DV PLAN 12Û

tetf:™’ Ü faut qu ’' 1 y ait ™t™ ce* coordonnées la

5 + ax—-c = o,

œ “ e tr " œi " ** ***

trife"'!’ d -" S t0UleS Ies f° sit ' ons * la droite généradee ’ ;L eX ; S e eDlre ' eS Années d’un quefeo.nl es points les équations suivantes : **

or = a , s + é y (S 0j g + a . c = o

réf,,!’"" f"' inC dl “ « et B, on obtiendra „„ tonte ,nd «I ,endaI ‘ t .' le ees quantités, qui, convenant JO, ours aux pomts s,tués sur la droite génératrice, et ' , P lus Pacticuhor pour une de ses positions donné ^ a “ P a " qU ’ eUe décrit ’ Cet,e élimination z + ax-\-by — c~o

Pour l’equation du plan; ce qui s’accorde avec ce auc nous avons trouvé plus haut. qUC

? ue

««x variables x v ? 1 P remier degre, par rapport présenteraient V^’ ’ °j S merae q ue ces variables reque soit rincl' ^ C ° 0rdonnées obliques; car, quelle deux droite “‘T. “ C °° r ' i0 " néeS ' équations des dee r x I ‘ génératrices seront toujours du premier

le,?.." i et * e ra 's°nneinent par lequel

"eté P m n d Se dédUit , <,CS trais

ussi Je meme dans tous les cas.

pie, ' <Ieux exera plcs précédens, quoique fort sim Suffisent pmjr fai^ concevoir clmment l S

s *t qu’ell” peuTêtre eqUatl0 d ^ SUrf&Ce ’ lors q«’on 7* Édit en gon ree par une ligne courbe

l 3 o OU PLAN.

qui glisse sur une autre ligne suivant des conditions données.

En effet, pour qu’une des deux courbes puisse être considérée comme mobile, il faut que sa position ne soit pas complètement déterminée. Il est donc nécessaire qu’il entre dans son équation quelque constante arbitraire qui puisse prendre différentes valeurs relatives à ses différentes positions. Telles étaient, dans le problème précédent, les quantités * et qui dépendaient de la position de la droite génératrice.

Or, dans chaque position des deux courbes, il existe une équation de condition qui doit être satislaite pour qu’elles puissent se rencontrer (n° 69) ) et cette équation indique les rapports qui doivent exister, pour cet effet, entre les quantités constantes qui déterminent leurs positions respectives. Si on laisse subsister cette équation de condition, et qu’on en cliasse deux de ces quantités constantes par la substitution de leurs valeurs en fonction des variables x, y ,z, tirées des équations des deux courbes, le résultat, dégagé de ces constantes, deviendra indépendant de la position particulière que Von avait considérée d’abord : il appartiendra donc a tous les points de l’espace, dont les coordonnées x,y f z , sont telles, qu’ils se trouvent sur l’une ou l’antre de» deux courbes, lorsque ces courbes sont placées de manière a pouvoir se rencontrer.

Si les deux équations de la courbe mobile ne renferment que deux constantes arbitraires, telles que l’étaient * et £ dans le problème précédent, l’cquation de condition , débarrassée de ces constantes par l’élimination , ne contiendra plus que les variables r,y t z t et des quantités connues : elle représentera par conséquent une surface engendrée par la courbe mobile.

Mais si les deux équations de cette courbe contiennent plus de deux constantes arbitraires, on ne pourra pas

, DÜ PLAN. ,

ZndMo?’ *" * l T !r ' OU,es * la ae l’équation * r '“ : P or conséquent, J e résultat en x/y * J on .

ner'dêV I ' ^ SUrfeC< " i dî * frenles que fou pourra donétie éUflr ' ,UI COnS,an,CS ar, ’ i,rair0S P-

«saisir:t^ 5 î-x~

' r °" ïer *" k - C °“ r ' ,e À*™*»

pcÏÏLT 8 " 7 , arriv,: ’ par CTe ”P ,e - <>ans le problème ection de la droite génératrice, eussent nu être ouel SJ?' “A?/'* constamment les

a génératrice, au lieu île rester parallèle à ellcéme, aurait pu prendre toutes les directions possibles

réimité ‘ 1 " e P ° ,nt 6 < ' r0!le &C ! Ct <lc serait

aurait A 0 ” !’“* U " e , SUrfare P'“«> "mis un solide qui éS ,“ 7 1 ;.' S . t ‘, m3 Ies P° int » J c l’espace, et se serait p^ u «* 1 in/mi dans tous les sens.

ces r "T' kiSSer âUCUne incertit «de dans l’emploi de nsiderations générales, nous allons ei^faire l’an

« A7,r, ÜCUl, ’ re 4 IO reCl ' erche das -faces et getutrees par le mouvement d’une ligne droite.

Soient doue généralement

x=*az + # f

il! <rUne ,i «" c ‘ ,roit * quelconque : tant que

r;" téS V *• “’ <*- » «n. pis données!!

ter m ; • <Ca r ? lte dans 1 espace est absolument indé-

c:r n ; , : t s r 1 - ,c "T‘ i *» *»- «■» ^ Jl

cus ,e rapport 118 “ lua ‘"“ qu» ■«

condit?" ^ ,lissa ;‘ e ”!r cc , s quantité une équation de ^inaf la ^ UeUe ^es dussent satisfaire, Vindéter- " serait moindre. Car, parmi toutes le,

DU PLAN

possibles, il y en aurait déjà qui ne pourraient pas satisfaire à cette condition. Si l’on se donnait ainsi deux équations de condition, l’indétermination deviendrait moindre encore. Cependant deux des quatre quantités a, b, a, fi, resteraient encore arbitraires, et le lieu de toutes les droites qui rempliraient les conditions assignées formerait un solide. Ajoutons encore une condition de plus, il ne resterait plus qu’une des quatre quantités d’arbitraire -, le lieu des droites qui satisferaient à ces trois relations formerait une surface ; enfin, avec quatre équations de condition, les quatre arbitraires se trouveraient complètement déterminées, et il n’y aurait plus qu’un certain nombre fini et limité de droites qui satisferait au problème avec toutes ces restrictions.

74. Afin de rendre les calculs symétriques, nous mettrons l’équation du plan sous cette forme :

Ax By -4- C z -j- D — o,

qui n’est pas plus générale que la précédente, avec laquelle elle coïncide lorsqu’elle est divisée par C: c’est l’équation complète du premier degré entre trois variables.

75. On peut reconnaître à posteriori, et d’après la nature de cette équation, qu’elle appartient à une surface plane j car une ligne droite menée par deux points quelconques pris sur cette surface, coïncide avec elle dans toute son étendue. En effet, les équations de cette droite seront de la forme

x = az -+■ «, y = bz 4- fi.

Soient x', y', z, les coordonnées d’un des points qui y sont situés*, ces coordonnées auront entré elles les relations exprimées par les équations précédentes, c’est-à-dire x'= az -f- », y' == bz' -f- fi*