CHAPITRE IV

Des Sections du Cône.

1 °4. Les courbes du second ordre sont aussi appelées sections coniques, parce qu’on peut les obtenir toutes Cn coupant un cône droit à base circulaire par des plans diversement inclinés. Connue ce mode de génération commun établit entre elles des analogies remarquables , nous l’emploierons pour former leur équation générale. Nous discuterons ensuite les diverses formes 6 courbes résultantes des modifications particulières que cette équation peut subir; et, quand nous les aurons ai usi reconnues avec détail, nous prouverons que toute c °urbe exprimée par une équation du second degré, est nécessairement identique avec une d’entre elles.

io5. Soit (fig. 34) C le centre du cône, ZCO son axe ; Par un point quelconque O, pris sur cet axe à une distance donnée c du centre, concevons trois axes de coordonnées OX, OY,OZ, rectangulaires entre eux, et ont l’un, OZ, soit dirigé suivant l’axe du cône même; appelons v l’angle constant OCB formé avec cet axe par ®ue quelconque des droites génératrices, et cherchons abord à déterminer l’équation du cône avec ces données.

D’apres les définitions précédentes, les coordonnées u oonlre Csont x=o } y=o, z = c; ainsi, les équa- 10 ns d’une génératrice quelconque, menée par ce point, ^font nécessairement de la forme

& == a' Çz y— c) f V (z — c) ,

les coeffieiens a', b', étant constans pour la même générat nce, et variables d’une génératrice à unç autre.

Maintenant, toute génératrice doit former l’angle constant v avec l’axe du cône ; donc, puisque cet axe est ici celui des coordonnées z, on aura par le n° 66 ,

COsit '- i + a' 4 H-ô' 4 ’

ou en faisant disparaître le dénominateur du second membre,

(a' a -+- ô /a ) cos* v = sin* v.

Cette condition subsiste pour chaque position de la droite génératrice ; si l’on en chasse a' et b', en mettant au lieu de ces coefficiens leurs valeurs générales

———, —¥-— , le résultat en x , y, z, ne sera plus parai — c z — c

ticulier à aucune des positions de la droite génératrice , mais il appartiendra à tous les points qui peuvent se trouver sur cette droite lorsqu’elle forme l’angle donné v avec l’axe OZ. Ce sera donc l’équation de la surface conique engendrée par son mouvement. Cette substitution donne

(^ 4 -J- jc 4 ) cos 4 v = {z — c) 4 sin 4 1 / ; équation qui convient à tous les points de la surface conique.

Si l’on voulait avoir l’intersection du cône par le plan même des xy , on n’aurait qu’à faire z nul, ce qui est le caractère de ce plan, et l’on aurait alors (y-f-* 9 ) cos 4 v — c 9 sin 4 v, ou, en divisant les deux membres par cos 4 v, ÿ -f- x 4 = c 4 tang 4 v.

Cette équation ne convient plus qu’aux seuls points situés sur la courbe d’intersection. Elle montre que l a distance de tous ces points à l’axe du cône est constant^ et égale à c tang V, c’est-à-dire que l’intersection est un cercle décrit dans le plan des xy, autour du point O

Dü c 4ne. ,

comme centre, avec c tang v p0U r rayon. En effet, CO «tant représenté par c, et l’ angle ECO par c, c tang v ^présenté le côté OB <1« triangle générateur.

,* Panons maintenant un mode d’intersection plus general. Par le point B, extrémité du rayon OB, concevons un plan coupant IBI, mené perpendiculairement U plan des xz, et formant un angle quelconque BSC ou u avec ]’ axet j u c ô ne> p U] * s> cherchons l’équation de a courbe d’intersection IMBI.

L équation du plan coupant ainsi mené sera la même que celle de sa trace BS sur le plan des xz (pages 106 1 O. Or, cette trace doit passer par le point B, dont s coordonnées sont z~o,y=o, xr=c tang*/: de P US, elle doit faire l’angle u avec l’axe des z; son équall on sera donc

x — c tang v •+ z tang u. (2)

Pour tous les points de l’intersection, cette relation dera subsister en même temps que l’équation du cône. °uc si, entre elles, on élimine z, la relation en x, y, qui en proviendra , appartiendra à la projection de l’intersection sur le plan des xy. Ce sera l’équation analytique de cette projection. De même si, au lieu d’éliminer z, on élimine x, le résultat en y, z, appartiendra a p P ro i e ction de l’intersection sur le plan des zy.

uisgue notre plan coupant est mené par le point B, ous introduirons comme donnée la distance CB, que ous nommerons n. Alors, OB sera a sin v ; OC ou c er a a cos v, et nos deux équations deviendront

(y È + x 2 ) cos a v = (z — a cos v) 2 sin 2 v, (j) x = a sin v z tang u. (2)

ï* courbe d’intersection se trouve complètement dérmmée par le système de ces deux équations, puisque, on se donne à volonté une des coordonnées d’un de

ses points, par exemple J, on en peut tuer aussitôt les valeurs de z et de y qui y correspondent. Mais afin d’étudier plus immédiatement les particularités de sa forme, nous allons la rapporter a des coordonnées rectangulaires prises dans son plan même. Pour cela, portons l’origine de ces nouvelles coordonnées au point B, et comptons la première a/ à partir de ce point sur la trace BS, tandis que la seconde y, comprise dans le plan de la section , sera perpendiculaire a cette trace, et par conséquent parallèle a 1 axe Uï des coordonnées générales. Alors, si nous considérons un point quelconque de l’intersection, tel que M dont les coordonnées rectangulaires primitives sont OP, x-, PQ, z , et QM, y ; il faudra trouver les fleurs de ces anciennes coordonnées en fonction de Q et de QM. Or, cela est très facile ; car, d’abord, la direction des y n’étant pas changée, y est égal à y , en outre, le triangle BPQ donne

BP == x T sin u , PQ x ' cos u »

et puisque OB est a sin v, on aura

x = a sin v — x sin u , z — — x' cos u,

Ces expressions de x et de a satisfont déjà à l’équation (2), parce que la construction même qui nous les a données, exprime que les points M, auxquels elles s’appliquent, sont situés dans le plan coupant IMBI, caractérisé par cette équation. Il ne reste donc plus qu’à les substituer dans l’équation (1), en écrivant aussi y pour y, et l’on aura l’équation de la courbe d’intersection prise dans son plan même. Or, si l’on effectue cette substitution, et que l’on développe l’équation qui en resuite, il reste, après les réductions,

y'*cos*v + x'* sin(u4-0 sin (u — v) — o.x r sin av sin(u-f-^y 0