DES COORDONNÉES

toujours être une fonction linéaire des nouvelles, et réciproquement.

Cette proposition se trouve d’abord vérifiée pour les .1 sternes de coordonnées planes, puisque les relations

que nous avons obtenues dans ce cas par les considérations

tvigonométriques, se sont en effet trouvées linéaires.

aïs, pour montrer que cela doit être encore ainsi dans R cas de trois dimensions, concevons généralement les va eurs de x, y, z, exprimées par des fonctions quelconques de x',ÿ, z ', que nous désignerons par <p, e n sorte qu’on ait

Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation du plan ^ni est toujours de la forme

Ax + By -f- Cz + D = o,

lorsque les coordonnées x,y,z, sont dirigées d’une niamère quelconque, elle deviendra

nous avons vu , n° 72, que l’équation du plan reste toujours du premier degré, quelle que soit la direction des axes rectilignes auxquels on la rapporte. Il faudra donc que l’équation précédente se réduise d’elle-même a une expression de cette forme

A x -f- B 'y + G z' -f- D' = o, dans laquelle A', B', C', D', seront des coefficiens qui ne c ontiendront ni x' , ni y , ni z' } mais seulement les constantes primitives A, B, C, D, ainsi que les angles e t les distances qui déterminent les positions relatives des deux systèmes. En outre , il faudra que cettè réduction s’opère toujours, quelles que soient les valeurs des coefficiens primitifs A, B , C, et sans qu’il en résulté entre eux aucune condition quelconque. D’après

, 58 tbansformàtion

eela, il est évident que la réduction devra nécessairement exister dans les fonctions <?,*-, 4 elles-mêmes; car s’il en était autrement, les termes de ç , qui sont multipliés par A, ne pourraient pas faire disparaître en général les termes de w ou de ç >, qui sont multipliés par B ou C. Toute destruction mutuelle entre ces termes étant impossible, les puissances de x ,y', supérieures

à la première, resteraient nécessairement dans l’équation transformée, si elles existaient dans les fonctions <p, *-,4, ces fonctions se trouvent donc limitées par la condition que les nouvelles coordonnées x', y', z', n’y existent qu’à la première puissance; et par conséquent , la forme la plus générale qu’on puisse leur supposer, sera

x = a -f- mx ' + rn'y -f m“z , y ■=. b - f- nx 4“ n ÿ 4 " n " z ' »

z — c 4 - P x> 4 " P y -^~ P Z > les coefficiens des variables x', y, z , étant des constantes inconnues qu’il s’agit de déterminer. Or, puisque ce sont des constantes, leurs valeurs resteront toujours les mêmes , quels que soient a/,/, z'. Ou pourra donc, pour simplilier le calcul, donner successivement telles valeurs que l’on voudra à ces variables, et les valeurs des coefficiens déterminées sur ces cas particuliers, serviront ensuite également pour tous les autres cas quelconques. Cherchons donc à effectuer ainsi ces déterminations. f

D’abord, si l’on fait x' = o, / = o, z = o, ce qui est le caractère de la nouvelle origine, il vient x zxa, y=b, z — c.

a f b , c, sont donc les coordonnées de cette origine, par rapport à l’ancienne : nous les supposerons nulle*, pour plus de simplicité, ce qui revient à changer & direction des axes sans déplacer l’origine ; il suffira eu*

D£0 COOapONJTÉïS. ,5 q

SBile de les ajouter aux résultats, pour transporter le uvcau système d’axes parallèlement à lui-même. Par c tte supposition, les formules précédentes deviennent x — mx + m'y -f m "z', y = nx' -f riÿ 4- n ”ri,

&z=px' + py -f p"z'j

facW e °? Stant ? qU eIk ® rcnferraent se déterminent tuement par des suppositions particulières. Considé- 11 s, par exemple, les points situés sur l’axe des ri, les Quations de cet axe seront

/ = o, ri=zo.

On aura donc, pour les points qui y so „t situés >

* mri, y = nx ' } z __ px f

Sfcw"* " Un <IUelCOn<1Ue de - F’ints

^^cn..r p A°x n AY pû r 7 plm i de «i-

alors AM r. ' -\xJr ’ AZ; solo,it rectangulaires : douue^ * ’ Sera *> et 'o triangle AMM'

z = ri cos AMM'.

av^îw AMM ' T * e '“ i q “ e f0rrac ,e no “”el axe des a:

aot W deS * ; nOUS le «gérons par Z. Si

° u s nommons pareillement Y v î , „

P ai> ce même axe AY^ ' Y » IeS formés

^ns n T X avec Ies axes AX > AY, nous auns » pour les pomts qui y wsl t situés,

-WcosX, y — x' cos Y, z x' cos Z.

Résultat détermine n, m, p, et donne

m =2 cos X, ti = cosY, p = cosZ.

^ P ° intS S,tUéS SUr

TRAN SFORM ATION

on aura, relativement à ces points,

Ainsi, en désignant par X', Y', Z', les angles que forme cet axe avec ceux des x, y, z, on aura

m' = cos X', ri = cos Y', p' = cos Z'.

Enfin la considération des points situés sur l’axe des z déterminera les constantes m", ri', p et en nommant X", Y", Z", les angles que forme cet axe avec ceux des x, y, z, on aura

m" = cos X", n" — cos Y"; p" — cos Z" ; d’où l’on tire pour x,y, z,

x == x' cos X + y' cos X' + z' cos X", y = x" cos Y y' cos Y' -f- z' cos Y", ( > )

z = x' cos Z ri" y' cos Z' + z ' cos Z"‘

Il faudra joindre à ces valeurs les équations de condi' tion qui ont lieu entre les trois angles que fait une ligne droite avec les trois axes, et qui sont (n° 5 7 ) cos a X + cos a Y ri- cos a Z = 1, cos a X' H- cos a Y' + cos a Z' = 1, ( 2 )

cos a X" 4 * cos a Y" -j- cos a Z" — 1.

Ces formules suffisent pour transformer les coordonnées, lorsque les angles des nouveaux axes entre eu* doivent être quelconques -, mais si ces angles sont donnes, il en résultera de nouvelles conditions entre I e5 angles X, Y, Z, X'..., et il faudra les joindre aux équations précédentes. ,

En effet, si l’on nomme Y l’angle que forment les # avec les y, U l’angle des y' avec les z, et W l’ang^ des z' avec les x , on aura, par le n° 62 ,

cosV — cosX cosX' -f cosY cos Y' -f-cosZ cosZ', cos U = cos X / cosX"4-cosY'cosY"-j-cosZ'cosZ", cos W = cosX cosX"-f-cos Y cosY" -f- cosZ'cosZ" -,

DES COORDONNÉES. 1 g 1

et ces équations étant jointes aux formules (1) et (2), suffiront, dans tous les cas, pour établir les conditions relatives aux nouveaux axes, en supposant les anciens rectangulaires.

98. Si, par exemple, on veut que le nouveau système s °*t pareillement rectangulaire, on aura

cos Y ~ o, cos U = o, cosW = o;

et les seconds membres des équations (3) seront nuis : alors, en ajoutant les carrés dex,y,z,on trouve x* + y a 4 - 2.“ = x' a y* 4- z '\

Cette condition doit être en effet remplie, lorsque tes deux systèmes de coordonnées sont rectangulaires et ont la même origine, parce qu’alors la somme des carrés des trois coordonnées représente, dans l’un et dans l’autre, le carré de la distance de cette origine commune au point que l’on considère.

99. On peut aussi changer la direction de deux axes seulement, en conservant le troisième. Supposons , par exemple, que l’axe qui reste soit l’axe des a, et que les «eux autres coordonnées, faisant entre elles un angle V, doivent toujours lui être perpendiculaires; on aura,’ d’après ces conditions,

cosU=o, cos W = o, cos X = o, cos Y" = o , cos Z" = 1 ; valeurs qui, substituées dans les équations (3 ), donnent cos Z'= o, cos Z = o ;

c’est-à-dire que les axes des x' et des y sont dans le plan des xy ; de là ét des équations (a) il résulte

cos Y = sin X, cos Y' =r sin X' ; et les valeurs de x, y , deviennent

x x' cos X 4 -y’cos X', y = x' sin X 4. y' sin X',

7 e Edit. , j