DES POINTS ET DE LA DIGNE DROITE

ce qui est encore la valeur de l’abscisse A A', en la supposant rapportée à l’axe A'Y'. L’expression analytique de cette abscisse devient donc positive pour l’axe AY ,et négative pour l’axe A'Y', quand on suppose les points du plan liés entre eux par l’équation

Ce résultat s’applique également aux valeurs négatives de x f èt prouve qu’elles appartiennent aux points situés du côté de l’axe AY, opposé aux valeurs positives; car quel que soit celui de ces points que l’on considère , si on le représente par M", on pourra toujours mener un nouvel axe A" Y", qui se trouvera placé par rapport à l’axe AY, comme celui-ci l’était précédemment lui-même par rapport à l’axe A'Y'.

En transportant l’axe AX parallèlement à lui-même, et fixant la nouvelle origine en A" (fig. 7) ; faisant AA"=B, et nommant y' les nouvelles ordonnées comptées à partir de l’axe A"X", on aura

pour les points situés dans l’angle YA"X", et y = B—/

pour ceux qui sont situés dans l’angle AA"X" j en sorte que, pour comprendre les uns et les autres dans une même formule analytique, il faut regarder les valeurs négatives de y' comme correspondantes à des points situés du côté de l’axe A^X* opposé aux y' positives; et, comme cela s’applique également aux axes AX, AY, on en doit conclure que les changemens de signe de la variable y répondent au changement de position des points de part ou d’autre de l’axe des abscisses.

36. En réunissant ces résultats, on voit que les valeurs négatives des coordonnées doivent être prises en sens

CONSIDERfcS SUR UN PLAN. 8t

contraire de leurs valeurs positives; sans quoi, i es

hsZluT T ^ r rraîent P" a tous

les points du plan, et ne comprendraient que ceux nui

seraient situes dans un même angle des axes. Réciproquement, la convention précédente étant établie tous e, points du plan, quelle que soit leur situation*sont compris dans les mêmes formules. ’

On aura d’après ce qui précède (fig. 4),

f ns JAX, X positif et J. positif;

<U"S .ng eYAx, x négatif y p oshif

dans jongle XAy, ^ positif yZgzùt-,

dans 1 angle XA.y, x négatif y négatif;

par conséquent, les équations

qui déterminent la position d’un point dans l’angle * AA, deviendront successivement

* = — », jy =-f-

selon que ce point passera dans un des angles YAx AAp, xAj'. tn supposant a et A quelconques, les deux premières pourront représenter toutes les autres.

07. La liaison que nous venons de découvrir entre les signes des variables * et y, et leurs positions par rapport a leur origine commune, n’a pas lieu seule, «lent lorsque leurs valeurs sont comptées sur des lignes droites; cette liaison subsiste toutes les fois que l’on représente les valeurs d’une quantité variable par des *ong ueu rs comptées sur une ligne continue de forme quelconque, et à partir d’un même point.

Soit, par exemple (fig. 8 ), AB ai une circonférence

g a des points et de la ligne

le cercle dont A a est un diamètre et dont le centre est au point C : si l’on veut représenter les valeurs positive, d’une variable x par Ica arcs AM» A M , comptés à partir du point A, et dans le sens AB, .1 faudra représenter les valeurs négatives de la men é variable par des ares Am, Am', comptes a parti, du meme point A, et dans le sens oppose au premier, sans quoi ces arcs ne pourront pas être compris avec les précédons dans une même formule ana-

b En“effet, si l’on conçoit l’origine transportée en A', et qu’on représente par x' les valeurs des arcs comptées de ce point, on aura, en faisant AA — a, x==n + a; #

pour les points situés au-delà du point A',

et x = a —x'

oour les points situés entre le point A' et le point A. Ainsi pour que la même formule x = u + x' con-

r* iVcôrm’e ré^danfau lan-

m 'ÎZ cette convention, si l’on fait x' = o on aura * “eTur la valeur de l’arc AA, comptée a partir du point A, tandis qu’en faisant x = o, on au.a ÿj!: o pour la valeur de ce même arc rapportée au

' °Et comme ces raisonnemens sont applicables a 1 origine bien qu’à l’origine A' , on doit en conclu-

Le les arcs négatifs doivent être pris en sens contraire des arcs positifs, pour que les uns et les autres puissen être compris dans les valeurs successives dune même variable x.