TRANSFORMATION DES COORDONNÉES

t.om en ^ onyz . mais alors f en éliminant succes '

vement une des var.ables entre les équations données, n retomberait dans le cas précédent.

La supposition que nous examinons ici est celle où la ourbe proposée ne serait pas donnée par les intersec-

sur Z™* T SUrfaC ? CjlimlriqUCS ^ ui la Projettent les deux plans coordonnés, mais par deux surfaces

«une autre nature, dont elle devrait aussi être l’intersection. Les équations de ces deux surfaces devant avoir jeu simultanément, et pour les memes valeurs de x y y Z , il suffirait de les combiner, et d’en éliminer successivement x, ou y, ou z, pour avoir les projections de ‘a courbe sur les plans coordonnés.

87. On a vu par ce qui précède, que la forme et la position d’une ligne courbe sont toujours exprimées par tes relations analytiques qui existent entre les coordonnes de ses différens points. C’est pourquoi on a classé les courbes en différens ordres , d’après la forme de leurs «quations.

On les divise d’abord en algébriques et en transcenantes, suivant que leur équation , rapportée à des coordonnées rectilignes , est elle-même algébrique ou transcendante.

On classe ensuite les courbes algébriques d’après le egre de leur équation par rapport aux variables qui représentent les coordonnées. L’ordre de la courbe est Marqué par l’exposant de ce degré.

Par exemple, la ligne droite dont nous nous sommes °ccupés, est du premier ordre, parce que son équation est du premier degré relativement aux variables x ety.

Classer ainsi une ligne courbe et déterminer sa posiion, sa nature et sa forme, d’après son équation, c’est ce qu’on appelle la discuter.

bS. Cette recherche peut être presque toujours ren- «ue plus facile par des transformations analytiques qui 7 - Edit. , 0 H

l/t g transformation

simplifient les équations, en faisant évanouie quel ques-uns de leurs termes 1 , préparation qui les met en .',f a t d’être discutées plus aisément.

Représentées par la Géométrie, ees transformations reviennent à placer la courbe, par rapport aux aie» des coordonnée», de la manière la plus favorable pour deviner le» sinuosité» do son cours. Par exemple, ». une circonférence de cercle est placée d une mamere quelconque par rapport à ce» aie», l’equafon qu. l.era les absdsses et les ordonnées de ses différé.» jaunis , ne peut pas être aussi simple qu’elle le serait s. le centre de cette circonférence était placé à l’origme meme des coordonnées; car, dans ce cas, la courbe serait symétrique par rapporta chacun des aies, et d suffirait de suivre son cours dans nn des quadrans, pour le con naître dans les trois autres. Or, on conçoit que cette simplification mettrait plus facilement a découvert la forme de la courbe, sa marche, ses propriétés.

Les méthodes dont il faut faire usage pour arriver a ces simplifications, doivent donc se réduire à changer la position de l’origine et la direction des axes des coordonnées, pour les placer de maniée qu’en y rapportant l’équation proposée, elle se redu.se a la forme la «lus simple que comporte l’espece de la courbe quelle v résente II suffit de reconnaître ensuite la position des nouveaux axes par rapport aux ariciens pour connaître quelle était originairement la position de la courbe par rapport àex

On peut encore , et de la même mamere, rapporter les courbes à des coordonnées qui ne soient pas rectangulaires : c’est ainsi, quoique pour un but différent, que nous avons formé l’équation de la. droite, dans lé n° 4 a.

89* Quand on veut passer ainsi d’un système de coordonnées à un autre, on cherche, pour un point quel-