I 72 DES SECTIONS

comme le représente la fîg. 35 . Alors le plan IB! commencera à couper la nappe DCB de la surface conique suivant une courbe fermée; et cptle particularité se soutiendra tant que la trace BSX' pourra aller couper l’arête indéfinie CD opposée à CB; c’est-àdire tant que l’angle i sera moindre que i8o°— zv ; car, à cette limite, la trace BX' du plan coupant, et le plan coupant lui-même, deviendrait parallèle à l’arête CD. Jusque-là, les angles i et i - 1 - au, seront l’un et l’autre moindres que 180 degrés ; ainsi, leurs sinus seront positifs > d’où l’on voit que, dans l’équation de la courbe d’intersection, les coefliciens des termes en y 2 et x' 2 , seront de même signe. Cette courbe prend alors le nom d’ ellipse; elle comprend, comme cas particulier, le cercle, qui s’obtient lorsque i ~ 90° — v ; et elle se réduit à un simple point, lorsque a est nul ; c’est-à-dire quand le plan coupant est mené par le centre du cône même; car alors, l’équation ne contenant plus que ses deux premiers termes, qui sont tous deux positifs, ne peut être satisfaite qu’en faisant x et ÿ nuis tous deux à la fois ; ce qui est l’équation de l’origine.

Ceci nous conduit jusqu’à la limite où i = 180°—

A ce terme, la trace BX' du plan coupant devient parallèle à l’arête CD (fig. 35 ) ; et la courbe d’intersection ne trouvant rien qui la termine, s’étend indéfiniment dan* ce sens ; mais elle est toujours située tout entière sur 1* même nappe du cône ; car le plan coupant étant parallèle à la génératrice extrême CD, ne rencontre pas la napp e opposée, qui est limitée par le prolongement de cette même génératrice. Dans ce cas, sin (i -f- ay) devenait nul, le terme affecté de a/ 3 disparaît dans l’équation & la courbe d’intersection; et celle-ci prend alors le nof* 1 de parabole. Lorsque a est nul, c’est-à-dire lorsque le plan coupant est mené par le centre C du cône, elle ^ réduit à une simple ligne droite, qui est l’arête C*'

Dü CÛNE. 173

a!r, m t" C - E " t,ans ce <* s > liquation ne conteant plus que son premier terme, ne peut être satisfaite 1 on faisant^ =0; ce qui est l’équation de l’aie des x'.

fcnfm, le plan coupant continuant de s’incliner sur la S neratnee BC, commence à rencontrer les deux nappes O la surface conique, fig. 36 . Alors l’angle i surpassant ai/, la somme i + 21/ surpasse 180°, et par conquent, son sinus est négatif. Le coefficient de dans équation de l’intersection, se trouve ainsi négatif, par usequent de signe contraire à celui de y'\ Dans ce cas, courbe d intersection s’étend indéfiniment sur les deux a Ppes de la surface conique, et prend le nom d’hyperb oie . ^dernière limite de ce genre de courbe s’obtient lorsque

sîT 1 j CG qU ‘ dir ‘ Se Ce p,an cou P ant suivant BR. Alors t 1 devenant une seconde fois nul, l’équation de l’inr section se réduit à son premier terme, et donne

est-à-dire qu’elle se réduit à l’arête BG elle-même,

au me dans Ie P rem »er cas que nous avons considéré « commencement de cette discussion.

Lorsque a devient nul, c’est-à-dire lorsque le plan Upant est mené par le centre du cône, les relations es angles « et v étant toujours celles qui conviennent des hyperboles, c’est-à-dire telles que le plan coupant contre les deux nappes de la surface conique, alors t quatum de l’intersection perd seulement son dernier réJ* 16 ’ Ct le coefficient de *' a devenant négatif, elle se sout en deux facteurs linéaires réels, qui sont y cos y —. x ' S in t s ; n ÿ .q. 2|; ) Q f j-p y cos v + x r y/— sra 1 sin (i -j- 3^) = o.

H ée G re P r f sent e ^ors le système de deux droites me- ‘nêl^ 1 °. riglne des x '>y'> qui se trouve être le centre trie dU CÔUe ' CeS deUX droites sont les deux générait !i S ° PP ° sëes ’ suivant lesquelles la surface conique ai0rs coupée par le plan de la section.