la première irrationnelle généralisée multipliée par^m, en sorte que la première est ce cas particulier de la troisième qui a lieu lorsque m est le carré w^ * ou le carré du carré d'une quantité rationnelle. C'est ce que nous

avions déjà remarqué ci-dessus (§ 5), car on a

sâ ^

et, dans le cas de m = n\ ou de m = — , mn' sera le carré d'une quantité rationnelle.

Ix^ La somme de n droites dont l'une est incommensurable avec toutes

H les autres, et dont la même donne, avec une des autres, une somme

f.. des carrés rationnelle, et comprend avec chacune des autres un rectangle

» médiat: v\/-f ju /- bsjw-;

ce

sj a^ — Ixh ^ a ± y' a' — 4 6

û. ± \/ a' — kh

^^ L'esjpacè que peut cette ligne a la forme suivante i'^*^'' "^ ^ ^'

a dsz y'- a" — 4 6

5° La somme de n droites dont l'une est incommensurable avec toutes les, autres j, et dont la même d^nne, avec une dév autres, une somme des

carrés médiate , et comprend avec chacune des autres un rectangle rationnel :

a'-t-(3* = Y/â, oi^ = b,ay==c,OLS=d,, , . ^ . . . QL-{-^-hy -\-S-+- =

^ 1 ' i AT -f- » /« /. hi '

. / Td^ ~

L'espace que peut cette ligne a la forme vsuivante :

2 \b-i-c-\-d-\- , . . \-h\/â-\- -h— — )o.blc-^-d-i- )-^[c-\-d-h )M.

6° La somme, de n droites dont Fane est incommensurable avec toutes les autres, et dont la même donne, avec une des autres, une somme des carrés médiate, et comprend avec chacune des autres un rectangle médiat:

a'-h|S» = y^, a^ = )Jb, ay = \/c, aS=\/d,

QL-^-^-h-y-hS-h =

-f- Vt= — -+- — v

L'espace que peut cette ligne est de la forme

y/â-h-2 \\fb-\'\Jc-^\/d.r\- I H-

Gomme ci-dessus, les trois premières irrationnelles sont des cas particuliers des trois dernières, ce qu'on démontre au moyen des mêmes substitutions.

Lorsque dans 4° on a

a = m-{- n b = mn,

on obtiendra i -

Lorsque dans 5° on a

a := [m -}- nY mn b = mn ,

on obtiendra

Oi~h^-{-y-h-S-+- . =\/m \/mn-hJ-^-^J~^-{

' V m t/mn V m v/mn

V m y/mn

i/mn V m y i

m y mn

^^^ Lorsque dans 6° on a

a = m -{- n on obtiendra

io\ uf Oi) fao 9flsil 9il90 ÎJJ'

Je vais maintenant faire suivre encore une autre" conjecture sur les formes de la 4^ 5^ et 6^ irre^tionneile généralisées, mais qui, cependant, me paraît moins probable. \ |\

l\° La somme de n droites incommensurables , dont l'une comprend, avec une des autres, un rectangle médial, et donne avec chacune des autres une somme des carrés rationnelle.

fa±T/^^TÏ , . / a zt Ja'—XT ^ / a ± v/a'— aÏ

+Y/7irïi^^+

L'espace que peut cette ligne a la forme suivante :

-1-2 \)JcÇ>—<p'-h\/d(p — (f>'-+-

-hyjac — (a-\-c)(p-h(p' -+- \Jad — (a -+- d) <p -h Ç>' -h . . . -i-\/cd--{c-hd)(p-h<p'-^ -h j,

ou

5° La somme de n droites incommensurables , dont l'une comprend, avec une des autres, un rectangle rationnel, et donne avec chacune des autres une somme des carrés médiale.

aH-|3-i-y-h^-h —

L'espace que peut cette ligne a la forme suivante :

^+^c^-v/S-^^ -(n-2) ^l±^lEB^2b-^

4-\/Y/a^-(y^ + y^)x+x'-»-V/v/«t^-(\/«+V^)x + X*+--- -+- V/v/c5 — {\/c-h\Jd) X -4- X^ H- -+- t'

où X = ^±V/F^^ et pe^(;-è^)±Vf^-

6° La somme de n droites incommensurables, dont l'une comprend, avec une des autres, un rectangle mèdial, et donne avec chacune des autres une somme des carrés médiate.

L'espace que peut cette ligne a la forme suivante :

\/â-+-V^-f-V^-i- — (w — 2)X^^-^-^— ^-f- 2 \Jh-\-

-f-2 \sj\jc-^ — -^' +- V/\/Sif— ^^-4-

Voici ,, enfin ♦ une troisième combinaison que je considérerais comme la plus probable de toutes, si elle s'accordait parfaitement) avec la lettre du passage ci-dessus (p. 695 et 696) relatif à la majeure composée de trois éléments. On demandera qu'il soit

OL'~i-^'-hy'-hS'-h =i4,

a^ = B, ay=zC, a.Sz=D,

et, si l'on pose

on aura

^ . 2 ' > A±\J A^ — lia ^ A±\J A* — \a

La ligne aH-fS-j-y-H-^H- représentera successivement la 4^, 5^, 6*^, irrationnelle, selon qu'on donne à A, B, C,

D, les valeurs a, ub, k/c, \/d, ... ou y/a, b, c, d,. . . ou

\/a, v/6,\/c,\/5, Puis, dans les cas particuliers où l'on aura

respectivement a = m -\- n et cr = mn, ou a = [m -4- n)*. mn

mw)', OU a =zm-{-n et cr = , les trois dernières irra-

tionnelles se transformeront dans les trois premières suivant l'ordre.

Quant aux irrationnelles d'Apollonius, formées au moyen de la soustraction, elles ne peuvent avoir été que : ou bien, d'après notre texte , des lignes de la forme a — 13 , jS — y, y — S, etc. ; ou bien , ce qui paraît plus probable, des lignes de la forme

OÙ a, p, y, s, ... . représentent les expressions développées dans ce qui précède.

Si certaines expressions de notre texte pouvaient induire quelque lecteur à croire que les conditions générales pour la formation des lignes a — |3, jS — y, y — §, etc., étaient les suivantes

OL' -h ^' = A oi^ = A,

etc.,

où A, B, C, . . . Al, Bi, Cl . . . sont de la forme m ou y m; je fais observer qu'on ne peut satisfaire à ces conditions que dans des cas particuliers, attendu qu'il y a plus de conditions à remplir que de lignes à déterminer.

Les généralisations des paragraphes précédents se rapportant au nombre des termes; on y remplace les irrationnelles binômes ^ d'Euclide par des irrationnelles polynômes.

Il reste maintenant une autre généralisation à faire, qui concerne le degré des irrationnelles, attendu qu'on peut désigner en général les irrationnelles traitées par Euclide, même celles discutées dans la proposition 116 du X^ livre, comme irrationnelles du second degré.

Mais si l'on voulait appliquer cette généralisation aux irrationnelles polynômes considérées dans les paragraphes précédents, on obtiendrait, pour les conditions qui servent à déterminer les éléments de ces irrationnelles, des systèmes d'équations du troisième degré ou de degrés supérieurs à plusieurs inconnues^; et, comme tout ce à quoi les mathématiques grecques se sont élevées

* En outre, cette généralisation présupposerait la connaissance du développement de l'expression lei-^^-+-y-+-h-\ )", et ce développement ne présenterait

plus d'une manière simple et naturelle les conditions qui doivent servir à la détermination des éléments a , |S , y, 8

en fait de résolutions d'équations supérieures se borne, d'après nos connaissances actuelles, à la construction géométrique de quelques cas particuliers d'équations du troisième et du quatrième degré, il n'y a pas lieu de croire que la construction d'irrationnelles polynômes de degrés supérieurs ait été tentée par Apollonius.

Mais les anciens possédaient des procédés pour trouver mécaniquement la racine de l'équation binôme d'un degré quelconque, ou, ce qui revient au même, pour trouver un nombre donné de moyennes proportionnelles entre deux droites données ; et il résulte de ce que rapporte notre auteur, qu'ils n'ont pas manqué d'en profiter pour considérer des irrationnelles de degrés supérieurs.

Nous avons vu ci-dessus (p. 696) que ces irrationnelles étaient de la forme

Or, comme on peut varier à l'infini les valeurs des deux nombres entiers (!x et r, et comme pour les deux éléments yl et iî on peut prendre, soit deux rationnelles, soit une rationnelle et une des innombrables irrationnelles, considérées sous leur forme générale dans les paragraphes précédents, soit deux quelconques de ces irrationnelles, soit enfin les irrationnelles qui résultent de ces substitutions mêmes, on voit que notre auteur est parfaitement en droit de dire que le nombre des irrationnelles qu'on peut construire d'après les indications précédemment données par lui, est « infiniment de fois infini. »

ANALYSE DU COMMENTAIRE DE VALENS SUR LE DIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE,