PES POINTS ET PE LA LIGNE

rt l’on dit que la ligne est continue ou discontinue; suivant que la même équation convient ou ne convient pas à tous les points dont elle est composée*

4a. Considérons > par exemple, une ligne droite AM ( fig. i5), menée par l’origine des coordonnées , et faisant un angle et avec l’axe des x , l’angle Y AX des deux axes étant égal à /S : si d’un point quelconque M, pris sur cette droite, on mène l’ordonnée PM. parallèle à l’axe des y , on aura toujours

PM sin* sin*

AP sin (j3 — *) ° U y °° sin (/3 — *) ’

et cette équation, ayant lieu pour tous les points de la droite AM , est l’équation de cette droite.

Quoique nous l’ayons obtenue en considérant les. points situés dans l’angle YAX, elle n’en est pas moins applicable aux points situés dans les autres angles des axes , pourvu qu’on y change convenablement le signe des variables x et y. Si l’on y fait, par exemple, x négatif, pour avoir les points situés du côté des abscisses négatives, elle donnera

x sin *

y ~~ im(i2— et) ’

c’est-à-dire que, pour ces points,^ devient aussi négative, de sorte qu’ils sont situés au-dessous de l’axe des x , tandis que ceux qui sont situés dans l’angle XA1( sont au-dessus du même axe : nous supposons ici que sin ai est une quantité positive, et que et est moindre que /3.

Cette valeur de et est la même pour tous les points de la même droite AM , mais elle varie d’une droite à une autre : examinons les circonstances qui résultent de cette variation.

A mesure que « diminue, la droite s’incline vers l’axe des abscisses, avec lequel elle se confond lors-

CONSIDÉRÉS SUR UN PLAN. 8 q

quear=ro : aussi cette supposition donne-t-elle y = o pour son équation. En partant de cette position, à mesure que a augmente, la droite se rapproche de l’axe 4 * es y » et elle coïncide avec cet axe quand /2 = *; aussi, dans ce cas, sin (/?— a) devenant nul, l’équation, dégagée de ce dénominateur, se réduit à x =o. L’angle « continuant à augmenter, (| 8 —a) devient une quantité négative; alors sin —a) est négatif et égal à sin (« — £) , et l'équation de la droite devient

x sin cl

^ sin (a—/S)’

elle se trouve alors placée dans la situation AM', et cest ce que l’équation précédente confirme, car tant que x est positif, elle donne y négatif, et l’on 11 e peut avoir^ positif qu’en prenant x négatif : ce qui indique que la droite reste au-dessous de l’axe des x du côté des abscisses positives, et ne passe au-dessus de cet axe que du côté des abscisses négatives.

Lorsque cl devient égal à 180°, la droite se confond de nouveau avec l’axe des x ; c’est ce que la formule indique, car on a alors sin a = o , ce qui donne y = o pour l’équation de la droite. J

Enfin, et devenant plus grand que 180 °, sin a est négatif, aussi bien que sin (—et), et l’équation de la droite redevient, comme précédemment,

sin a

y ~~ X sin (/S — a)’

t,e coefficient reprend alors des valeurs posi¬

tives : en effet, la droite se trouve alors placée dans la situation M" AM ; et, comme elle est indéfinie, elle se trouve rentrer aussi dans le premier quadrans XAY.

Partir de ce terme, elle reprend successivement dans les autres quadrans les positions qu’elle occupait.