OU PI. AN

Soient

Ax -f- Jiy -f- Cz -f- D A'x+B'j + C'x+D'

° j les équations de ces plai

elles devront avoir lieu en même temps pour les points qui sont communs aux deux plans. On pourra donc déterminer ces points en combinant les deux équations précédentes.

Si l’on élimine entre elles une des variables, z par exemple, on trouve pour résultat

(AC 7 — A'C) x + (BC'— B'C) ^ + (DC'— D'C) = o.

Cette équation étant du premier degré, appartient à une ligne droite; or, la relation qu’elle exprime a lieu seulement entre les coordonnées x et y des points situés sur l’intersection commitne des deux plans; la droite qu’elle représente est donc la projection de cette intersection sur le plan des xy.

On prouvera de la même manière que, si l’on élimine y ou x entre les équations des deux plans, le résultat appartiendra à la projection de l’intersection sur le plan des xz ou des yz.

' 79. Généralement, pour trouver les points d’intersection de deux surfaces quelconques, il faudra établir que leurs équations, qui sont en x, y, z, ont lieu en même temps ; et en éliminant entre elles xou youz, les équations que l’on obtiendra, et qui seront entre deux variables, seront celles de la projection de l’intersection des deux surfaces sur les plans des yz , des xz ou des xy.

Si l’on avait ainsi trois équations entre les trois variables x, y, z, et que ces équations dussent subsister en même temps, c’est-à-dire être satisfaites par des valeurs simultanées de ces variables, il faudrait encore employer l’élimination pour les obtenir. Ces valeurs

DU PLAN

Seraient donc par là complètement déterminées 5 et comme elles appartiendraient à la fois aux trois équa - *ons ou aux trois surfaces, elles représenteraient éviemment les coordonnées du point, ou des points,dans tcsquels ces surfaces se coupent.

Tout ceci n’est que la généralisation de ce que nous avons remarqué plus haut relativement à la combinaison des formules analytiques qui doivent avoir lieu simultanément. Le résultat de l’élimination donne tout ce qui peut être commun aux formules que l’on a

combinées.

80. Trouver les conditions nécessaires pour que deux plans soient parallèles entre eux.

Soient

A a 4- By + Cz + D =o, A'x 4- 1 Yy + C'a -f. D'= o,

|es équations de ces plans; s’ils sont parallèles, leurs intersections avec les plans coordonnés seront respec- •venient parallèles : or, en y faisant successivement x — °>y = o, z = o, pour avoir les équations de ces traces, on trouve, pour les conditions demandées (n° 4 9 ),

et I ou voit que deux quelconques d'entre elles com- Portent la troisième.

Ces conditions auraient pu se déduire directement c d une manière plus élégante, de la condition trouvée Pus haut (n° 78), entre les équations de deux plans <lui se coupent. Nous avons vu alors qu’en éliminant z e utre elles, on trouve

(AC— A'C)x -f (BC— B'C)y -f (DC— 1 )'C) — a . ^Ueéquation, qui représente une ligne droite, apparat a 1 intersection des deux plans; elle représente sa

DU PI AN-

projection sur le pian des xy. Si les deux plans sont parallèles, il faut que cette intersection n’existe pas ; il faut donc que l’équation précédente ne puisse être satisfaite par aucune valeur de .r et de^. Le seul moyen pour qu’il en soit ainsi, c’est de faire disparaître t et y de cette équation; car tant que les variables x, y, resteront, comme elles sont, tout-à-fait arbitraires, et qu’elles n’y entrent qu’au premier degré, on pourrait toujours leur donner des valeurs telles que l’équation fût satisfaite. Il faut donc rendre leurs coefficiens nuis, ce qui donne AC'— A'C = o, BC'— B'C = o j conditions qui s’accordent en effet avec celles que nous avions déduites de la Géométrie. On peut voir par cet exemple et par celui du n° 62, combien les conditions d’indépendance sont utiles lorsqu’on peut les introduire dans les questions géométriques.

81. Trouver les conditions nécessaires pour qu’une droite soit parallèle à un pian.

Soient r = oz + 4 1 . . , , .

, , > les équations de la droite,

y=sbz -fÆ J

Ax -f- By -f- Cz + D = o l’équation du plan.

Par l’origine des coordonnées, menons une droite et un plan respectivement parallèles à ceux-ci ; leurs équations seront

x — az, A.r + Uy-l~ Cz'x=W,

y — bz.

Pour que les conditions demandées soient remplies, il faut que cette droite, qui a un point de commun avec le plan, coïncide avec lui dans toute son étendue : il faut donc que l’équation du plan soit satisfaite, quelle que soit z , par les valeurs de a: et de y tirées des équations de la droite; ce qui exige qu’on ait

Aa -f- Bb -f- C = o.

W VLAS- ,3g

C’ e st la condition nécessaire pour qu’une droite soit parallèle a un plan.

°n peut encore arriver à ce résultat par la condition u indépendance. Supposons que la droite et le plan se rencontrent, le, r,y z, pourront être regardés comme wminuns entre eux dans le point d’intersection. Preaut donc x et y dans l’équation de la droite pour les lettre dans celle du plan, et réunissant les termes en a U viendra

{Aa + lib + C} a -f- Act 4- B/S D = o; c çst la cqnçlition nécessaire pour qu'une droite et un pan se coupent. Si l’on veut la rendre impossible, il aut en taire disparaître la variable arbitraire £ , en rendant son coefficient nul; ce qui donne, comme ci-dessus,

A.a -f- Bb -f- C = o.

82. Trouver les conditions nécessaires pour qu’une troite soit perpendiculaire à un plan, et donner l’ex-

du p,an à un polul

Soient x = az + « 1

y=bz-\ fi J les e( l uat,0,1 s de la droite; Ax -j- By 4- Ci -f D = o celle du plan.

Pour que les conditions demandées soient remplies, il wut (page 137) que les projections de la droite soient Perpendiculaires aux traces du plan : or, en faisant successivement y=o, x = o, dans l’équation qui l c représente, on trouve

A r -j- Cz -f- D o,

équation de la trace sur le plan des xz, et By 4 -Cz + D = o,

équation de la trace sur le plan des yz .

DW PLAN.

Pour que ces droites soient perpendiculaires aux précédentes, il faut qu’on ait (n° 56 )

A = ûC, B = 6C.

ce sont les conditions demandées.

Si la perpendiculaire passe par un point dont les coordonnées soient x', y, z, ses équations deviendront

Pour trouver le point ou elle rencontre le plan , il faudra combiner ces équations avec celle du plan, que \ pour plus de commodité, nous mettrons sons la forme suivante :

en faisant

D' = D -f Ax' -f- By' 4- Cz.' ;

alors l’élimination donne

Aa-f-BÔ-hC’ ; ‘

, ciD'

x Aa-t-B^-fC’

bD'

y y ~~' Aa + Bb + C’

ou, en substituant pour a et b , leurs valeurs —, —, qu* résultent de ce que la droite est perpendiculaire,