DES COORDONNÉES

o°nque, les valeurs des anciennes coordonnées en fonc- ’on des nouvelles : en substituant ces valeurs dans Quation proposée, elle appartient toujours aux mêmes points de l’espace j mais ces points s’y trouvent rapportés 0 UX nouveaux axes. Par conséquent, les propriétés de la °urbe restent toujours les mêmes, et il n’y a de changement que dans la manière dont elles sont exprimées.

90. Ces relations des nouvelles coordonnées avec les ail ciennes sont bien faciles à établir, lorsqu’on ne veut que transporter l’origine des coordonnées, sans changer a ( irection des axes; et nous en avons déjà vu des exemples dans ce qui précède. En effet, soient A' (fig. a 5 ) la noue e origine ; et A'X', A'Y', les nouveaux axes auxquels U veut rapporter les points du plan qui étaient préedemment rapportés aux axes parallèles AX, AY, et a "origine A. Si l’on prend un point quelconque M situé a us l’angle X , A / Y / , on aura

AP — ab + BP, PM=PF-j-FM = A'B-f-P'M.

AB et A'B doivent être donnés; ce sont les coordonnées e ta nouvelle origine, et elles expriment sa position

P*r rapport aux anciens axes. Si donc on fait. ...

AB = c, A'B = £, qu’on représente par a:, y, les anciennes cordonnées, et par *,/, les nouvelles, prises dans le meme sens, on aura

Pour que ces équations subsistent encore par rapport aux points situés dans l’apgle Y'AV, il faut que ° û y suppose x' négatif; car, pour un quelconque de ^ points, tels que m, on a

Ap — AB — A'P', ou x = ù — A 'p'- r

^ ^ aut alors retrancher la nouvelle abscisse de a , au leu de l’ajouter à cette quantité. Il en sera de même

f £g transformation

des v' lorsqu’ils appartiendront à îles points situes du cètédê l’axe des X' opposé aux / positifs : cest ce que nous avons suffisamment développé dans 1 art. 35 .

Nous venons de supposer que la nouvelle origine était située dans l’angle Y AX, et qu’ains. scs coordonner, net b, relatives aux anciens axes, étaien pos,t,ves. S nons voulons placer cette origine en A danslange Av et prendre teneurs les nouvelles coordonnée x' y' dans le même sens, il suffira de changer le signes de n et de b dans les formules précédentes, et Von aura x = x , fl> y = y- b,

ainsi qu’on peut le trouver directement, en partant de leur position actuelle- . .

te considérations sont conformes aux pnncipes que nous avons établis précédemment dans les n 35 , 3 et 37 Elles se réduisent à cette règle generale, que lors qu’on passe d’un système de coordonnées à un autre parallèle, au moyen des équations x = cl x ,

il faut regarder la variation de signe de chaque espèce de coordonnées comme répondant aux cliangemens position autour de l’origine qui lui est relatl ^ ’ ®

F .«lîtés a et b, qui sont les coordonnées d une des origines par rapport à l’autre, peuvent être rapportées à celui des deux systèmes qu on voudra.

C’est en considérant la position de la nouvelle ori mnenar rapporta l’ancienne, que nous avons obtenu les équations précédentes. Réciproquement, ces equa

d’un quelconquedesdeux systèmes par rapport a 1 autre,

car, en y faisant, par exemple, x o, ce qui caractère de l’aie des y, on aurait

DES COORDONNÉES. l4g

ce ( 1 U1 , en supposant a et b positifs, signifie que Taxe ,,es ÿ> auquel cette équation appartient, est situé du ^ùté des x positifs, et à une distance a de leur origine. Dc même, en faisant ÿ—o, ce qui est le caractère ‘le l’axe des x\ on aurait, relativement à cet axe,

est-à-dire qu’il est situé du côté des y positifs, à une ^•stance b de leur origine. En faisant, au contraire , x==z o, ou j = o, on trouverait x'= — a, ou y'— — b, ( l u * seraient les équations des axes des y et des x par r apport à l’origine des y et des x'.

Ce que nous venons de dire a lieu, quel que soit augle formé par les axes des coordonnées ; et nous en c °nclurons que, pour passer d’un système quelconque coordonnées planes, à un autre, parallèle au préc édent, il suffit de faire

x — a 4- x' y yz=b-\~ y',

^ et a étant les coordonnées d’une des origines par rapport a l’autre. En substituant ces valeurs dans une équat'ori quelconque entre x et y, elle se trouvera rapportée a ux nouvelles coordonnées x', et y'.

91. Passons maintenant au cas où l’on fait varier la direction des axes et l’angle qu’ils forment entre eux; «nais, pour plus de simplicité, supposons d’abord que origine ne varie pas, et qu’elle soit commune aux deux systèmes de coordonnées.

Soient donc AY, AX, deux axes des y et des x tig. 26 ), que nous prendrons d’abord rectangulaires. Soient AY', AX', deux autres axes qui font entre Rux un angle quelconque ; on demande de passer du Premier système de coordonnées au second.

^ un point quelconque M, menons les droites MP, MP', respectivement parallèles aux axes desy' et desy'', on aura AP-x, PM —y, AP' = x r , FM=y»'.

1 5 o transformation

Il faut, de plus, que la position des nouveaux axes soit donnée par rapport aux anciens.

Soient donc l’angle X'AX = à , l’angle Y AX = a •

Il s’agit de déterminer a: et y en fonction de x , de y et des quantités connues a et a .

Cette détermination est extrêmement facile. En effet, par le point P', menez P'Q, FR, respectivement parallèles aux anciens axes des x et desjy, vous aurez

x — AP = ÀR + FQ, y = MP = MQ 4 - P'R-

Or, les lignes AR, P'R, MQ, P'Q, sont les Côtés des triangles rectangles AP'R, P'MQ, qui ont x ,y pour hypoténuses, et dans lesquels on connaît les angles FAR égal à a, MP'Q égal à a'. Avec ces données , ou peut calculer les valeurs de ces côtés en fonction des hypoténuses ; et, en les substituant dans les seconds membres des expressions précédentes, il vient

x = x' cos a 4-y cos a', y = x' sin a 4 y' sin a!.

Telles sont les relations qu’ont entre elles les coordonnées dans les deux systèmes que nous considérons.

92. Si l’on voulait passer des coordonnées x et y aux coordonnées x et y, il suffirait de déduire les valeurs de x' et y des équations précédentes. Or, en multipliant la première par sin et en retranchant la seconde multipliée par cos on aura x 'j opérant d’une manière analogue par rapport a a , on aura y : ces valeurs seront

, x sin *' — cos a __ y cos et — x si n a

Æ " sm (/- 4 V y sin (se' a)

On aurait pu parvenir directement à ces résultats par les considérations trigonométriques. En effet, du point V, fig. 27, menez PQ', PR', respectivement parallèles aux nouveaux axes des x' et des y', et prolongez MF jusqu à

D£S COORDONNÉES. l5l

*a rencontre avec la première de ces droites : vous aurer AP' = AR' —PQ 7 , y -ü MP' == MQ’ — PR'.

, les lignes AR, PR, MQ', PQ', sont les côtés des triangles ÀPR', PMQ', dans lesquels AP est a;, PM, y, et

qui ont en outre les angles PAR' ~ a , APR'=i8o° a ,

1 MQ = 90® — a , MPQ'^ 90° - 1 ~ « ‘y par conséquent, PR A — PQ'.VI a — a. On peut donc, au

Hïoyen de ces angles, calculer les côtés dont il s’agit en fonction de x et dey seuls; après quoi , en les substituant dans les expressions précédentes, on trouve pour a et y les memes valeurs que l’élimination nous avait données.

Les formules

x = x' cos se -f- y cos a, y = x f sin a +y sin e t celles-ci, qui s’en déduisent,

x = X S ‘ n a [— y cos ' y CQS a — x sin a

sin (a' — a) ’ ^ sin (<*' — et) ’

suffisent pour passer d’un système de coordonnées rectangulaires .r et y à un système de coordonnées obliques x' et y', et réciproquement, Forigine restant lu même pour les deux systèmes.

Si les nouveaux axes des x' et des y' devaient être aussi rectangulaires comme les précédens, on aurait

a A — 9 °° i conséquemment, a! = 90° -f- a ; e t par suite

sin (a — a) = 1 ; sin a,' =cos a; cos *' = — sin a.

En substituant ces videurs, les relations des coordonnées deviendraient

xz= x' cos a — y sin <t , y = x’ sin a -f- y' C os a. Le sont les formules nécessaires pour passer d’un sys- *ème de coordonnées rectangulaires à un autre aussi r eotangu 4 aire, l’origine restant la même; et il est facile

A 5 2 transformation

de le vérifier à posteriori, eu appliquant à ce cas particulier les considérations générales dont nous avons fait précédemment usage. En effet, la construction de la fig- 26 étant employée ici, devient telle que la représente la fig. 28 , et donne

x = AP = AR —P'Q, y — MP =MQ + et, en substituant aux lignes AR, P'R,MQ, P'Q, leurs valeurs en x y , déduites des deux triangles rectangles APR, MP'Q, desquels on connaît les angles, il vient x == x' cos et —y sin te, y — d sin et + y' cos fit, comme nous l’avions conclu de la formule générale en y faisant et! = 90° -f- et. Cette valeur de <*, surpassant 90®, fait tomber la nouvelle ordonnée MP a droite de 1 ancienne ordonnée MP, au lieu qu’elle tombait à gauche dans la fig. 26 , où l’on avait représenté l’angle Y'AX comme aigu ; d’où il suit que, dans la supposition de la fig. 28, P'Q doit être soustrait de AR pour former x , au lieu qu’il devait lui être ajouté dans la fig. 27. Toutefois on vient de voir que les expressions de x, y, déduites de cette première construction, peuvent être considérées comme générales, et employées ainsi dans tous les cas possibles, pourvu que l’on y donne aux angles et, et', les valeurs particulières qu’on veut leur attribuer-, parce qu’alors le seul jeu des signes positifs ou négatifs que les sinus et cosinus prennent selon les valeurs de ces angles, rétablit les résultats précisément tels qu’ils auraient été si l’on eût fait immédiatement la construction sur les valeurs assignées aux angles.

94. Si l’on forme les carrés des dernières expressions obtenues pour x , y, et qu’on les ajoute ensemble, on trouvera

En effet, les nouveaux axes étant rectangulaire» comme les anciens, ^ x' x y % exprime la distance

DES COORDONNÉES. l53

^ un point quelconque à l’origine des coordonnées; et, V x a -f y 2 exprimant aussi la même distance à la même origine, ces deux valeurs doivent être égales.

95 . On peut, au moyen de ce qui précède, passer un système de coordonnées obliques à un autre système de coordonnées obliques ( fig. 29). En effet, soient AX > AY > les axes des x' et des/ ; AX", AY", les nouveaux axes, dont les coordonnées seront x", y". Concevons, par la même origine, un troisième système * axes AX, A Y, rectangulaires entre eux, et dont les eoordonnées seront x - et y. Nommons <*,*',/ 2 , /S', les angles des xf, des/, des x" et des/, avec l’axe AX; nous aurons pour un même point, dont les coordonnées seront x et y par rapport au système rectangulaire ,

00 = x cos A + / cos et , y z=z x' siri et +/ sin et. x = x" cos fi -f- / cos fi', y = x" sin fi -f -y" sin

En éliminant x et^ entre ces équations, on aura celles 9 u i déterminent les relations des coordonnées x' et/ avec les x" et y", et qui sont

x cos et -f-/ cos a! == x" cos fi -f-/' co s fi', x sin a. +/ sin a! = x n sin fi -f-/ sin fi'.

Si l’on multiplie la première par sin et, et qu’on la 1 eti anche de la seconde multipliée par cos a, ou aura y ; e n opérant d’une manière analogue, avec les facteurs Sm a! et cos a', on aura x' : on trouvera ainsi

x' = ar " sîn 0*—£) +/ ' sin { et — $') sin {a! — et) ’

, = x" sin (fi — et) + / g ni (fi' — et) sin («' — A )

u r, on a

*' — fi=zY'AX", — Y'AY',

R — «~X'AX", fi'—ct = x' AY", *~et = Y'A\'.