DES SECTIONS DU CÔNE

En résumant cette discussion, elle nous conduit à établir les conséquences suivantes.

Lorsque Von coupe un cône droit à base circulaire,par

desplans diversement inclinés sursonaxe,on obtientpour

intersection trois espèces de courbes distinctes ; savoir, des courbes fermées et rentrantes sur elles-memes, qui s'appellent ellipses; des courbes indéfiniment étendues dans un seul sens, qui sont nommées paraboles; enfin, des courbes étendues indéfiniment dans deux sens opposés,et formées de deux branches séparées et distinctes; ces dernières reçoivent le nom d’hyperboles. Le premier genre d'intersection, l'ellipse, comprend, comme cas particulier, le cercle et le point ; le second, la parabole , comprend une ligne droite unique, ou, pour parler plus exactement, la réunion de deux di cites parai lèles; enfin, le troisième genre, l'hyperbole, comprend le système de deux droites, qui se coupent .

L'équation (3), qui représente ces divers genres d'intersection , donne des ellipses , des paraboles ou des hyperboles, selon que le coefficient de x a est positif, nul ou négatif, celui de f étant positif La nature de la courbe ne dépend que du signe de ce coefficient.

rvous allons maintenant discuter en particulier chacune de ces classes de courbes. Nous déduirons de l’équation générale, modifiée pour chacune d’elles, leur position , leur forme, leurs caractères,leurs particularités; no us* les comparerons ensuite les unes aux autres, pou'' découvrir leurs propriétés communes.

Du Cercle.

io5. En coupant un cône droit à base circulaire par un plan perpendiculaire à son axe, et mené à une distance c de son centre, nous avons eu pour l’équation de l’in" tersection

je* -4-y* = tang* v ,

l°eUreR rePléSentant ^ pr ° duit C tang v P ar une seule

Dans cette équation, les coor donnée s x,y } son t rec- •«egulaircs (11g. 38 ). Ainsi, VWy exprime U*. lance il un point quelconque de la courbe à l’origine des coordonnées. L’équation précédente montre q ue cette «'stance est constante; elle indique donc, par ce carace » e, qu’en effet la courbe proposée est une circonférence e cercle dont le centre se trouve placé à l’origine des ordonnées : cette seule propriété suffirait pour dé- 'ré cette circonférence; mais on peut de même, d’a- ™ 1 «quation , déterminer toutes ses autres propriétés 1 toutes les circonstances de son cours.

Par exemple, si l’on veut connaître les points où elle j °P e 1>axe des 'I suffit de faire ce qui est

«ordonne 6 ^ *““• CGt 3X65 aIors lequa-

Ce qui nous apprend que la courbe coupe l’axe des a; n deux points différens, situés de part et d’autre de ^origine des coordonnées, et à une distance R de l’axe

De même, en faisant x=o, on aura les pointa où la rbe coupe l’axe desj, : cette supposition donne

'«s, ces p „i nta TOnt au nombre de deux, situés de et d autre, et a une distance R de l’axe des x.

i »C,éd SU,ïre '* ™ rCl, ° de courbe dans les Point, «rmediaires, prenons en général la valeur de v * e sera J >

* deux valeurs de y étant égales et de signe, eon-

traircs , la courbe est symétrique au-dessus et au-dessous de l’axe des x.

.Si l’on suppose x positif, les valeurs tant positives que négatives de y iront en décroissant depuis x-=.o, qui donne y — rh R , jusqu’à x = -f- R , qui donne y=0. Si l’on fait x plus grand que R,yr devient imaginaire; ce qui montre que la courbe ne s’étend pas, du côté des x positifs, au-delà de l’absèisse xzx. -j-R.

Les mêmes résultats se reproduisent en sens contraire du coté des x négatifs ; et l’on voit de même que la courbe ne s’étend pas, de ce côté, au-delà de l’abscisse x— —R. Elle est donc également symétrique de part et d’autre de l’axe des^, et elle est limitée sur les deux axes à la distance R de l’origine.