CONSIDÉRÉS DANS L’ESPACE

et (2) sont complètement connues, et les valeurs de tous leurs coefficiens sont données. On cherchera leur plus grand commun diviseur, et en l’égalant à zéro, °n aura une équation en z qui, par la résolution, fera connaître toutes les valeurs de z qui pourront être communes aux deux courbes.

Ces valeurs étant connues, on substituera successivement chacune d’elles dans les équations des deux courbes données, et on les résoudra par rapport aux variables x et y. Toutes les valeurs réelles de ces variables, qui seront les mêmes pour les deux courbes, mdiqueront autant de points d’intersection réels; et répétant la même opération pour toutes les valeurs de z déduites des équations (1) et (2) par le moyen du plus grand commun diviseur , on aura tous es points d’intersection des deux courbes sans aucune exception.

Si, au contraire, les constantes qui entrent dans es équations des deux courbes n’étaient pas données, J faudrait profiter de cette indétermination pour établir entre les équations (t) et (2) un commun diviseur de tel ordre que l’on voudrait assigner. Si l’on ne peut disposer que d’une seule constante, on ne

pourra établir ainsi qu’un diviseur commun du premier degré ; mais si l’on peut disposer de deux ou de r °is, ou d’un plus grand nombre de ces constantes, °n pourra établir un diviseur commun d’un ordre progressivement plus élevé. Mais ces conditions, quoique mdispensables à établir, ne suffiront pas encore pour assurer que le nombre d’intersections demandé existera tellement. Il faudra essayer sur les équations ainsi mo- 1 ées les valeurs de z données par le diviseur commun *l Ue 1 on aura établi, en déduire les valeurs de x et de X' et ™ir si elles sont les mêmes et réelles pour les e Ux courbes.

124 DU FLAN

Pour représenter ces conditions par la Géométrie , il faut considérer que les valeurs de z qui satisfont à l’équation (1), donnent les points qui peuvent être communs aux projections des deux courbes sur le plan des xz , ou plutôt elles font connaître les ordonnées z qui leur appartiennent. L’équation (a) exprime une condition analogue pour les projections relatives au plan des yz. Mais cela ne suffit pas encore pour que les deux courbes se rencontrent dans l’espace. Il faut que les points où les projections se rencontrent cor' \ respondent à un meme point de l’espace, c’est-à-dire qu’ils se trouvent deux à deux sur uu même plan projetant.

Du Plan.

70. On a vu plus haut qu’une ligne courbe est caractérisée lorsque l’on a une équation qui exprime la relation qui doit exister entre les abscisses et les ordonnées de chacun de ses points : il en est de même des surfaces -, leur nature est déterminée quand on a une équation entre les coordonnées x , y, a , des points qui leur appartiennent ; car, en se donnant a volonté les valeurs de deux de ces variables , Pcquation fera connaître la valeur de la troisième, et le point dont elles seront les coordonnées sera sur la surface, et non ailleurs.

Si, par exemple, on se donne des valeurs de x et de y, que nous représenterons par a , y —b,

en prenant sur les axes des z et des y (jig- ,

A.P = «, A.Q ~ b> et menant les parallèles PM', QM', à ces axes, ou déterminera le point M\ qui sera la part»' joction du poi^J. cherché sur le plan de* Jf* LéqiW^ tion supposée, entre a*, y, 2, douwera qnsqitq-U valeur correspondante de z, c’est-à-dire la longuçar de I/o*'

Dü PLAN. l25

ZT .T "; Ce , qui aehi,Te, '“ de ' l,Hern ""'=r la position du pcnt M de la surface. H s „ it de la qu .„ ne [ ™

ntre tecs var,aides x, y, z, représente une surface, incme qu une équation entre deux variables représente une ligne; et l’on dit que la surface est continue eu discontinue, suivant que toutes ses parties sont ou ne sont P as assujetties à une même équation.

7 1 * posé, cherchons la relation qui doit exister entre les coordonnées x, y, z, pour que cette surface s oit un plan.

U manière la plus simple de concevoir la généra- Lon dune surface plane, c’est de la regarder comme heu de toutes les perpendiculaires menées à une oîeme droite par un de ses points. Soient x', y* 2 ' j es coordonnées de ce point, on aura ’ ’

V—/ ~b(z — z') ) P ° ur les cqoat'ons de la droite.

Celles d’une autre droite quelconque qui passera par le ^eine point seront

tSTiïS** * ,a