f-aa -f- bb f =o
o et 6 sont constantes pour une même perpendiculaire j &IS var,a ^ es d une perpendiculaire à une autre. Si t onc on met dans la dernière équation, pour ces quan- , es leurs valeurs en x, y, tirées des deux préoéd; n f 8 .’ 6 tat n’indiquera plus laquelle des perpen- Qü ?' a,réS ° naCOnsidéï ’ ée ’ ^appartiendra par consé- H ont a aucune d’elles en particulier; mais il exprimera tim. re atl ° n qU1 leur convi ent à toutes : cette rela- «erà dhnb'tellt? qt.i doit «tistér dfitre les coordou-
i 2 6 du plan.
nées du plan qui les contient. L’élimination donne a — z +a (jc — x') y)=°;
et comme les quantités a, b, qui déterminent la position de la première droite, sont absolument arbitraires ainsi quex' } y', z', cette équation peut servir à représenter un plan quelconque.
En y faisant x — o , y = o, elle donne z — z' + ax' + by'.
C’est la valeur de l’ordonnée AC du plan à l’origine (fig. s 4 ). En la représentant par c, l’équation du plan devient
z-\-ax-\-by — c = o,
et Ton voit qu’elle est linéaire par rapport aux variables x ,y , z. Elle renferme trois coefficiens constans et arbitraires, a, b, c, parce qu’il faut en général trois conditions pour déterminer la position d’un plan dans l’espace. Si c = o,AC devient nul, et le plan passe par l’origine des coordonnées.
En faisant y= o, on aura l’intersection CD du plan avec celui des xz (fig. 24 ); car c’est la propriété commune à tous les points qui y sont situés. 11 viendra ainsi y=o, z-f - ax —c = o
pour les équations de cette intersection : la première exprime que sa projection sur le plan des xy est l’axe des a: lui-mèrae ; et cela doit être ainsi, puisque cette intersection est tout entière dans le plan des xz. La tangente trigonométrique de l’angle que cette droite forme avec l’axe des x , est représentée par — a (n° 46 ).
En faisant de même x — o , on obtiendra l’intersection CD 7 du plan avec celui des yz, et ses équations seront
x = o, z + by — oz=zo.
La tangente trigonométrique de l’angle que cette ligne forme avec l’axe des x , est représentée par — b.
DU PLAN. f a
tnfin, en fa, sant 2=0; on obtiend p ; 7 AJU «u plan avec celui des rv '“lersection
tions ^ ’ e * e ^ e aura pour équa-
3 = 0 , ax + by — c=o.
intersections sc nomment aussi les trar », j ,
« Si “IT"* " i' 1 - - -
forme ' 5 C ° mpar ‘' nt aTeC d “ «races mises sous la
-n=— iz + £,
Pendi’clli'ïref’d’oùa 165 T‘ m * ,ectiïe,ae ‘“ perc est ce qu’il est facile de démontrer par la Génmél ‘
«010 des ni aUSS ‘ P'^^^iresTL intersec- **? P anS pr ° )etans ave o plans coordonnés j a ;d're aux projections de la droite.
re Iatl aiSant 2 ~ 0 ^ ans * es Quations des traces CD CD'a t.ves aux plans des *z et des^yz, elles donnent ’
* = o, yz *-=o,
x — ~ pour la première;
y — l pour la seconde. ^
lû8 DU PLAK.
Ce sont les coordonnées des points D, D , ou ces traces coupent les axes des x et des y, et ces coordonnées satisfont aux équations de la troisième trace DD , qui sont
z = o, ax+ by—c — o, parce que cette trace passe par les points d’intersection des axes AX, AY, avec les deux autres traces.
On peut aussi parvenir à l’équation du plan, en le concevant engendré par le mouvement d’une des traces, qui glisse sur l’autre en restant parallèle à elle-même ; pour cela, soient
__ o , i -j- cix — c = o les équations de la trace CD sur le plan des xz ,
x=o, z-\-by —r = o celles de la trace CD' sur le plan des j'z.
Cest la forme la plus générale qu’elles puissent avoir , puisqu’elles doivent se couper sur l’axe des a. Si la seconde se meut parallèlement à elle-même, elle aura , dans une quelconque de ses positions EF, des équations de cette forme,
a , z-\- by—fi = o,
A e t jg étant constantes pour la même position, et variables d’une position à l’autre. La première de Ces deux équations indique que la droite resté toujours parallèle au plan dés yz\ la seconde, que sa projection sur ce plan est parallèle à la trace donnée.
En faisant ytüi o, on aura le point E, o ù la trace * dans son mouvement, rencontre le plan des X et ai ses coordonnées seront
Pour que ce point d’intersection se trouve sur 1 *
