Ô2 COORDONNÉES

qui sont précisément celles que l’on a trouvées dans l’art. 91 , pour passer d’un système d’axes rectangulaires x et^ à un système quelconque situé dans le même plan.

Des Coordonnées polaires.

100. Les coordonnées rectilignes ne sont pas les seules par lesquelles on puisse définir analytiquement les positions relatives des points de l’espace. On peut employer à cet usage tous systèmes de lignes droites ou courbes dont la construction suffit pour déterminer complètement ces positions.

Par exemple, si tous les points que l’on considère sont compris dans un même plan, on pourra (fig. 3 i) prendre pour coordonnées la distance AM de ces points à un point fixe A compris dans le plan, et l’angle MAX formé par cette distance avec une ligne aussi menée dans le plan. En effet, lorsque l’angle MAX sera donné, on connaîtra la direction de la ligne AM sur laquelle le point désigné se trouve; et si, de plus, on connaît AM, on aura la situation précise de ce point, et l’on pourra le construire. Ce mode de détermination, par un angle et une distance variables, constitue ce que l’on appelle un système de coordonnées polaires. La distance AM se nomme le rayon vecteur, et le point A, d’où elle se compte, prend le nom de pôle.

Quand on connaît l’équation d’une ligne courbe, rap portée à des coordonnées rectilignes, il est bien aisé de la transformer en coordonnées polaires; car, pouf cela, comme dans tous les autres cas de transformation; il suffit de déterminer les valeurs des anciennes coor' données en fonction des nouvelles, et de les substituer dans l’équation proposée.

Concevons, par exemple, que les anciennes coordon' nées soient rapportées à des axes rectangulaires AX, A^;

Polaires. jg^

Zïï “ ri qa V POUr un P° int quiconque M, «tue dans le plan de ces aaes, AP, soit *, PM y

“pposons qu à ce système on veuille substituer un sys terne pofe.re dont les coordonnées soient la distance î,’ cora P‘ ee , du P 31 '- A', et l’angle formé par cette ■stance avec l aie AX II faudra que la position du l A soit connue,par rapport aux anciens axes • représentons son abscisse AB par a, son ordonnée A'B Maintenant, du même pôle, menons A'X' pa ele a l’axe des x; et, désignant l’angle MA'X' par v e rayon vecteur A'M par r, nous aurons évidemment AP = AB + A'Q, PM — a'B + MQ.

^ttant donc pour AP, PM, AB, A'B les lettres qui les «Ignent, et remplaçant A'Q, MQ par leurs câpresl0ns tirees du triangle rectangle MA'Q, il v i en t x = a + rcosv, b -f r sin u ;

Ce s ont les relations demandées.

(fi? 1 *® pÔ1 ®f coïncide avec l’origine A elle-même 8-^0, a et 6 seront nuis, et l’on aura simplement x = r cos v , y — r sin v ; relations dont la démonstration est évidente.

Si a ligne A'X', à partir de laquelle les* angles v se mplent (fig. oa), ne devait pas être paraUèle à^’ancien

la L ? maiS f ° rmer avec lui uu an 8 ,e <*on„é « (fig. 33) le 1 ansf ° r , raatlon serait également facile. En effet, par A ' X " paraUèIe a 1>axedes *• Alors don g G sera v ~^*’ et > en considérant les coor-

nees P, AP, menées d’un point quelconque M aux Clens axes, on aura, comme tout à l’heure,

AP = AB + A'Q, PM = A'B -f- MQ,

° u en substituant les expressions algébriques *^=a + rcos(v + *) f ,y == v 4 - r sip (y 4 -

, 64 coordonnées

Ici, il y a une remarque importante à faire : l’objet général de tout système de coordonnées, c’est d’exprimer analytiquement la position d’un point quelconque de l’espace, et de comprendre dans une même formule les positions relatives de tous ces points. Cette dernière condition détermine la loi des variations de signe qu il faut attribuer aux diverses coordonnées, selon les parties de l’espace où se trouvent les points qu’elles doivent définir. Dans les systèmes précédens, par exemple, supposons que l’on compte les angles v, depuis zéro jusqu’à la circonférence entière. Alors, ce mode de variation suffira pour porter le rayon vecteur dans toutes les directions possibles autour du pôle A ; et,sur

chaque direction, la position du point M ne dépendra plus que de la longueur du rayon vecteur r, laquelle pourra varier depuis zéro jusqu’à l'infini. Aussi, en introduisant les seules valeurs des angles v dans les expressions de x et dey obtenues tout à l’heure,les seuls changemens de signe des lignes trigonométriques se trouvent suffisans pour porter les valeurs de ces coordonnées dans tous les quadrans, et embrasser ainsi toutes les positions possibles des points situes dans ce plan On voit clairement, par cette discussion, quen adoptant pour les angles p , le mode de variabilité que nous venons de supposer, il n’existe dans le plan aucun point pour lequel le rayon vecteur r doive avoir une valeur négative-, et, par conséquent, si un problème conduisait à de telles valeurs, il faudrait en conclure qu’il est impossible. Ceci est une condition qu’il faut toujours se rappeler, quand on emploie des systèmes de coordonnées polaires, où l’on donne aux angles la com' plette étendue de variation que nous leur avons attribuée- 101. On peut aussi étendre de pareils systèmes de coordonnées auj. trois dimensions de 1 espace, et 1 on en fait fréquemment usage. Un des systèmes les plus

polaires.

usités consiste à prendre pour cet usage les angles MA 3 VT et M'AP (fig. 3o), le premier formé par le rayon vecteur AM avec sa projection sur un des plans rectangulaires, par exemple, sur le plan des xy j le sec °nd, formé par cette projection elle-même avec l’axe descr.

Soient <p et 0 ces angles, r le rayon vecteur, / sa Projection, on aura

x-=r' cos , y = r' sin <p , z. = r sin 0 ; d’ailleurs / — r cos 0 ;

0tl aura donc

x ~r cos q> cos 0, y — r sin <p cos fl, z = r sin fl.

Pour embrasser dans ces formules tous les points de ^espace, il suffira de faire varier l’angle <p ou M'AP depuis o° jusqu’à 36 o°, et l’angle fl ou M'AM depuis o ’usqu’à db 90°. Les signes que ces valeurs assigneront aux lignes trigonométriques, détermineront complète- Uient les signes que doivent avoir les coordonnées x,y, z, selon le quadrans où sera situé le point a?iquel elles appartiendront; et, puisqu’elles suffisent, il ne faudra attribuer aucun changement de signe au rayon vecteur r. On devra se borner, comme précédemment, à le faire varier depuis zéro jusqu’à l’infini.

Dans les équations précédentes, -, ^ représentent

les tangentes trigonométriques des angles que forment a^ec l’axe des z les projections du rayon vecteur sur es plans des xz et des yz. En divisant ces équations Membre à membre, on en tire

x cos fl cos <p y cos fl sin <p

£ sin 0 ’ z sin ô

■^‘nsi j en représentant les équations du rayon vecteur

166 coordonnées polaires.

ce qui est la forme que nous avons adoptée généralement pour les équations des droites menées par l’origine des coordonnées, on aura

n __ cos 6 cos <p ^ cos 9 sin <p

sin 6 ’ ~ sin 9

Alors a et b représentent les tangentes trigonométriques des angles formés par l’axe des z avec la projection du rayon r sur les plans des xz et de 9 On connaîtra ainsi les valeurs de ces angles par les expressions précédentes, quand <p et 9 seront données.

102 . Ce que nous venons de reconnaître dans les exemples précédons, sur la constance de signe du rayon vecteur r, est une condition qui a généralement lieu dans tous les systèmes de coordonnées polaires, lorsqu on fait varier les angles de manière à pouvoir porter mdistinctement ce rayon dans toutes les directions. Alors les seules variations de signes des lignes trigonométriques, déterminées par les valeurs des angles auxquelles elles appartiennent, suffisent toujours pour déterminer et indiquer la position des points.

103. Les questions que nous venons de traiter dans ces préliminaires sont en quelque sorte les élémens de tous les problèmes qui concernent l’application de l’Algèbre à la Géométrie. Les formules que l’on en déduit sont autant de méthodes générales dont l’usage revient sans cesse, et que l’on ne suppléerait qu’imparfaitement par des constructions particulières qu’il faudrait recommencer pour tous les cas. Mais, pour sentir le prix de ces méthodes, il est nécessaire de se familiariser avec elles par l’usage : c’est pourquoi nous les appliquerons à la recherche des propriétés des courbes et des surfaces du second ordre -, et cet exemple qui fait l’objet du reste de cet Ouvrage, suffira pour montrer généralement comment on doit employer les procédés dont il s’agit.