Génération des irrationnelles formées par addition ou par

soustraction, au moyen d'un espace rationnel et d'un espace médial, ou de deux espaces médiaux' qu'on combine par addition ou par soustraction , et dont le plus petit ^ est compris sous deux lignes, soit commensurables, soit incommensurables en puissance, et qui, ensemble, peuvent le plus grand*. Cela donne lieu à douze cas, correspondant aux douze irrationnelles. — Fol. 35 r° à 36 r°.

' Posons X : y = r , a;* -h y* = 5 ; on aura

—\Ji^ 'sl^

Lorsque a? et y sont commensurables en puissance, r* est rationnel dans l'acception moderne de ce terme, et, comme la ligne qui peut un espace rationnel ou médial est elle-même rationnelle ou médiale, a; et j seront, en même temps que s, rationnels ou médiaux. Lorsque, au contraire, a; et j sont incommensuredjles en puissance, r* sera iri'ationnel, et, par conséquent, x ci y seront des lignes irrationnelles.

* Si le carré d'une irrationnelle formée par addition s'exprime par S -+- 2 jR ^ celui de l'irrationnelle correspondante formée par soustraction s'exprime par S— 2/î.

^ 2 JR; car on a toujours a;^ -t- j^ > 2 xy.

* Telles sont les expressions employées à plusieurs reprises dans le texte; pour parler plus exactement , il faut dire que la somme des carrés des deux droites qui comprennent la moitié de l'espace mineur est égale à l'espace majeur.

9. De la relation qui existe entre les trois genres d'irrationnelles et les trois genres de proportions. Génération de la médiale au moyen de la proportion géométrique , et des irrationnelles formées par addition au moyen de la proportion arithmétique. — Fol. 36 r'^à 36 v".

10. Génération des irrationnelles formées par soustraction, au moyen de la proportion harmonique ^ — Fol. 36 v° à 3 7 V*.

1 I . Théorème. Lorsqu'un espace rationnel est compris sous deux droites, dont l'une est une des irrationnelles formées par addition, l'autre droite sera l'irrationnelle correspondante formée par soustraction. Démonstration de ce théorème. — Fol. 37 v° à 38 v°.

1 2. Démonstration du même théorème pour un espace médial ^. Fol. 38 v«.

' Voir ci-dessus, p. 35.

* En posant

x-hj

on aura

af—f «■+''= (73:7)' f'^^*'

Tant que E est un espace rationnel ou médial, et que x-^y représente une des

irrationnelles formées par addition , 1 — • I = — -

sera un

facteur rationnel, dans l'acception moderne de ce terme. La somme et le rapport des carrés des deux éléments constitutifs , ainsi que le produit de ces deux éléments , c'est-à-dire les expressions qui, comme nous l'avons vu ci-dessus (SS 5 et 6), décident de la nature de l'irrationnelle composée de ces deux éléments , ne changeront donc pas de nature, lorsque de a; et j on passe à S et >;. En conséquence. $ — r] sera une irrationnelle de la même espèce que x — y; c . 9 . /. d.