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y 6 APPLICATION

énoncés algébriques, précisément comme la Géométrie les assemble pour former la question proposée. C’est ce que l’on comprendra parfaitement, d’après l’exposition graduelle que nous allons en offrir.

D’abord, tous les problèmes de Géométrie imaginables, et même en général toutes les considérations géométriques, portent sur les positions relatives des points de l’espace. Notre premier pas doit donc avoir pour but de chercher comment ces positions peuvent être exprimées et fixées par un énoncé analytique.

L’espace, tel que les géomètres le considèrent, est une étendue indéfinie dans laquelle on conçoit que tous les corps sont placés. On ne peut donc y déterminer le lieu absolu des corps, mais seulement leurs situations relatives, qui sont les seules dont la connaissance nous soit necessaire : et, pour cela, on rapporte ces points à des objets fixes, dont on suppose que la position est connue.

Sur un plan, on conçoit deux droites AX, AT (fig. 4) * faisant entre elles un angle quelconque donné : tout point M, sitqé dans le plan, est déterminé lorsqu’on connaît les longueurs des droites. MQ, MP, menées do ce point parallèlement aux lignes AX , AY, et terminées à ces lignes; car par les propriétés des parallèles, AQ=PM, et AP =QM. On peut donc, en connaissant ces valeurs , mener les droites PM et MQ, qui, par leur intersection, déterminent le point M.

Dans l’espace, ou conçoit trois plans YAX,XÀZ, ZA^ (üg. 5), faisant entre eux des angles donnés. Un pond quelconque M se trouve déterminé de position, quand on connaît les longueurs des droites MM', MM", MM*> menées par ce point parallèlement aux intersection* des trois plans, et terminées à ces plans ; car alors on peut mener trois plans parallèles à ceux ci, et sur lesquels le point M se trouve.

DF. L’ALGÈBRE AUX LîÊÜX GÉOMÉTRIQUES. 77 Avant d’examiner les conséquences qui résultent ,les conventions precedentes, il est bon d’observer qu’en

dans? "° US P™' 1 ™ 8 lcs mo,s P 1 ™ et ligne droite dans leur accepta, la plus étendue; c’est-à-dire qu’en

£ “T P ar droite, une ligne

^défini»^”wu P ta» H * P ° r pU ’ U, ‘ pla "

s ;,u rp , . u * Lorsqu il sera necessaire de con-

nous en ? T'° nS dc pla " s « Je droit ,

niais ces aWr t"*’ C ° m ' ne n °" S Ven0nS de Ie faire i les conditions pa'rtievdières'd'e I^quéstion^propoa^.

Des Points et de la Ligne droite considères sur un plan.

■“ deux lignes fixentAX^AY ^ unp ' an ’ so ”‘>'apportcs P'», les longueurs QM W ï ’’ me " ées dans 00 *e nomment abscisses - V-, 1 l, urs e S al « AP, AP",

leurs égales AQ, AQ’ im 1 »’ d,stances PM > P'M', ou

SUr H-olle se eom’ptenï le, ,^° nn<! “ i Lali gneAX,

nomme l’axe des abscisses AP ’ M "’ “

des ordonnées. Les ordonnées et 1™"°! ^ S ’ appeUl : l ’ aTe encore par la dénomimt - , , es a Jscisses se désignent lignes AX, AY sont 1 °° coordonnées ; les

et le point A où *»ll 3 ° FS CS axes ^ es coordonnées y ^oix des axes’estait SeC ° U l 3ent ’ en est ? origine. Le volonté, cornnter 1 ° “T” 1 ar, dtraire ; et l’on peut, à ou sur l’autre. & al,SCls ses ou les ordonnées sur l’un

par y “ S 4 ® 4 ™ 1 par X ahsc!ss « s , et

prendront divers ’ 1 y Seront des variabl es qui

<iue l’on devra considéreTsi 130111 ^ ^ d ‘ ffGreus P oiuts

suré les longueurs AP PM ’ V ? exem P le » ayant me- «n trouve la premiùJ ’ ? U , 1 detcrmine ut le point M, e ogale a ü, et la seconde égale

7 8 DES PPIfïTS ET DE fX fjOi^E DROITE

à b , op aura, pour fixer b position de ce point, les deux équations

xz=za, y xx-b.',

rt comme elles suffisent pour cet objet, upus les nojnmerons les équations du point M.

Si, l’abscisse AP restant la même , l’ordonnée PM diminue ? le point M Rapproche de plus eu plus de L’axe AX; si PM ou b devient nulle, le point H tombe en P sur l’axe des x lui-même ; et ses équations deviennent x = a, y — o.

Si l’ordonnée PM restant la même, l’abscisse AP diminue, le point M s’approche de plus çn plus de l’axe A Y, avec lequel il finira par coïncider, lorsque AP deviendra nulle -, ce qui donne

pour les équations d’un point tel que Q, situé sur l’axe mémo des y.

Enfin , si l’abscisse AP et l’ordonnée PM deviennent nulles en même temps, le point M coïncide avec le point A, origine des coordonnées, et l’on a * = ?, jy = o,

pour les équations de cette origine.

35 Q n voit, par cette discussion, qu’en supposant aux variables x et y toutes les valeurs positives possibles , depuis zéro jusqu’à l’infmi, on peut exprimer la position de tous les points placés dans l’angle YAX.

Quant aux points compris dans les autres angles formés par les axes, ils répondent aux valeurs négatives des variables x et y .

Pour le démontrer, concevons qu’au lieu de prendre Y A pour axe des y, on prenne, dans le même plan, une autre ligne qui lui soit parallèle ; par exemple, la ligne Y'A' (fig- 6) > pour laquelle nous supposerons que la

C0K8 Id£rÉs 8UR UN PX.A5T. 7g

distance AA', 4 l’ancien axe, est donnée et exprimée par A. Nommons x , les nouvelles aJjscisçps comptées sur le même axe AX, mais à partir de la nouvelle origine A', ^ela posé, si nous considérons un point quelconque M situé dans l’angle Y'A'X, nous aurons

AP = AA' -f- A'P ? ou x = A-l-x'; mais , si nous considérons un point M' situé dans l’angle Y'A'A, et que nous représentions encore son abscisse A'P* par la variable a', en lui supposant toutefois une valeur quelconque , nous aurons

AP'r^A A'f-r A'P', on ^?=A — x'-,

d’ou l’on voit que, si l’ow veut cendre la même formule analytique

x zn A -f- x ",

applicable à la ibis aux points situésdans l’anglp XA'Y', et aux points situés dans l’angle A A'Y', il faut regarder pour ceux-ci les valeurs de x comme négatives; en sorte que le changement de signe réponde à leur changement de position par rapport à l’axe A'Y'.

Pour confirmer cette conséquence, et faire voir encore plus clairement comment la formule précédente peut lier les difiérens points du plan, supposons que 1011 considéré d abord un point situé sur l’axe A* Y' lui-même : pour ce point $ sera nul, et la formule x=A-fa:' donnera x = A.

C’est la valeur de l’abscisse AA' par rapport aux axes AX, AY.

Mais si l’on veut que cette même équation convienne aussi aux points situés sur i’axc AY, considérons un quelconque d’entre eux ; son abscisse x sera nulle, et la formule précédente donnera

A + x' = o, ou x'= — A-